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综合训练10平面解析几何（24种题型60题专练）一．直线的倾斜角（共1小题）1．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（）A．B．C．D．二．直线的斜率（共2小题）（多选）2．（2023•定远县校级模拟）如图所示，边长为2的等边△OAB从起始位置（OA1与y轴重合）绕着O点顺时针旋转至OB与x轴重合得到△OA2B2，在旋转的过程中，下列说法正确的是（）A．边AB所在直线的斜率的取值范围是B．边AB所在直线在y轴上截距的取值范围是[2，4]C．边A1B1与边A2B2所在直线的交点为D．当AB的中垂线为x﹣y＝0时，（多选）3．（2023•广东二模）在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD四边所在直线与x轴的交点分别为（0，0），（1，0），（2，0），（4，0），则正方形ABCD四边所在直线中过点（0，0）的直线的斜率可以是（）A．2B．C．D．三．直线的截距式方程（共1小题）4．（2023•武汉模拟）直线l1：y＝2x和l2：y＝kx+1与x轴围成的三角形是等腰三角形，写出满足条件的k的两个可能取值：和．四．直线的一般式方程与直线的平行关系（共2小题）5．（2023•青岛三模）瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知△ABC的顶点A（﹣3，0），B（3，0），C（3，3），若直线l：ax+（a2﹣3）y﹣9＝0与△ABC的欧拉线平行，则实数a的值为（）A．﹣2B．﹣1C．﹣1或3D．36．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知两条直线ax+2y+4＝0与3x+（a﹣1）y﹣6＝0平行，则a＝．五．直线的一般式方程与直线的垂直关系（共3小题）（多选）7．（2023•安徽模拟）已知直线l1：（sinα）x﹣（cosα）y+1＝0，l2：（sinα）x+（cosα）y+1＝0，l3：（cosα）x﹣（sinα）y+1＝0，l4：（cosα）x+（sinα）y+1＝0．则（）A．存在实数α，使l1∥l2B．存在实数α，使l2∥l3C．对任意实数α，都有l1⊥l4D．存在点到四条直线距离相等8．（2023•湖北模拟）已知动直线l的方程为（1﹣a2）x+2ay﹣3a2﹣3＝0，a∈R，，O为坐标原点，过点O作直线l的垂线，垂足为Q，则线段PQ长度的取值范围为（）A．（0，5]B．[1，5]C．[5，+∞）D．（0，3]9．（2023•长宁区校级三模）已知直线l1：x+y＝0和l2：2x﹣ay+3＝0（a∈R），若l1⊥l2，则a＝．六．两条直线的交点坐标（共2小题）10．（2023•东城区二模）已知三条直线l1：x﹣2y+2＝0，l2：x﹣2＝0，l3：x+ky＝0将平面分为六个部分，则满足条件的k的值共有（）A．1个B．2个C．3个D．无数个（多选）11．（2023•江宁区校级模拟）已知直线l1：2x+y﹣6＝0和点A（1，﹣1），过点A作直线l2与直线l1相交于点B，且AB＝5，则直线l2的方程为（）A．x＝1B．y＝﹣1C．3x+4y+1＝0D．4x+3y﹣1＝0七．恒过定点的直线（共2小题）（多选）12．（2023•深圳模拟）设直线系M：xcosθ+ysinθ＝1+2sinθ（0≤θ≤2π），下列命题中的真命题有（）A．M中所有直线均经过一个定点B．存在定点P不在M中的任一条直线上C．对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等13．（2023•江苏模拟）设k∈R，直线l1：kx+y﹣k＝0，I直线l2：x﹣ky+2k﹣3＝0，记l1，l2分别过定点A，B，l1与l2的交点为C，则|AC|+|BC|的最大值为．八．与直线关于点、直线对称的直线方程（共3小题）14．（2023•碑林区校级模拟）已知：A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2），E（﹣1，0），F（1，0），一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上（不含端点）．则FD斜率的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（4，+∞）15．（2023•思明区校级四模）已知直线l1：3x﹣4y﹣4＝0关于直线l2的对称直线为y轴，则l2的方程为．16．（2023•麒麟区校级模拟）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+（y+2）2≤3，若将军从点A（﹣4，0）处出发，河岸线所在直线方程为x+y﹣1＝0，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为．九．两点间的距离公式（共2小题）17．（2023•江西模拟）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点．当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°．根据以上性质，则的最小值为（）A．4B．C．D．18．（2023•海淀区校级三模）如图所示，在8×6的长方形区域（含边界）中有A，B两点，对于该区域中的点P，若其到A的距离不超过到B距离的一半，则称P处于A的控制下，例如原点O满足，即有O点处于A的控制下．同理可定义P处于B的控制下．给出下列四个结论：①点（4，2）处于A的控制下；②若点P不处于A的控制下，则其必处于B的控制下；③若P处于A的控制下，则；④图中所有处于A的控制下的点构成的区域面积为8+5π．其中所有正确结论的序号是．一十．点到直线的距离公式（共2小题）19．（2023•安庆模拟）已知点A（﹣4，1）在直线l：（2m+1）x﹣（m﹣1）y﹣m﹣5＝0（m∈R）上的射影为点B，则点B到点P（3，﹣1）距离的最大值为（）A．B．5C．D．20．（2023•南关区校级二模）直线l的方程为（λ+2）x+（λ﹣1）y﹣3λ＝0（λ∈R），当原点O到直线l的距离最大时，λ的值为（）A．﹣1B．﹣5C．1D．5一十一．两直线的夹角与到角问题（共1小题）21．（2023•睢宁县校级模拟）在△ABC中，∠A的内角平分线方程为y＝x，B（1，4），C（4，3），则角C的正切值为．一十二．与直线有关的动点轨迹方程（共1小题）22．（2023•固镇县三模）如图，在平行四边形OABC中，点O是原点，点A和点C的坐标分别是（3，0）、（1，3），点D是线段AB上的动点．（1）求AB所在直线的一般式方程；（2）当D在线段AB上运动时，求线段CD的中点M的轨迹方程．一十三．轨迹方程（共2小题）23．（2023•铜陵三模）已知平面上两定点A、B，则所有满足（λ＞0且λ≠1）的点P的轨迹是一个圆心在AB上，半径为的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆．已知棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1表面上动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹长度为（）A．2πB．C．D．（多选）24．（2023•香坊区校级三模）在平面直角坐标系xOy中，已知定点A（0，1），B（3，1），动点P满足|PA|＝2|PB|，记动点P的轨迹为曲线C，直线l：kx﹣y+2﹣3k＝0（k∈R），则下列结论中正确的是（）A．曲线C的方程为（x﹣4）2+（y﹣1）2＝4B．直线l与曲线C相交C．若直线l被曲线C截得的弦长为，则k＝﹣2D．|BP|的最大值为3一十四．点与圆的位置关系（共1小题）25．（2023•定西模拟）若点（2，1）在圆x2+y2﹣x+y+a＝0的外部，则a的取值范围是（）A．B．C．D．一十五．直线与圆的位置关系（共5小题）26．（2023•海淀区校级模拟）直线l：3x+4y﹣1＝0被圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣4＝0所截得的弦长为（）A．B．4C．D．27．（2023•阆中市校级二模）若点M是圆C：x2+y2﹣4x＝0上的任一点，直线l：x+y+2＝0与x轴、y轴分别相交于A、B两点，则∠MAB的最小值为（）A．B．C．D．（多选）28．（2023•泉州模拟）已知AB为圆C：x2+y2＝4的直径，直线l：y＝kx+1与y轴交于点M，则（）A．l与C恒有公共点B．△ABM是钝角三角形C．△ABM的面积的最大值为1D．l被C截得的弦的长度的最小值为29．（2023•武功县校级模拟）已知圆O：x2+y2＝4，M（x0，y0）为圆O上位于第一象限的一点，过点M作圆O的切线l．当l的横纵截距相等时，l的方程为（）A．B．C．D．30．（2023•天津模拟）设直线y＝x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2＝0（a＞0）相交于A，B两点，若|AB|＝2，则a＝．一十六．圆与圆的位置关系及其判定（共1小题）31．（2023•河南模拟）若圆与圆的公共弦AB的长为1，则直线AB的方程为（）A．2ax+by﹣1＝0B．2ax+by﹣3＝0C．2ax+2by﹣1＝0D．2ax+2by﹣3＝0一十七．椭圆的性质（共4小题）32．（2023•淄博模拟）古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，若从椭圆右焦点F2发出的光线经过椭圆上的点A和点B反射后，满足AB⊥AD，且cos∠ABC＝，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．33．（2023•海口模拟）已知F1，F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且|PF1|＝2|PF2|，则△PF1F2的面积为（）A．B．C．4D．34．（2023•铜仁市模拟）法国数学家加斯帕•蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆Γ′：＝1（a＞b＞0）的蒙日圆为C：x2+y2＝a2，过C上的动点M作Γ的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ交F于A，B两点，则下列结论不正确的是（）A．椭圆Γ的离心率为B．△MPQ面积的最大值为C．M到Γ的左焦点的距离的最小值为D．若动点D在Γ上，将直线DA，DB的斜率分别记为k1，k2，则k1k2＝﹣（多选）35．（2023•衡水模拟）已知椭圆C：，F1，F2分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（）A．存在P使得B．cos∠F1PF2的最小值为C．若PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为9D．直线PA与直线PB斜率乘积为定值一十八．直线与椭圆的综合（共5小题）36．（2023•全国模拟）已知椭圆E：，的右焦点F（1，0），过F作直线AB交E于A，B两点，E上有两点M，N满足：MF，NF分别为∠AMB，∠ANB的角平分线．当直线AB斜率为时，△MNF的外接圆面积为9π（1）求E的标准方程；（2）设直线MN：y＝kx+b，求k和b的代数关系．37．（2023•四川模拟）已知椭圆的短轴长为，左顶点A到右焦点F的距离为3．（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）设直线l与椭圆C交于不同两点M，N（不同于A），且直线AM和AN的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求F在l上的射影H的轨迹方程．38．（2023•泸州模拟）已知椭圆的焦点F（﹣1，0），点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点F的直线l与C交于A，B两点，过点F与l垂直的直线与C交于M，N两点，求的取值范围．39．（2023•河北模拟）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，三点，，中恰有两个点在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若C的上顶点为E，右焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点（与椭圆顶点不重合），直线EA，EB分别交直线x﹣y﹣4＝0于P，Q两点，求△EPQ面积的最小值．40．（2023•丹凤县校级模拟）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，长轴长为短轴长的2倍，点P在C