重难点06三角恒等变换（3种考向）（原卷版）

重难点06三角恒等变换（3种考向）【目录】考向1：给角求值问题考向2：给值求值问题考向3：给值求角问题本专题是高考常考内容，结合往年命题规律，命制三角函数恒等变换题目，诸如“给值求角”“给值求值”“给角求值”三种考向进行分类讲解。1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．（2）商数关系：＝tanα．2．诱导公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cosα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．公式五：sin（﹣α）＝cosα，cos（﹣α）＝sinα，tan（﹣α）＝cotα．公式六：sin（+α）＝cosα，cos（+α）＝﹣sinα，tan（+α）＝﹣cotα．3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin2α＝2sinαcosα；二、命题规律与备考策略（2）C2α：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan2α＝．考向1：给角求值问题一、单选题1．（2023·重庆·统考模拟预测）式子222sin183cos9sin91cos63sin6化简的结果为（）A．12B．1C．2sin9D．22．（2023·江苏南京·模拟预测）设22ππsinsin612a，πtan12b，πsin8c，则（）A．bacB．acbC．abcD．cab3．（2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测）若sin160tan203，则实数的值为（）A．4B．43C．23D．4334．（2022·四川成都·石室中学校考模拟预测）22sin110cos250cos25sin155的值为（）A．12B．12C．32D．32二、解答题5．（2021·浙江台州·统考二模）已知函数()3sincosfxxx.（Ӏ）求函数()fx的单调递增区间；（ӀӀ）若85(),[,]566f，求sin的值.6．（2020·江苏南通·统考三模）已知函数sin0,0fxAxA的最小值是－2，其图象经过点(,1)3M．（1）求()fx的解析式；（2）已知,(0,)2，且8()5f，24()13f，求()f的值．三、题型方法考向2：给值求值问题一、单选题1．（2023·湖北·统考二模）已知ππsinsin3cossin36，则πcos23（）A．32B．－1C．12D．322．（2023·重庆·统考模拟预测）已知π3sin35，则πsin26（）A．2425B．2425C．725D．7253．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知4cos25，π3π,24，则1tan1tan=（）A．2B．2C．12D．124．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）十七世纪德国著名天文学家开普勒曾经说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作黄金矿的话，黄金分割就可以比作钻石矿”．如果把顶角为36的等腰三角形称为“黄金三角形”，那么我们常见的五角星则是由五个黄金三角形和一个正五边形组成．如图所示，512ABBC（黄金分割比），则cos2DBA（）A．354B．514C．354D．5145．（2023·上海奉贤·统考一模）已知a，b，，R，满足sincosa，cossinb，2204ab，有以下2个结论：①存在常数a，对任意的实数bR，使得sin的值是一个常数；②存在常数b，对任意的实数aR，使得cos的值是一个常数.下列说法正确的是（）A．结论①、②都成立B．结论①不成立、②成立C．结论①成立、②不成立D．结论①、②都不成立6．（2023·天津和平·统考二模）函数π2sin0,02fxx的部分图象如图所示，1232fxfx，则下列四个选项中正确的个数为（）①21π3cos64xx②函数yfx在2,5上单调递减；③函数yfx在3,6上的值域为1,1；④曲线yfx在=1x处的切线斜率为3．A．0个B．1个C．2个D．3个二、多选题7．（2020·山东临沂·统考一模）下列结论正确的是（）A．若tan2，则3cos25B．若sincos1，则221sincos2C．“0xZ，0sinxZ”的否定是“xZ，sinxZ”D．将函数cos2yx的图象向左平移4个单位长度，所得图象关于原点对称8．（2021·江苏南通·一模）下列命题中是真命题的有（）A．存在，，使tantantanB．在ABC中，若sin2sin2AB，则ABC是等腰三角形C．在ABC中，“AB”是“sinsinAB”的充要条件D．在ABC中，若5cos13A，4sin5B则cosC的值为3365或6365三、填空题9．（2023·重庆·统考模拟预测）已知3sin65π，ππ22，则5cos26π________．四、双空题10．（2022·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）在ABC中，sinsinsinABCB，则cosA__________；点D是BC上靠近点B的一个三等分点，记sinsinABDλBAD，则当取最大值时，tanACD__________．五、解答题11．（2023·天津·统考二模）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知2c，3cos4C，2sinsincAbC.(1)求b的值；(2)求sinA的值；(3)求πsin23A的值.12．（2023·云南丽江·统考一模）已知π04，π22sin43.(1)求cos的值；(2)若π02，3cos5，求cos的值.13．（2023·四川内江·统考一模）已知函数21()3sincoscos2fxxxx，xR．(1)已知12fx，求πcos43x的值；(2)已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且1fC，c＝3，若向量1,sinmA与sin,2nB垂直，求ABC的周长．14．（2023·北京海淀·校考模拟预测）已知函数2()23sincoscos1fxxxax(R)x，且(0)1f．(1)求a的值和函数()fx在区间π[0,]6上的最大值及取得最大值时x的值．(2)若0()1fx，0ππ[,]42x，求0cos2x的值．15．（2023·辽宁·校联考二模）已知函数πsin0,2fxx的图象如图所示．将函数fx的图象向左平移5π12个单位长度后得函数gx的图象．(1)求gx的解析式；(2)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且79gA，2CA，3a，求ABC的面积．考向3：给值求角问题一、单选题1．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知、都是锐角，且223sin2sin1，3sin22sin20，那么、之间的关系是（）A．4B．4C．24D．222．（2023·全国·模拟预测）已知0,π，若5πsin2cos4，则πtan22（）A．1B．33C．3D．3二、填空题3．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）已知角π0,2，πsinsinπ12tanπ12coscos12，则______.4．（2021·江西九江·统考二模）费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于23时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为23.已知点P为ABC的费马点，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos2sincos6ACB，且22()6bac，则PAPBPBPCPAPC的值为__________.三、解答题5．（2022·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）（1）若点P(cos,sin)关于y轴的对称点为P'(sin,cos)，求所有满足条件的取值的集合M；（2）在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，当角B为集合M中的最小正数时，:2:3ba，23c，求边长b的值.6．（2023·全国·模拟预测）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2sinsintancosCBAB．(1)求A；(2)若2a，求2cb的取值范围．7．（2023·天津·校联考一模）在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2sinsincostanCAAB．(1)求角B的大小；(2)设2a，3c，求b和sin2AB的值．8．（2022·湖北省直辖县级单位·湖北省天门中学校考模拟预测）如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，90ABC，且ADC△是边长为2的等边三角形，AC交BD于M点．(1)若//ADBC，求BD；(2)若7BD，设CAB，求．9．（2023·广东茂名·统考二模）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足πsin3tanπsin6CBC.(1)求A；(2)若D为边BC上一点，且2CDADBD，试判断ABC的形状.