专题9.4 抛物线的定义与性质(解析版)

9.4抛物线的定义与性质思维导图知识点总结内容提要1.抛物线的定义：平面上到定点𝐹的距离与到定直线𝑙(不过定点𝐹)的距离相等的点的轨迹是抛物线，其中定点𝐹叫做抛物线的焦点，定直线𝑙叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程与简单几何性质：定义标准方程()𝑝0焦点准线范围对称轴顶点图形|𝐴𝐹|=𝑑𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝2，0)𝑥=−𝑝2𝑥≥0𝑦∈𝐑𝑥轴原点𝑦2=−2𝑝𝑥(−𝑝2，0)𝑥=𝑝2𝑥≤0𝑦∈𝐑𝑥轴定义标准方程()𝑝0焦点准线范围对称轴顶点图形|𝐴𝐹|=𝑑𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝2，0)𝑥=−𝑝2𝑥≥0𝑦∈𝐑𝑥轴原点𝑥2=2𝑝𝑦(0，𝑝2)𝑦=−𝑝2𝑥∈𝐑𝑦≥0𝑦轴𝑥2=−2𝑝𝑦(0，−𝑝2)𝑦=𝑝2𝑥∈𝐑𝑦≤0𝑦轴3.抛物线上的点到焦点𝐹的距离可用坐标表示，例如开口向右的抛物线𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝0)中，若点𝐴在抛物线上，且𝐴𝐷⊥准线于𝐷，如上表中第1个图，有|𝐴𝐹|=|𝐴𝐷|=𝑥𝐴+𝑝2，其余开口的抛物线类似.典型例题分析考向一抛物线的定义【例1】已知抛物线𝐶：𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝0)的焦点为𝐹，准线𝑙与𝑥轴交于点𝑃，过𝐹且垂直于𝑥轴的直线与抛物线交于𝐴，𝐵两点，若△𝑃𝐴𝐵的面积为2，则𝑝=答案：√2解析：如图，可以𝐴𝐵为底，𝑃𝐹为高来计算△𝑃𝐴𝐵的面积，下面先求|𝐴𝐵|，将𝑥=𝑝2代入𝑦2=2𝑝𝑥解得：𝑦=±𝑝，所以|𝐴𝐵|=2𝑝，又|𝑃𝐹|=𝑝，所以𝑆△𝑃𝐴𝐵=12|𝐴𝐵|⋅|𝑃𝐹|=12⋅2𝑝⋅𝑝=𝑝2，由题意，𝑆△𝑃𝐴𝐵=2，所以𝑝2=2，故𝑝=√2.【变式】(2020.新课标I卷)已知𝐴为抛物线𝐶：𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝0)上一点，点𝐴到𝐶的焦点的距离为12，到𝑦轴的距离为9，则𝑝=()A.2B.3C.6D.9答案：C解析：如图，涉及抛物线上的点到焦点的距离，考虑抛物线的定义，设焦点为𝐹(𝑝2，0)，准线为𝑙：𝑥=−𝑝2，作𝐴𝐻⊥𝑙于𝐻，交𝑦轴于𝐺，由抛物线定义，|𝐴𝐻|=|𝐴𝐹|=12，又|𝐴𝐺|=9，所以|𝐻𝐺|=|𝐴𝐻|−|𝐴𝐺|=12−9=3，即𝑝2=3，故𝑝=6.考向二抛物线的标准方程【例2】若抛物线𝐶的顶点在原点，焦点坐标为(32，0)，则抛物线𝐶的标准方程为，准线方程是___________答案：𝑦2=6𝑥，𝑥=−32解析：先判断开口，并设标准方程，焦点为(32，0)⇒开口向右，可设抛物线方程为𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝0)，则其焦点坐标为(𝑝2，0)，由题意，𝑝2=32，所以𝑝=3，故𝐶的方程为𝑦2=6𝑥，准线方程为𝑥=−32.[变式1]若抛物线𝑦=𝑎𝑥2的准线方程为𝑦=−18，则𝑎=___________答案：2解析：先把所给方程化为标准方程，即把平方项系数化1，并判断开口，𝑦=𝑎𝑥2⇒𝑥2=1𝑎𝑦，由抛物线的准线方程是𝑦=−18知抛物线开口向上，所以𝑎0，且2𝑝=1𝑎，从而𝑝=12𝑎，故抛物线的准线方程为𝑦=−14𝑎，与𝑦=−18比较可得−14𝑎=−18，解得：𝑎=2.[变式2]顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线𝐶经过点𝐴(2，1)，则𝐶的方程为___________答案：𝑦2=12𝑥或𝑥2=4𝑦解析：抛物线过点𝐴(2，1)，有如图所示的两种情况，下面分别考虑，若开口向右，可设抛物线𝐶的方程为𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝0)，将点𝐴(2，1)代入可得：12=2𝑝⋅2，解得：𝑝=14，所以𝐶的方程为𝑦2=12𝑥；若开口向上，可设抛物线𝐶的方程为𝑥2=2𝑚𝑦(𝑚0)，将点𝐴(2，1)代入可得：22=2𝑚，解得：𝑚=2，所以𝐶的方程为𝑥2=4𝑦；综上所述，𝐶的方程为𝑦2=12𝑥或𝑥2=4𝑦.考向三焦半径和焦点弦【例3】已知抛物线𝐸：𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝0)的焦点为𝐹，点𝐴是抛物线𝐸的准线与坐标轴的交点，点𝑃在抛物线𝐸上，若∠𝑃𝐴𝐹=30∘，则|𝑃𝐴||𝑃𝐹|=___________，sin∠𝑃𝐹𝐴=___________答案：2√33，√33解析：涉及|𝑃𝐹|，常用抛物线定义转化为𝑃到准线的距离，如图，作𝑃𝑄⊥准线于𝑄，因为∠𝑃𝐴𝐹=30∘，所以∠𝑃𝐴𝑄=60∘，设|𝑃𝐹|=𝑚，则|𝑃𝑄|=𝑚，所以|𝑃𝐴|=|𝑃𝑄|sin∠𝑃𝐴𝑄=𝑚sin60∘=2√3𝑚3，故|𝑃𝐴||𝑃𝐹|=2√33，在△𝑃𝐴𝐹中，𝑃𝐴和𝑃𝐹所对的角恰好分别是∠𝑃𝐹𝐴和∠𝑃𝐴𝐹，故可用正弦定理求sin∠𝑃𝐹𝐴，在△𝑃𝐴𝐹中，由正弦定理，|𝑃𝐴|sin∠𝑃𝐹𝐴=|𝑃𝐹|sin∠𝑃𝐴𝐹，所以sin∠𝑃𝐹𝐴=|𝑃𝐴|sin∠𝑃𝐴𝐹|𝑃𝐹|=2√3𝑚3×12𝑚=√33.考向四直线与抛物线有关计算问题【例4】已知抛物线𝐶：𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝0)的焦点为𝐹(1，0)，准线与𝑥轴交于点𝐴，点𝑀在第一象限且在抛物线𝐶上，则当|𝑀𝐹||𝑀𝐴|取得最小值时，直线𝐴𝑀的方程为___________答案：𝑥−𝑦+1=0解析：涉及|𝑀𝐹|，想到用定义转化为𝑀到准线的距离，如图1，作𝑀𝑁⊥准线于𝑁，则|𝑀𝐹|=|𝑀𝑁|，所以|𝑀𝐹||𝑀𝐴|=|𝑀𝑁||𝑀𝐴|=cos∠𝐴𝑀𝑁，又𝑀𝑁//𝑥轴，所以∠𝑀𝐴𝐹=∠𝐴𝑀𝑁，故|𝑀𝐹||𝑀𝐴|=cos∠𝑀𝐴𝐹，于是只需找cos∠𝑀𝐴𝐹最小的情形，此时∠𝑀𝐴𝐹最大，如图2，当𝐴𝑀为抛物线切线时，∠𝑀𝐴𝐹最大，抛物线𝐶的准线为𝑥=−1，所以𝐴(−1，0)，故可设图2中切线𝐴𝑀的方程为𝑥=𝑚𝑦−1，联立{𝑥=𝑚𝑦−1𝑦2=4𝑥消去𝑥整理得：𝑦2−4𝑚𝑦+4=0，因为直线𝐴𝑀与抛物线相切，所以𝛥=(−4𝑚)2−4×1×4=0，解得：𝑚=±1，因为𝑀在第一象限，所以𝑚=1，故直线𝐴𝑀的方程为𝑥=𝑦−1，即𝑥−𝑦+1=0.基础题型训练一、单选题1．已知抛物线2:20Cypxp的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作PQl于点2,26Q，则PF（）A．5B．4C．56D．43【答案】A【分析】根据点Q坐标可知抛物线的准线方程以及点Py，进一步可得抛物线方程，然后求得Px，最后可得结果.【详解】由点2,26Q，知准线l的方程为2x，焦点2,0F，于是有抛物线的方程为28yx，因为PQl，所以26Py，代入抛物线方程解得3Px，从而5PF，故选：A.【点睛】本题考查抛物线的简单应用，考查抛物线的定义以及对题意的理解，属基础题.2．设抛物线C：212xy的焦点为F，点P在C上，0,9Q，若PFQF，则PQ（）A．22B．42C．52D．62【答案】D【分析】根据题意得出PF是抛物线通径的一半，再由勾股定理即可解决.【详解】由题意可知0,3F，6QF，所以6PF.因为抛物线C的通径长212p，所以PFy轴，所以226662PQ故选：D.3．已知点0(4,)My在抛物线2:2(0)Cypxp上，点M到抛物线C的焦点F的距离为5，设O为坐标原点，则OFM的面积为（）A．1B．2C．2D．22【答案】B【分析】由抛物线定义性质：先求出p值，再将点M代入，求得0y，然后可以求OFM的面积【详解】根据抛物线的定义：452pMF，所以p=2;因此抛物线方程：y2=4x;由于点M在抛物线上，所以2016,y则0||=4y；三角形OFM的面积：011=||=14=222OFMSOFy；故答案：B【点睛】考查抛物线的定义性质，求p4．设直线4x与抛物线2:2(0)Cypxp交于D，E两点，若ODOE(O为坐标原点)，则C的焦点坐标为（）A．1,04B．1,02C．1,0D．2,0【答案】C【解析】根据题中所给的条件ODOE，结合抛物线的对称性，可知4DOxEOx，从而可以确定出点D的坐标，代入方程求得p的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.【详解】由对称性可知：点D的坐标为4,4或4,4，代入拋物线22ypx，解得2p，所以拋物线方程为：24yx，它的焦点坐标为1,0.故选：C【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.5．设抛物线24yx的焦点为F，已知点1,4Ma，1,2Nb，1,Pc，4,Qd都在抛物线上，则,,,MNPQ四点中与焦点F距离最小的点是（）A．MB．NC．PD．Q【答案】A【分析】根据抛物线的定义，分别求出点M,N,P,Q到焦点F的距离即可．【详解】抛物线24yx的焦点为F(1,0)，准线方程为=1x；则点1,4Ma到焦点F的距离为15||(1)44MF，点1,2Nb到焦点F的距离为13||(1)22NF，点P(1,c)到焦点F的距离为|PF|=1-(-1)=2点Q(4,d)到焦点F的距离为|QF|=4-(-1)=5；所以点M与焦点F的距离最小.故选A【点睛】本题考查了抛物线的定义与应用，是基础题．6．已知抛物线2:4Cyx的焦点为F，准线为l，点P是直线l上的动点．若点A在抛物线C上，且||5AF，则||||PAPO（O为坐标原点）的最小值为（）A．8B．213C．41D．6【答案】B【分析】依题意得点A坐标，作点O关于l的对称点B，则||||||||PAPOPAPBAB，求AB即为最小值．【详解】如图所示：作点O关于l的对称点B，连接,PBAB，设点,Axy，不妨设0y由题意知1,0F，直线l方程为=1x，则||15AFx，得4x所以24416y，得4y由||||||||PAPOPAPBAB，当,,ABP三点共线时取等号，又2222244252213AByx所以||||PAPO的最小值为213故选：B【点睛】关键点点睛：作点O关于l的对称点B，将PO化为PB，利用三点共线是求得最小值的关键点．二、多选题7．对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是（）A．开口向上，准线方程为y＝－116B．开口向上，焦点为1(0,)16C．开口向右，焦点为(1,0)D．开口向右，准线方程为y＝－1【答案】AB【分析】根据抛物线方程写出焦点、准线方程，并判断开口方向即可.【详解】由题设，抛物线可化为24yx，∴开口向上，焦点为1(0,)16，准线方程为116y.故选：AB8．已知抛物线C的焦点在直线230xy上，则抛物线C的标准方程为（）A．212yxB．212yxC．26xyD．26xy【答案】BC【分析】分焦点在x轴，y轴上进行讨论，根据条件求出即可【详解】由于焦点在直线230xy上，则当焦点在y轴上时，令302xy，所以焦点坐标为：30,2，设方程为220xpyp，由焦点坐标知3p，所以抛物线C的方程为：26xy当焦点在x轴上时，令03yx，所以焦点坐标为：3,0，设方程为220ypxp，由焦点坐标知6p=，所以抛物线C的方程为：212yx，故选：BC.三、填空题9．已知O为坐标原点，抛物线2:8Cyx