考点01 集合（17种题型2个易错考点）（原卷版）

专题01集合的概念与运算（17种题型2个易错考点）考题考点考向2022新高考1，第1题集合的基本运算交集运算2022新高考2，第1题集合的基本运算交集运算2021新高考1，第1题集合的基本运算交集运算2021新高考2，第2题集合的基本运算交集，补集运算本专题是高考必考内容，难度小，分值5分，重点考察集合的基本运算，，常与不等式结合，考察集合的交、并、补运算，复习时以基础知识为主。一．选择题（共4小题）1．（2022•新高考Ⅰ）若集合M＝{x|＜4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N＝（）A．{x|0≤x＜2}B．{x|≤x＜2}C．{x|3≤x＜16}D．{x|≤x＜16}2．（2022•新高考Ⅱ）已知集合A＝{﹣1，1，2，4}，B＝{x||x﹣1|≤1}，则A∩B＝（）A．{﹣1，2}B．{1，2}C．{1，4}D．{﹣1，4}3．（2021•新高考Ⅱ）若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，则A∩∁UB＝（）A．{3}B．{1，6}C．{5，6}D．{1，3}4．（2021•新高考Ⅰ）设集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（）A．{2，3，4}B．{3，4}C．{2，3}D．{2}考点一：集合及其关系1.集合的确定性、互异性、无序性集合中元素具有确定性、互异性、无序性三大特征．（1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元素，两种情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可，例如“著名科学家”，“与2接近的数”等都不能组成一个集合．一、真题多维细目表二、命题规律与备考策略三、2022真题抢先刷，考向提前知四、考点清单（2）互异性：一个给定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出现相同的元素．例如不能写成{1，1，2}，应写成{1，2}．（3）无序性：集合中的元素，不分先后，没有如何顺序．例如{1，2，3}与{3，2，1}是相同的集合，也是相等的两个集合．【解题方法点拨】解答判断型题目，注意元素必须满足三个特性；一般利用分类讨论逐一研究，转化为函数与方程的思想，解答问题，结果需要回代验证，元素不许重复．【命题方向】本部分内容属于了解性内容，但是近几年高考中基本考查选择题或填空题，试题多以集合相等，含参数的集合的讨论为主．2.集合间的基本关系（1）集合的相等（1）若集合A与集合B的元素相同，则称集合A等于集合B．（2）对集合A和集合B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，记作A＝B．就是如果A⊆B，同时B⊆A，那么就说这两个集合相等，记作A＝B．（3）对于两个有限数集A＝B，则这两个有限数集A、B中的元素全部相同，由此可推出如下性质：①两个集合的元素个数相等；②两个集合的元素之和相等；③两个集合的元素之积相等．由此知，以上叙述实质是一致的，只是表达方式不同而已．上述概念是判断或证明两个集合相等的依据．【解题方法点拨】集合A与集合B相等，是指A的每一个元素都在B中，而且B中的每一个元素都在A中．解题时往往只解答一个问题，忽视另一个问题；解题后注意集合满足元素的互异性．【命题方向】通常是判断两个集合是不是同一个集合；利用相等集合求出变量的值；与集合的运算相联系，也可能与函数的定义域、值域联系命题，多以小题选择题与填空题的形式出现，有时出现在大题的一小问．（2）子集与真子集1、子集定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集（subset）．记作：A⊆B（或B⊇A）．2、真子集是对于子集来说的．真子集定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A是集合B的真子集．也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合B的元素，则称A是B的子集，若B中有一个元素，而A中没有，且A是B的子集，则称A是B的真子集，注：①空集是所有集合的子集；②所有集合都是其本身的子集；③空集是任何非空集合的真子集例如：所有亚洲国家的集合是地球上所有国家的集合的真子集．所有的自然数的集合是所有整数的集合的真子集．{1，3}⊂{1，2，3，4}{1，2，3，4}⊆{1，2，3，4}3、真子集和子集的区别子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等；真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等；注意集合的元素是要用大括号括起来的“{}”，如{1，2}，{a，b，g}；另外，{1，2}的子集有：空集，{1}，{2}，{1，2}．真子集有：空集，{1}，{2}．一般来说，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以对于含有n个（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n个；真子集就有2n﹣1．但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集．注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集【解题方法点拨】注意真子集和子集的区别，不可混为一谈，A⊆B，并且B⊆A时，有A＝B，但是A⊂B，并且B⊂A，是不能同时成立的；子集个数的求法，空集与自身是不可忽视的．【命题方向】本考点要求理解，高考会考中多以选择题、填空题为主，曾经考查子集个数问题，常常与集合的运算，概率，函数的基本性质结合命题．考点二：集合的基本运算（1）集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪BA∩B若全集为U，则集合A的补集为∁UA图形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}（2）集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩＝，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(∁UA)＝，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.（3）常用结论（1）空集性质：①空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅；②空集是任何集合的子集（即∅⊆A）；空集是任何非空集合的真子集（若A≠∅，则∅ÜA）．（2）子集个数：若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有22n个．（3）A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B．（4）(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)，(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)．一．集合的含义（共3小题）1．（2022秋•保定期末）下列说法正确的是（）A．高一年级全体高个子同学可以组成一个集合B．0∈N*C．∃x∈R，x2+x+1≤0D．符合条件{a，b，c}⊆P⊆{a，b，c，d，e}集合P有4个2．（2022秋•南昌期末）已知集合M＝{（x，y）|x，y∈N*，x+y≤2}，则M中元素的个数为（）A．1B．2C．3D．43．（2022秋•浦东新区期末）请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上．①上海市2022年入学的全体高一年级新生；②在平面直角坐标系中，到定点（0，0）的距离等于1的所有点；③影响力比较大的中国数学家；④不等式3x﹣10＜0的所有正整数解．二．元素与集合关系的判断（共3小题）4．（2022秋•衡阳期末）集合A＝{x|logπx＞1}，则（）五、题型方法A．1∈AB．2∈AC．3∈AD．4∈A5．（2022秋•西安期末）集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，M＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}，则M中的元素个数为（）A．3B．4C．5D．66．（2022秋•徐汇区期末）若集合A同时具有以下三个性质：（1）0∈A，1∈A；（2）若x、y∈A，则x﹣y∈A；（3）若x∈A且x≠0，则．则称A为“好集”．已知命题：①集合{1，0，﹣1}是好集；②对任意一个“好集”A，若x、y∈A，则x+y∈A．以下判断正确的是（）A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题三．集合的确定性、互异性、无序性（共4小题）7．（2022•渭滨区校级模拟）设集合A＝{2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4∈A，则a＝（）A．﹣3或﹣1或2B．﹣3或﹣1C．﹣3或2D．﹣1或28．（2022春•南开区期末）已知x∈{1，2，x2}，则实数x＝．9．（2022•安化县校级开学）集合A＝{x|kx2﹣8x+16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．10．（2022秋•丰城市校级月考）下列说法中，正确的有（填序号）．①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个；②集合M中有3个元素：a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形；③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列，可分别构成不同的两个集合；④集合M＝{3，4}与N＝{（3，4）}表示同一个集合．四．集合的表示法（共3小题）11．（2022秋•浦城县月考）若用列举法表示集合A＝{（x，y）|}，则下列表示正确的是（）A．{x＝3，y＝0}B．{（3，0）}C．{3，0}D．{0，3}12．（2022秋•武冈市期中）用列举法表示＝．13．（2022秋•宁德期末）下列集合与区间（1，2）表示的集合相等的是（）A．{（1，2）}B．{x|x2﹣3x+2＜0}C．{x|x2﹣3x+2＝0}D．{（x，y）|x＝1，y＝2}五．集合的相等（共3小题）14．（2022秋•安顺期末）下列集合中表示同一集合的是（）A．M＝{（x，y）|x+y＝1}，N＝{y|x+y＝1}B．M＝{1，2}，N＝{2，1}C．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）}D．M＝{1，2}，N＝{（1，2）}15．（2022秋•临渭区校级月考）已知集合A＝{0，2，4}，．若A＝B，则实数n的值为（）A．2或B．2或C．﹣2或D．﹣2或16．（2022秋•浦东新区校级期中）下列表示同一集合的是（）A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）}B．M＝{（x，y）|2x+y＝1}，N＝{y|2x+y＝1}C．M＝{1，2}，N＝{2，1}D．M＝{2，4}，N＝{（2，4）}六．集合的包含关系判断及应用（共5小题）17．（2022秋•秀英区校级期中）已知集合A＝{2，4，a2﹣4a+6}，B＝{2，a}，若A∪B＝A，则a的取值集合为．18．（2022秋•建邺区校级期中）已知U＝R，集合A＝{﹣1，1}，B＝{x|x2＜9}，则下列关系正确的是（）A．A∪B＝AB．A∩B＝∅C．A∩B＝AD．∁UA⊆∁UB（多选）19．（2022秋•河北期中）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤7}，B＝{x|a+2≤x≤2a﹣1}，若使B⊆A成立的实数a的取值集合为M，则M的一个真子集可以是（）A．（﹣∞，4]B．（﹣∞，3]C．（3，4]D．[4，5）20．（2022春•鲤城区校级期中）已知A＝{x|﹣1＜x≤3}，B＝{x|m＜x＜1+m}．（1）当m＝1时，求A∪B；（2）若B⊆∁RA，求实数m的取值范围．21．（2022秋•青秀区校级月考）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}，．（1）求A∩B；（2）若C＝{x||x﹣m|≤1}，且C⊆A，求实数m的取值范围．七．子集与真子集（共3小题）22．（2022秋•沈阳期中）已知集合A＝{x∈N|﹣2＜x＜3}，则集合A的所有非空真子集的个数是（）A．6B．7C．14D．1523．（2022秋•湖南期中）已知集合P＝{1，3，4，6，8，9}，对于它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素m都乘（﹣1）m再求和，例如A＝{3，4，6}，则可求得和为（﹣1）3×3+（﹣1）4×4+（﹣1）6×6＝7，对P所有非空子集，这些和的总和为（）A．80B．160C．162D．32024．（2022秋•响水县校级月考）集合{2，4，6}的非空子集的个数是（）A．8B．7C．4D．3八．集合中元素个数的最值（共3小题）25．（2022秋•朝阳区校级期中）集合A＝{x∈N*|x﹣6＜0}中的元素个数是（）A．0B．4C．5D．626．（2022秋•松桃县月考）已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为