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考点09二分法与求方程近似解（5种题型与基础、易错专练）一．选择题（共1小题）1．（2020•天津）已知函数f（x）＝若函数g（x）＝f（x）﹣|kx2﹣2x|（k∈R）恰有4个零点，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣）∪（0，2）C．（﹣∞，0）∪（0，2）D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）二．填空题（共2小题）2．（2020•上海）设a∈R，若存在定义域为R的函数f（x）同时满足下列两个条件：（1）对任意的x0∈R，f（x0）的值为x0或x02；（2）关于x的方程f（x）＝a无实数解，则a的取值范围是．3．（2022•天津）设a∈R，对任意实数x，记f（x）＝min{|x|﹣2，x2﹣ax+3a﹣5}．若f（x）至少有3个零点，则实数a的取值范围为．三．解答题（共2小题）4．（2022•上海）已知函数f（x）的定义域为R，现有两种对f（x）变换的操作：φ变换：f（x）﹣f（x﹣t）；ω变换：|f（x+t）﹣f（x）|，其中t为大于0的常数．（1）设f（x）＝2x，t＝1，g（x）为f（x）做φ变换后的结果，解方程：g（x）＝2；（2）设f（x）＝x2，h（x）为f（x）做ω变换后的结果，解不等式：f（x）≥h（x）；（3）设f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，f（x）先做φ变换后得到u（x），u（x）再做ω变换后得到h1（x）；f（x）先做ω变换后得到v（x），v（x）再做φ变换后得到h2（x）．若h1（x）＝h2（x）恒成立，证明：函数f（x）在R上单调递增．5．（2022•乙卷）已知函数f（x）＝ln（1+x）+axe﹣x．（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）若f（x）在区间（﹣1，0），（0，+∞）各恰有一个零点，求a的取值范围．一、2022真题抢先刷，考向提前知一．函数的零点一般地，对于函数y＝f（x）（x∈R），我们把方程f（x）＝0的实数根x叫作函数y＝f（x）（x∈D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数．【解法——二分法】①确定区间[a，b]，验证f（a）*f（b）＜0，给定精确度；②求区间（a，b）的中点x1；③计算f（x1）；④若f（x1）＝0，则x1就是函数的零点；⑤若f（a）f（x1）＜0，则令b＝x1（此时零点x0∈（a，x1））；⑥若f（x1）f（b）＜0，则令a＝x1．（此时零点x0∈（x1，b）⑦判断是否满足条件，否则重复（2）～（4）【总结】零点其实并没有多高深，简单的说，就是某个函数的零点其实就是这个函数与x轴的交点的横坐标，另外如果在（a，b）连续的函数满足f（a）•f（b）＜0，则（a，b）至少有一个零点．这个考点属于了解性的，知道它的概念就行了．二．函数零点的判定定理1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．特别提醒：（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．2、函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．二、考点清单特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；②函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．三．函数的零点与方程根的关系函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．【解法】求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．【考查趋势】考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．四．二分法的定义与应用二分法即一分为二的方法．设函数f（x）在[a，b]上连续，且满足f（a）•f（b）＜0，我们假设f（a）＜0，f（b）＞0，那么当x1＝时，若f（x1）＝0，这说x1为零点；若不为0，假设大于0，那么继续在[x1，b]区间取中点验证它的函数值为0，一直重复下去，直到找到满足要求的点为止．这就是二分法的基本概念．【二分法的应用】我们以具体的例子来说说二分法应用的一个基本条件：例题：下列函数图象均与x轴有交点，其中能用二分法求函数零点的是解：能用二分法求函数零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反，有图象可得，只有③能满足此条件，故答案为③．在这个例题当中，所要求的能力其实就是对概念的理解，这也是二分法它惯用的考查形式，通过这个例题，希望同学们能清楚二分法的概念和常考题型．【二分法求方程的近似解】二分法在高中主要属于了解性的内容，拿二分法求近似解思路也比较固定，这里我们主要以例题来做讲解．例：用二分法求方程在[1，2]上的近似解，取中点c＝1.5，则下一个有根区间是[1.5，2]．解：令函数f（x）＝lnx﹣，由于f（1.5）＝ln（1.5）﹣＝（ln1.52﹣2）＜（lne2﹣2）＝0，即f（1.5）＜0，而f（2）＝ln2﹣＝ln2﹣ln＝ln＝ln＞ln1＝0，即f（2）＞0，故函数f（x）在[1.52]上存在零点，故方程在[1.5，2]上有根，故答案为[1.5，2]．通过这个例题，我们可以发现二分法的步奏，第一先确定f（a）•f（b）＜0的a，b点；第二，寻找区间（a，b）的中点，并判断它的函数值是否为0；第三，若不为0，转第一步．五．函数与方程的综合运用函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解．有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的．笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题．宇宙世界，充斥着等式和不等式．一．函数的零点（共4小题）1．（2023•乌鲁木齐三模）定义符号函数，则方程x2sgnx＝5x﹣6的解是（）A．2或﹣6B．3或﹣6C．2或3D．2或3或﹣6三、题型方法2．（2023•北京模拟）的零点为．3．（2023•毕节市模拟）给出下列命题：①函数f（x）＝2x﹣x2恰有两个零点；②若函数在（0，+∞）上的最小值为4，则a＝4；③若函数f（x）满足f（x）+f（1﹣x）＝4，则；④若关于x的方程2|x|﹣m＝0有解，则实数m的取值范围是（0，1]．其中正确的是（）A．①③B．②④C．③④D．②③4．（2023•汉中模拟）设x1，x2分别是函数f（x）＝x﹣a﹣x和g（x）＝xlogax﹣1的零点（其中a＞1），则x1+4x2的取值范围是（）A．[4，+∞）B．（4，+∞）C．[5，+∞）D．（5，+∞）二．函数零点的判定定理（共7小题）5．（2023•西安模拟）已知f（x）＝ex+lnx+2，若x0是方程f（x）﹣f'（x）＝e的一个解，则x0可能存在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）6．（2023•重庆一模）函数f（x）＝lnx+2x﹣6的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）7．（2023•海南一模）函数的零点所在的大致区间为（）A．（1，e）B．（e，e2）C．（e2，e3）D．（e3，e4）8．（2023•洪山区校级模拟）已知函数f（x）＝ax+（1+a）x﹣2（a＞0且a≠1），若函数f（x）恰有一个零点，则实数a的取值范围为．9．（2023•桃城区校级模拟）已知函数在区间[2，4]上有零点，则的最小值为．10．（2023•荔湾区校级模拟）设函数g（x）＝f（x）﹣4x﹣1．若函数g（x）在区间（﹣1，1）上有且仅有一个零点，则实数m的取值范围是（）A．{﹣1}∪[，+∞）B．C．D．11．（2023•杭州模拟）函数f（x）＝ex+ax+b在区间[1，3]上存在零点，则a2+b2的最小值为．三．函数的零点与方程根的关系（共18小题）12．（2023•海淀区校级模拟）已知函数f（x）＝，方程f（x）﹣t＝0有两个实数解，分别为x1和x2，当1＜t＜3时，若存在t使得x1+x2＝4成立，则k的取值范围为（）A．B．C．D．13．（2023•龙华区校级模拟）关于函数f（x）＝，其中a，b∈R，给出下列四个结论：甲：5是该函数的零点．乙：4是该函数的零点．丙：该函数的所有零点之积为0．丁：方程f（x）＝1有两个不等的实根．若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误的结论是（）A．甲B．乙C．丙D．丁14．（2023•山西模拟）已知函数，则f（x）与g（x）图象的交点个数是（）A．6B．4C．3D．215．（2023•阿勒泰地区三模）已知，若函数f（x）在区间上有且只有3个零点，则θ的范围为（）A．B．C．D．16．（2023•烟台模拟）已知函数，若f（x）＝m存在四个不相等的实根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4），则的最小值是．17．（2023•龙岩模拟）已知函数f（x）＝关于x的方程f（x）＝k恰有三个不同实数解x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），且关于m的方程5lnm+有实数解，则实数m的取值范围为．18．（2023•赤峰模拟）已知函数，若方程f（x）＝b有解，则实数b的取值范围是（）A．（﹣∞，log25）B．（﹣∞，log25]C．[2，+∞）D．（﹣∞，2）19．（2023•江西模拟）函数在区间[﹣3，5]上的所有零点之和为（）A．6B．8C．12D．1620．（2023•咸阳模拟）已知函数，则函数g（x）＝f（f（x））﹣1的零点个数是（）A．1B．0C．2D．321．（2023•聊城三模）已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，若f（x+1）是偶函数，g（x）＝（x﹣1）f′（x）﹣1恰有四个零点，则这四个零点的和为．22．（2023•天津三模）已知函数，若函数g（x）＝f（x）﹣ax﹣1在R上恰有三个不同的零点，则a的取值范围是．23．（2023•苏州三模）设a＞0，函数，若g（x）＝f（x）﹣b恰有三个不同的零点，且b是其中的一个零点，则实数b的值为．24．（2023•高州市二模）已知函数，若存在实数k，使得方程f（x）＝k有6个不同实根x1，x2，x3，x4，x5，x6，且x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6，则a的取值范围是；的值为．25．（2023•绍兴二模）设函数f（x）＝x﹣sin．（1）证明：当x∈[0，1]时，f（x）≤0；（2）记g（x）＝f（x）﹣aln|x|，若g（x）有且仅有2个零点，求a的值．26．（2023•南昌一模）已知函数f（x）＝（x﹣a）2+bex（a，b∈R）．（1）若a＝0时，函