重难点03函数的单调性（6种考法）（原卷版）

重难点03函数的单调性（6种考法）【目录】考法1：定义法判断或证明函数的单调性考法2：根据函数的单调性求参数值考法3：复合函数的单调性考法4：根据函数的单调性解不等式考法5：比较函数值的大小考法6：根据函数的解析式直接判断函数的单调性一．函数的单调性【解题方法点拨】判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么①⇔f（x）在[a，b]上是增函数；⇔f（x）在[a，b]上是减函数．②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0⇔f（x）在[a，b]上是增函数；（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0⇔f（x）在[a，b]上是减函数．函数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间．【命题方向】函数的单调性及单调区间．是高考的重点内容，一般是压轴题，常与函数的导数相结合，课改地区单调性定义证明考查大题的可能性比较小．从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值二、命题规律与备考策略或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．二、函数单调性判断【解题方法点拨】证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．利用函数的导数证明函数单调性的步骤：第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．第六步：明确规范地表述结论【命题方向】从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．三、复合函数的单调性【解题方法点拨】求复合函数y＝f（g（x））的单调区间的步骤：（1）确定定义域；（2）将复合函数分解成两个基本初等函数；（3）分别确定两基本初等函数的单调性；（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间．【命题方向】理解复合函数的概念，会求复合函数的区间并判断函数的单调性．四．函数奇偶性【解题方法点拨】①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．【命题方向】函数奇偶性的应用．本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．五、奇偶性与单调性的综合【解题方法点拨】参照奇偶函数的性质那一考点，有：①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反【命题方向】奇偶性与单调性的综合．不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总结，一定要重视这一个知识点．考法1：定义法判断或证明函数的单调性一、单选题1．（2023·北京顺义·统考一模）下列函数中，既是偶函数又在区间0,上单调递增的是（）A．cosyxB．exyC．lgyxD．1yx2．（2023·浙江台州·统考二模）已知函数fx同时满足性质:①fxfx;②当12,0,1xx时,12120fxfxxx,则函数fx可能为()A．2fxxB．1()2xfxC．()cos4fxxD．ln1fxx3．（2023·宁夏银川·银川一中校考一模）已知函数log,12,1axxfxaxx，对任意12xx，都有12120fxfxxx成立，则a的取值范围是（）A．0,1B．1,2C．0,1D．1,24．（2023·辽宁大连·统考一模）已知对于每一对正实数x，y，函数fx满足：三、题型方法1fxfyfxyxy，若11f，则满足Nfnnn的n的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、多选题5．（2023·山东·校联考二模）若定义在0,1上的函数fx同时满足：①11f；②对0,1x，0fx成立；③对1x，2x，120,1xx，1212fxfxfxx成立；则称fx为“正方和谐函数”，下列说法正确的是（）A．2fxx，0,1x是“正方和谐函数”B．若fx为“正方和谐函数”，则00fC．若fx为“正方和谐函数”，则fx在0,1上是增函数D．若fx为“正方和谐函数”，则对0,1x，2fxx成立6．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知函数fx的定义域D关于原点对称，,0mDm且1fm，当0,xm时，0fx；且对任意,,yDxyDxD且xy，都有1fxfyfxyfyfx，则（）A．fx是奇函数B．30fmC．fx是周期函数D．fx在2,3mm上单调递减三、填空题7．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知实数x，y满足ln212yy，e5xx，则2xy________.8．（2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）已知函数22lnfxaxaxx，若对定义域内两任意的12,xx（12xx），都有1212fxfxxx2成立，则a的取值范围是________．9．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）设奇函数fx的定义域为R，且对任意12,0,xx，都有1212fxxfxfx．若当1x时，0fx，且124f，则不等式lg20fx的解集为__________．四、解答题10．（2023·吉林·东北师大附中校考二模）已知函数ecosaxfxx，其中aR．(1)若2a，求曲线yfx在点0,0f处的切线方程；(2)已知fx在区间0,π上存在唯一的极小值点．（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）记fx在区间0,π上的极小值为ga，讨论函数ga的单调性．考法2：根据函数的单调性求参数值一、单选题1．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）命题28,11:43,1xaxxpfxaxax在(,1]x上为增函数，命题24:()2axqgxx在(2,)单调减函数，则命题q是命题p的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（2023·北京丰台·统考一模）已知函数fx的定义域为R，存在常数0tt，使得对任意xR，都有()()fxtfx，当0,xt时，()2tfxx．若fx在区间3,4上单调递减，则t的最小值为（）A．3B．83C．2D．853．（2023·河南洛阳·校联考三模）若对任意的1x，2,xm，且12xx，122112lnln1xxxxxx，则m的取值范围是（）A．1,eeB．1,eC．e,D．2e,4．（2023·天津河东·统考二模）已知奇函数fx在R上是增函数，若21log5af，2log4.1bf，0.82cf，则,,abc的大小关系为A．abcB．bacC．cbaD．cab5．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）已知函数()fx的导函数'()fx满足()(1)'()0fxxfx对xR恒成立，则下列判断一定正确的是（）A．(0)02(1)ffB．0(0)2(1)ffC．02(1)(0)ffD．2(1)0(0)ff6．（2023·天津河西·统考二模）函数3222xxxy在6,6的图像大致为A．B．C．D．7．（2023·陕西汉中·统考二模）已知函数()fx的定域为R，图象恒过点(0,2)，对任意12,xxR，当12xx时，都有12121fxfxxx，则不等式lne22lne2xxf的解集为（）．A．(,ln2)B．(ln2,ln3)C．(ln3,2ln2)D．(2ln2,)8．（2023·甘肃兰州·兰州五十九中校考模拟预测）设函数23()2ln(1)3fxxxx(22)x，则使得(2)(43)0fxfx成立的x的取值范围是A．(1,1)B．1(,1)2C．(1,14)D．15(,)44二、多选题9．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数2R2axfxax，则下列说法正确的是（）A．fx的定义域为,22,B．fx在1,0上的值域为2,1aC．若fx在,2上单调递减，则1aD．若1a，则fx在定义域上单调递增三、填空题10．（2023·山东日照·山东省日照实验高级中学校考模拟预测）已知正实数,xy满足231e33exyxy，则1yxy的最小值为___________.11．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）函数f（x），g（x）的定义域都是D，直线x=x0（x0∈D），与y=f（x），y=g（x）的图象分别交于A，B两点，若|AB|的值是不等于0的常数，则称曲线y=f（x），y=g（x）为“平行曲线”，设f（x）=ex-alnx+c（a0，c≠0），且y=f（x），y=g（x）为区间（0，+）的“平行曲线”，g（1）=e，g（x）在区间（2，3）上的零点唯一，则a的取值范围是_________.四、解答题12．（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知函数21cosln,,R2fxxaxbxxbxab.(1)若0b且函数()fx在π0,2上是单调递增函数，求a的取值范围；(2)设()fx的导函数为()fx，若1201,axx、满足12fxfx，证明：1221bxxa.13．（2023·河北沧州·统考模拟预测）已知函数ln1fxxaxaR.(1)若函数yfx在区间1,上单调递