重难点02不等式（5种解题模型5种数学思想）（原卷版）

重难点02不等式（5种解题模型5种数学思想）【目录】5种解题模型一、一元二次型不等式恒成立问题二、一元二次型不等式能成立问题三、基本不等式中“1”的妙用四、利用基本不等式求参数范围五、作差法比较大小5种数学思想一、函数与方程思想二、数形结合思想三、分类与整合思想四、转化与划归思想五、特殊与一般思想考题考点考向2022新高考2，第12题基本不等式利用基本不等式求最值2020新高考1，第11题不等式的概念和性质比较大小本专题在高考题中多作为载体考查其他知识，例如结合不等式的解法考查集合间的关系与运算、函数的定义域与值域、函数零点的应用等；或考查用基本不等式解决最值或恒成立问题。考题以中低档为主。主要以选择题或填空题的形式出现，分值为5分。对于不等式及其性质内容的复习，需要结合函数的图象与性质、三角函数、数列等知识综合掌握。1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法一、真题多维细目表二、命题规律与备考策略三、题型解题技巧之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负.2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单.3.均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用均值不等式的切入点.4.对于均值不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab≤a＋b22≤a2＋b22，ab≤a＋b2≤a2＋b22(a0，b0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.5.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a＜0的情况转化为a＞0时的情形.6.在解决不等式ax2＋bx＋c0(或≥0)对于一切x∈R恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a进行讨论，并研究当a＝0时是否满足题意.7.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.5种解题模型一、一元二次型不等式恒成立问题一、单选题1．（2023·福建·统考模拟预测）已知:[1,5]px，2420xxa恒成立，则p的一个充分不必要条件是（）A．1aB．236aC．264aD．2log3a二、多选题2．（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知p：xR，210xax恒成立；q：0x，2axx恒成立.则（）A．“2a”是p的充分不必要条件B．“2a”是p的必要不充分条件C．“2a”是q的充分不必要条件D．“2a”是q的必要不充分条件三、填空题3．（2023·全国·高三专题练习）设对一切实数x，不等式四、题型方法2222224(1)2(1)log2loglog014aaaxxaaa恒成立，则a的取值范围为________.4．（2023·广西·统考模拟预测）若不等式221axxx对,0x恒成立，则a的取值范围是____________．5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2,Rxfxx，若不等式2()()0fxfxm在R上恒成立，则实数m的取值范围是________.四、双空题6．（2023·云南·高三校联考阶段练习）螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋烧而形成的曲线，如图甲所示．如图乙所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E，F、G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q，作第3个正方形MNPQ，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案，设正方形ABCD的边长为1a，后续各正方形的边长依次为23,,,,naaa；如图乙阴影部分，直角三角形AEH的面积为1b，后续各直角三角形的面积依次为23,,,,nbbb，则33ab___；记数列nb的前n项和为nS，若对于2210nnSS恒成立，则的最大值为___．五、解答题7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数224Rfxxaxa．若对任意的0,4x，10fxa恒成立，求实数a的取值范围．二、一元二次型不等式能成立问题一、单选题1．（2023·全国·模拟预测）已知1sin3cossin2222xxxfx.若存在0π,π6x，使不等式20132fxmm有解，则实数m的取值范围为（）A．0,3B．,03,C．1,32D．5,0,22．（2023·河南安阳·统考二模）已知集合20Axx，21,04BaxxaxR，则AB（）．A．1,2B．2,1C．2,1D．2,13．（2023·四川德阳·统考模拟预测）已知:02pa，q：任意2,10xaxaxR，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（2023春·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知命题“01,1x，20030xxa”为真命题，则实数a的取值范围是（）A．,2B．,4C．2,D．4,二、双空题5．（2023·陕西榆林·统考三模）若不等式2630axx对xR恒成立，则a的取值范围是__________，91aa的最小值为__________．三、填空题6．（2022秋·江苏南通·高三统考阶段练习）若关于x的不等式20axxa„在区间[0,2]上有解，则实数a的取值范围是__________．7．（2023·全国·高三专题练习）设函数fx的定义域为D，若0xD，使得00fxx，则称0x是函数fx的不动点．若函数2lnee2xxfxa在区间0,1上存在不动点，则实数a的取值范围是______．四、解答题8．（2023·重庆酉阳·重庆市酉阳第一中学校校考一模）命题p：任意xR，2230xmxm成立；命题q：存在xR，2x+410mx+成立.(1)若命题q为假命题，求实数m的取值范围；(2)若命题p和q有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围.三、基本不等式中“1”的妙用一、单选题1．已知点(1,4)A在直线10,0xyabab上，若关于t的不等式253abtt恒成立，则实数t的取值范围为（）A．6,1B．1,6C．,16,D．,61,2．已知正实数a，b，点1,4M在直线1xyab上，则ab的最小值为（）A．4B．6C．9D．123．已知正实数a，b，满足922abab，则ab的最小值为（）A．5B．52C．52D．5224．已知1a，1b，3100ab，则log103log10ab的最小值为（）A．4B．6C．8D．12二、多选题5．已知0,0ab，直线yxa与曲线1e41xyb相切，则（）A．ab的最大值为132B．14ab的最小值为25C．22ab的最小值为1717D．2ab的最大值为26．直角三角形ABC中，P是斜边BC上一点，且满足2BPPC，点,MN在过点P的直线上，若,,(0,0)AMmABANnACmn，则下列结论正确的是（）A．12mn为常数B．,mn的值可以为：15,22mnC．2mn的最小值为3D．AMNABCSSVV的最小值为89三、填空题7．在ABC中，已知9ABAC，sincossinBAC，6ABCS，P为线段AB上的点，且CACBCPxyCACB，则343xxy的最小值为___________．8．在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，120BAC且∠BAC的平分线交BC于D，若1AD，则4bc的最小值为________．9．正数a，b满足430abab，若不等式24mmab恒成立，则实数m的取值范围________．四、解答题10．已知函数32fxxx.(1)求不等式9fx的解集；(2)设fx的最小值为m，若正数a，b满足11mab，求4ab的最小值.四、利用基本不等式求参数范围一、单选题1．（2023·广东湛江·统考二模）当x，0,y时，422422417424xxyymxxyy恒成立，则m的取值范围是（）A．25,B．26,C．99,4D．27,二、多选题2．（2023·全国·模拟预测）已知0a，0b，22ab，则下列结论正确的是（）A．120baB．12abC．2244abD．128ab三、填空题3．（2023·全国·模拟预测）已知函数fx为偶函数，gx为奇函数，2exfxgx，若不等式23[2e1xfxmgx恒成立，则实数m的最大值为______．4．（2023·天津和平·统考二模）设,xyR，1a，1b，若3xyab，318ab，则11xy的最大值为__________．5．（2023春·福建·高三校联考阶段练习）已知π02x，，若不等式2sin2sinxtxt恒成立，则实数t的最小值为______四、双空题6．（2023·辽宁锦州·统考二模）在OAB中，4,120OAABOAB，若空间点P满足12PABOABSS△△，则OP的最小值为___________；直线OP与平面OAB所成角的正切的最大值是___________.五、解答题7．（2023春·山东·高一滨州一中校联考期中）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且1sincos2aAA.(1)求ABC外接圆的周长；(2)若π3A，3a，求ABC面积的最大值.五、作差法比较大小一、单选题1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知110ab，则下列不等式不一定成立的是（）A．abB．2baabC．11ababD．log0ba2．（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知3log2x，4log3y，2334z，则x、y、z的大小关系为（）A．xyzB．yxzC．zyxD．yzx3．（2023·吉林·统考三模）已知110ba，则下列不等式不一定成立的是（）A．abB．2baabC．11ababD．ln0ba二、多选题4．（2023·广东惠州·统考一模）若62,63ab，则（）A．1baB．14abC．2212abD．15ba5．（2023春·江苏南京·高一江苏省高淳高级中学校联考阶段练习）已知abc，，∈R，则下列结论正确的是（）A．若22acbc，则abB．若0ab，则2aabC．若0cab，则abcacbD．若1ab，则11abba6．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知23233logloglogloglog6aabb-，且0ab，则下列不等式成立的有（）A．2abB．11abbC．1442abD．1422ba三、解答题7．（2020秋·河北·高三统考学业考试）已知函数221fxaxaxa在区间3,4上是增函数．(1)求实数a的取值范围；(2)设12