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综合训练09空间向量与立体几何（13种题型60题专练）一．空间中的点的坐标（共1小题）1．（2023•东城区校级模拟）在空间直角坐标系O﹣xyz中．正四面体P﹣ABC的顶点A，B分别在x轴，y轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则|OP|的取值范围是（）A．[﹣1，+1]B．[1，3]C．[﹣1，2]D．[1，+1]二．空间向量及其线性运算（共2小题）2．（2023•湖南模拟）如图，M在四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，且，设，，，则下列向量与相等的向量是（）A．B．C．D．3．（2023•鼓楼区校级模拟）在三棱锥P﹣ABC中，点O为△ABC的重心，点D，E，F分别为侧棱PA，PB，PC的中点，若，，，则＝（）A．B．C．D．三．共线向量与共面向量（共1小题）（多选）4．（2023•蕉城区校级模拟）已知空间单位向量，，两两夹角均为60°，，，则下列说法中正确的是（）A．P、A、B、C四点可以共面B．C．D．四．空间向量的数量积运算（共2小题）5．（2023•海安市校级一模）设向量＝（3，5，2），＝（﹣2，1，3），当数m与n满足下列哪种关系时，向量m+n与x轴垂直（）A．3m＝2nB．3m＝nC．m＝2nD．m＝n6．（2023•滁州模拟）已知向量，，若，则x＝（）A．﹣3B．3C．﹣1D．6五．空间向量的夹角与距离求解公式（共1小题）7．（2023•小店区校级模拟）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，动点P、Q分别在线段C1D、AC上，则线段PQ长度的最小值是（）A．B．C．D．六．空间向量基本定理、正交分解及坐标表示（共2小题）8．（2023•新乡模拟）已知点O、A、B、C为空间不共面的四点，且向量＝++，向量＝+﹣，则与、不能构成空间基底的向量是（）A．B．C．D．或9．（2023•西安模拟）空间四边形ABCD中，AC与BD是四边形的两条对角线，M，N分别为线段AB，CD上的两点，且满足，，若点G在线段MN上，且满足，若向量满足，则x+y+z＝．七．向量的数量积判断向量的共线与垂直（共1小题）10．（2023•湖北模拟）已知向量的夹角为60°，若，则＝（）A．1B．2C．3D．4八．直线的方向向量、空间直线的向量参数方程（共2小题）11．（2023•琼山区校级三模）直线x﹣3y+1＝0的一个方向向量是（）A．（1，3）B．（3，1）C．（1，﹣3）D．（3，﹣1）12．（2023•固镇县三模）直线x﹣3y+1＝0的一个方向向量是（）A．（1，﹣3）B．（1，3）C．（3，﹣1）D．（3，1）九．平面的法向量（共4小题）13．（2023•盱眙县校级四模）已知平面α内有一个点A（2，﹣1，2），α的一个法向量为＝（3，1，2），则下列点P中，在平面α内的是（）A．（1，﹣1，1）B．C．D．（多选）14．（2023•锡山区校级一模）已知平面α的一个法向量为，平面β的一个法向量为，直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则（）A．l∥αB．α⊥βC．l与m为相交直线或异面直线D．在向量上的投影向量为（多选）15．（2023•定远县校级一模）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的有（）A．B．向量与所成角的余弦值为C．平面AEF的一个法向量是（4，﹣1，2）D．A1D⊥BD1（多选）16．（2023•抚松县校级模拟）下列命题是真命题的有（）A．A，B，M，N是空间四点，若不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面B．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直C．直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥αD．平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），是平面α的法向量，则u+t＝1一十．直线与平面所成的角（共11小题）17．（2023•保定二模）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，对角线B1D与平面A1BC1交于E点．则A1E与面AA1D1D所成角的余弦值为（）A．B．C．D．18．（2023•保定一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AB＝2，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，且，则PC与平面PAD所成角的正切值为（）A．2B．C．D．19．（2023•嵊州市模拟）在△ABC中，，，BC＝1，D为AC中点，若将△BCD沿着直线BD翻折至△BC′D，使得四面体C′﹣ABD的外接球半径为1，则直线BC′与平面ABD所成角的正弦值是（）A．B．C．D．20．（2023•鼓楼区校级模拟）如图，在圆台OO1中，，点C是底面圆周上异于A、B的一点，AC＝2，点D是BC的中点，l为平面O1AC与平面O1OD的交线，则交线l与平面O1BC所成角的大小为（）A．B．C．D．（多选）21．（2023•定远县校级模拟）如图，正方体ABCD﹣EFGH的棱长为1，点P为BF的中点，下列说法正确的是（）A．FD⊥CHB．FG∥平面ACHC．点P到平面AGC的距离为D．PH与平面CGHD所成角的正弦值为（多选）22．（2023•思明区校级二模）已知正四棱锥P﹣ABCD的所有棱长均为，E，F分别是PC，AB的中点，M为棱PB上异于P，B的一动点，则以下结论正确的是（）A．异面直线EF、PD所成角的大小为B．直线EF与平面ABCD所成角的正弦值为C．△EMF周长的最小值为D．存在点M使得PB⊥平面MEF（多选）23．（2023•全国二模）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为，点E，F是棱DD1，CC1的中点，点M是侧面CDD1C1内运动（包含边界），且AM与面CDD1C1所成角的正切值为，下列说法正确的是（）A．MC1的最小值为B．存在点M，使得AM⊥CEC．存在点M，使得AM∥平面BDFD．所有满足条件的动线段AM形成的曲面面积为24．（2023•河南模拟）三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在半径为5的球面上，已知P到平面ABC的距离为7，AB⊥AC，BC＝6．记PA与平面ABC所成的角为θ，则sinθ的取值范围为．25．（2023•温州模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，△ADP是等边三角形，AB＝AP＝2，BP＝3，AD⊥BP．（Ⅰ）求BC的长度；（Ⅱ）求直线BC与平面ADP所成的角的正弦值．26．（2023•潮阳区三模）如图，在三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点．（1）证明：OA⊥CD；（2）若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E﹣BC﹣D的大小为45°，求直线AC与平面BCE所成角的正弦值．27．（2023•分宜县校级一模）在正△ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点，满足，将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1﹣EF﹣B成直二面角，连接A1B，A1P．（1）求证：A1E⊥平面BEP；（2）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小．一十一．二面角的平面角及求法（共15小题）28．（2023•南关区校级模拟）庑殿（图1）是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，多用于宫殿、坛庙、重要门楼等高级建筑上，庑殿的基本结构包括四个坡面，坡面相交处形成5根屋脊，故又称“四阿殿”或“五脊殿”．图2是根据庑殿顶构造的多面体模型，底面ABCD是矩形，且四个侧面与底面的夹角均相等，则（）A．AB＝BC+EFB．C．D．AB＝2BC﹣EF29．（2023•湖北模拟）如图，把一个长方形的硬纸片ABCD沿长边AB所在直线逆时针旋转45°得到第二个平面ABEF，沿宽边AF所在直线逆时针旋转45°得到第三个平面AFGH，则第一个平面和第三个平面所成锐二面角大小的余弦值是（）A．B．C．D．30．（2023•哈尔滨一模）在边长为3的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，将△ABD绕直线BD旋转到．△A'BD，使得四面体A'BCD外接球的表面积为18π，则此时二面角A'﹣BD﹣C的余弦值为（）A．﹣B．﹣C．D．31．（2023•包河区校级模拟）过原点的直线l与曲线交于A，B两点，现以x轴为折痕将上下两个半平面折成60°的二面角，则|AB|的最小值为（）A．2B．C．4D．1232．（2023•唐县校级二模）如图，在正三棱台ABC﹣A1B1C1中，已知AB＝2A1B1＝4，点P是侧棱BB1上的动点（含端点）．记二面角P﹣AC﹣A1为α，二面角P﹣AC﹣B为β，若存在点P，使得α＝β，则侧棱BB1的最小值为．33．（2023•四川模拟）已知棱锥P﹣ABCDE的底面五边形中，ABCD为边长为2的正方形，△ADE为等腰直角三角形，AE＝DE＝PE，又PA⊥DE．（1）在线段PB上找一点G，使得平面GAC∥平面PDE，并说明理由；（2）在（1）的条件下，二面角B﹣DE﹣P为120°，求CG与平面PAC所成角的正弦值．34．（2023•鲤城区校级模拟）如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面CDD1C1上有一个小孔E，E点到CD的距离为3，若该正方体水槽绕CD倾斜（CD始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面CDD1C1与桌面所成角的正切值为（）A．B．C．D．235．（2023•鹰潭一模）如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝，平面BDD1B1⊥平面ABCD，点O1，O分别为B1D1，BD的中点，O1B＝1，∠A1AB，∠O1BO均为锐角．（1）求证：AC⊥BB1；（2）若顶点A1到底面ABCD的距离为，求二面角B﹣AA1﹣C的平面角的余弦值．36．（2023•蕉城区校级模拟）图1是由直角梯形ABCD和以CD为直径的半圆组成的平面图形，AD∥BC，AD⊥AB，．E是半圆上的一个动点，当△CDE周长最大时，将半圆沿着CD折起，使平面PCD⊥平面ABCD，此时的点E到达点P的位置，如图2．（1）求证：BD⊥PD；（2）求平面PAB和平面PCD夹角的余弦值．37．（2023•盱眙县校级四模）如图，在平面五边形ABCDE中△ADE是边长为2的等边三角形，四边形ABCD是直角梯形，其中AD∥BC，AD⊥DC，BC＝1，CD＝．将△ADE沿AD折起，使得点E到达点M的位置，且使BM＝．（1）求证：平面MAD⊥平面ABCD；（2）设点P为棱CM上靠近点C的三等分点，求平面PBD与平面MAD所成的二面角的正弦值．38．（2023•浙江模拟）在三棱锥P﹣ABC中，，直线PA与平面ABC所成角为，直线PB与平面ABC所成角为．（1）求三棱锥体积的取值范围；（2）当直线PC与平面ABC所成角最小时，求二面角P﹣AB﹣C的平面角的余弦值．39．（2023•市中区校级模拟）在直角梯形AA1B1B中，A1B1∥AB，AA1⊥AB，AB＝AA1＝2A1B1＝6，直角梯形AA1B1B绕直角边AA1旋转一周得到如下图的圆台A1A，已知点P，Q分别在线段CC1，BC上，二面角B1﹣AA1﹣C1的大小为θ．（1）若θ＝120°，，AQ⊥AB，证明：PQ∥平面AA1B1B；（2）若θ＝90°，点P为CC1上的动点，点Q为BC的中点，求PQ与平面AA1C1C所成最大角的正切值，并求此时二面角Q﹣AP﹣C的余弦值．40．（2023•重庆模拟）如图四棱锥S﹣ABCD，AC＝2，B，D在以AC为直径的圆上，SA⊥平面为SC的中点．（1）若，证明：DE⊥AB；（2）当二面角D﹣SC﹣A的正切值为时，求点B到平面SCD距离的最大值．41．（2023•泸县校级模拟）在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，在“阳马”P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD．（1）若PB＝4，试计算底面ABCD面积的最大值；（2）过棱PC的中点E作EF⊥PB，交PB于点F，连DE，DF，BD，若平面DEF与平面ABCD所成锐二面