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考点11平面向量及其应用（20种题型6个易错考点）考题考点考向2022新高考1，第3题平面向量的概念及线性运算向量的线性运算2022新高考2，第4题数量积的综合应用由夹角相等求参数值2021新高考1，第10题数量积的定义及夹角与模问题利用坐标运算求解向量的模，数量积2021新高考2，第15题数量积的综合应用平面向量的数量积2021全国乙理，第14题数量积的定义及夹角与模问题由向量垂直求参数2020新高考2，第3题平面向量的概念及线性运算向量的线性运算2020新高考1，第7题数量积的综合应用求数量积的取值范围高考对本章内容的考查以平面向量的基础知识、基本运算为主，考查与平面向量基本定理相关的线性运算、向量的数量积运算、向量的夹角、向量的模。试题以中低档为主，以选择题或填空题的形式出现，分值为5分。高考对本章的考查依然是基础与能力并存，在知识形成过程、知识迁移种渗透数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养，重视函数与方程、数形结合、转化与划归思想。一．选择题（共4小题）1．（2023•甲卷）已知向量＝（3，1），＝（2，2），则cos〈+，﹣〉＝（）A．B．C．D．2．（2023•甲卷）向量||＝||＝1，||＝，且+＝，则cos〈﹣，﹣〉＝（）A．B．C．D．3．（2023•乙卷）正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则•＝（）A．B．3C．2D．54．（2023•新高考Ⅰ）已知向量＝（1，1），＝（1，﹣1）．若（+λ）⊥（+μ），则（）A．λ+μ＝1B．λ+μ＝﹣1C．λμ＝1D．λμ＝﹣1二．填空题（共1小题）一、真题多维细目表二、命题规律与备考策略三、2023真题抢先刷，考向提前知5．（2023•新高考Ⅱ）已知向量，满足|﹣|＝，|+|＝|2﹣|，则||＝．1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ0时，λa与a的方向相同；当λ0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μ_a；λ(a＋b)＝λa＋λb3.两个向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa．4．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．5．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模四、考点清单设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21．(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2．6．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．7．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．8．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则|a||b|·cos_θ叫做a与b的数量积，记作a·b投影|a|cos_θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos_θ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘积9.向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.10．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.结论几何表示坐标表示模|a|＝a·a|a|＝x21＋y21夹角cosθ＝a·b|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝011.平面向量与解三角形的综合应用(1)解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决．(2)还应熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量模、夹角的坐标运算公式以及三角恒等变换、正、余弦定理等知识．常用结论1．五个特殊向量(1)要注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0.(2)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．(3)任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量．(4)与向量a平行的单位向量有两个，即向量a|a|和－a|a|.2．五个常用结论(1)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即A1A2→＋A2A3→＋A3A4→＋…＋An－1An→＝A1An→.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．(2)若P为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则OP→＝12(OA→＋OB→)．(3)若A，B，C是平面内不共线的三点，则PA→＋PB→＋PC→＝0⇔P为△ABC的重心．(4)在△ABC中，AD，BE，CF分别为三角形三边上的中线，它们交于点G(如图所示)，易知G为△ABC的重心，则有如下结论：①GA→＋GB→＋GC→＝0；②AG→＝13(AB→＋AC→)；③GD→＝12(GB→＋GC→)，GD→＝16(AB→＋AC→)．(5)若OA→＝λOB→＋μOC→(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.3．基底需要的关注三点(1)基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一．(3)如果对于一组基底e1，e2，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则可以得到λ1＝μ1，λ2＝μ2.4．共线向量定理应关注的两点(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成x1x2＝y1y2，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0.(2)判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后按两向量共线进行判定．5．两个结论(1)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为x1＋x22，y1＋y22.(2)已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为x1＋x2＋x33，y1＋y2＋y33.6．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线．7．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.一．向量的概念与向量的模（共2小题）1．（2023•叶城县校级模拟）已知，，若与模相等，则＝（）A．3B．4C．5D．62．（2023•广西模拟）已知和是两个正交单位向量，且，则k＝（）A．2或3B．2或4C．3或5D．3或4二．向量相等与共线（共2小题）3．（2023•南通模拟）若向量满足，则向量一定满足的关系为（）A．B．存在实数λ，使得C．存在实数m，n，使得D．4．（2023•湖北模拟）已知向量，则“与共线”是“存在唯一实数λ使得”的（）五、题型方法A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件三．平面向量的线性运算（共1小题）5．（2023•济南三模）在△ABC中，若，则△ABC面积的最大值为（）A．B．C．1D．四．向量的加法（共1小题）6．（2023•浙江模拟）设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，则＝（）A．B．C．D．五．向量的减法（共1小题）7．（2023•防城港模拟）在△ABC中，D为BC的中点，则＝（）A．B．C．D．六．向量的三角形法则（共2小题）8．（2023•普宁市校级二模）设是单位向量，＝3，＝﹣3，||＝3，则四边形ABCD（）A．梯形B．菱形C．矩形D．正方形9．（2023•西宁模拟）在△ABC中，D是AB边上的中点，则＝（）A．2+B．﹣2C．2﹣D．+2七．向量加减混合运算（共1小题）10．（2023•雁塔区校级模拟）已知＝（1，），＝（2，0），则|﹣3|＝（）A．2B．2C．24D．28八．两向量的和或差的模的最值（共3小题）11．（2023•安徽模拟）△ABC中，||＝2||，则sinA的最大值为（）A．B．C．D．12．（2023•张家口一模）已知向量，，都是单位向量，若，则的最大值为（）A．B．2C．D．13．（2023•市中区校级一模）若平面向量，，满足，，，，则的最小值为．九．向量数乘和线性运算（共2小题）14．（2023•石狮市校级模拟）我国古代入民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，E为BF的中点，则＝（）A．B．C．D．15．（2023•湖南模拟）如图，正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若＝λ+μ，则λ+μ＝（）A．2B．C．D．一十．平面向量数量积的含义与物理意义（共2小题）16．（2023•天门模拟）已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（）A．1B．﹣1C．D．17．（2023•淮北二模）已知向量，满足•＝10，且＝（﹣3，4），则在上的投影向量为（）A．（﹣6，8）B．（6，﹣8）C．（﹣，）D．（，﹣）一十一．平面向量数量积的性质及其运算（共3小题）18．（2023•射洪市校级模拟）已知平面向量，，的夹角为60°，，则实数t（）A．﹣1B．1C．D．±119．（2023•鼓楼区校级模拟）在边长为2的菱形ABCD中，，则的最小值为（）A．﹣2B．C．D．20．（2023•虹口区校级三模）已知平面向量满足，则的取值范围是．一十二．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（共2小题）21．（2023•广州三模）已知向量，，且，则＝（）A．3B．4C．5D．622．（2023•丹东模拟）已知向量，，则＝（）A．﹣5B．﹣3C．3D．5一十三．向量的投影（共2小题）23．（2023•翠屏区校级模拟）已知向量，若，则在方向上的投影为（）A．1B．﹣1C．D．24．（2023•宜宾模拟）已知点M是圆C：（x﹣4）2+y2＝4上的一个动点，点N是直线y＝x上除原点O外的任意一点，则向量在向量上的投影的最大值是（）A．B．C．D．一十四．投影向量（共2小题）25．（2023•东莞市校级三模）已知向量，则向量在向量方向上的投影向量为（）A．（6，﹣3）B．C．D．26．（2023•开福区校级二模）已知单位向量，的夹角为60°，则向量在方向上的投影向量为（）A．B．C．D．一十五．平面向量的基本定理（共3小题）27．（2023•斗门区校级三模）在梯形