专题9.1 直线与圆(解析版)

9.1直线与圆思维导图知识点总结典型例题分析考向一倾斜角与斜率、直线的方程1.把直线x-y+√3-1=0绕点(1,√3)逆时针旋转15°后,所得直线l的方程是()A.y=-√3xB.y=√3xC.x-√3y+2=0D.x+√3y-2=0答案:B解析:已知直线的斜率为1,则其倾斜角为45°,绕点(1,√3)逆时针旋转15°后,得到的直线l的倾斜角α=45°+15°=60°,直线l的斜率为tanα=tan60°=√3,∴直线l的方程为y-√3=√3(x-1),即y=√3x.2.(2020上海静安期中)设直线的斜率k∈(-∞,-1]∪[1,+∞),则该直线的倾斜角α满足()A.-π4≤𝛼≤π4B.π4≤𝛼π2或π2𝛼≤3π4C.π4≤𝛼π2D.π2𝛼≤3π4答案:B解析:因为k=tanα,所以当k≤-1时,π2𝛼≤3π4,当k≥1时,π4≤𝛼π2,即直线的倾斜角α满足π4≤𝛼π2或π2𝛼≤3π4.故选B.3.若经过两点A(4,2y+1),B(2,-3)的直线的倾斜角为3π4,则y等于()A.-1B.-3C.0D.2答案:B解析:由k=-3-2𝑦-12-4=tan3π4=-1,得-4-2y=2,所以y=-3.故选B.4.直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是()A.-1,15B.-∞,12∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪15,+∞D.(-∞,-1)∪12,+∞答案:D解析:设直线的斜率为k,则直线方程为y-2=k(x-1),令y=0,得直线l在x轴上的截距为1-2𝑘,则-31-2𝑘3,解得k12或k-1.故选D.考向二圆的方程1.(2021北京海淀二模)已知实数x,y满足x2+y2+4x-6y+12=0,则x的最大值是()A.3B.2C.-1D.-3答案:C解析:方程化为(x+2)2+(y-3)2=1,圆心(-2,3),半径r=1,则x的最大值是-2+1=-1.故选C.2.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=()A.-43B.-34C.√3D.2答案:A解析:圆的方程可化为(x-1)2+(y-4)2=4,则圆心坐标为(1,4),圆心到直线ax+y-1=0的距离为|𝑎+4-1|√𝑎2+1=1,解得a=-43.故选A.3.(2021江苏盐城滨海中学一模)已知a,b都是实数,那么“a2”是“方程x2+y2-2x-a=0表示圆”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案:A解析:方程x2+y2-2x-a=0可化为(x-1)2+y2=1+a,1+a0,即a-1,由a2能推出a-1,反之不成立,故“a2”是“方程x2+y2-2x-a=0表示圆”的充分不必要条件.故选A.4.(2020山东滨州期末)已知圆的方程为x2+y2-6x=0,过点P(1,2)的该圆的所有弦中,最短弦的长为()A.12B.1C.2D.4答案:C解析:由x2+y2-6x=0,得(x-3)2+y2=9,所以圆心坐标为(3,0),半径为3.当过点P(1,2)的弦与连接P与圆心的直线垂直时,弦最短,则最短弦长为2√32-[(3-1)2+(0-2)2]=2.考向三直线与圆的位置关系1.(2020全国Ⅰ,文6)已知圆x2+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A.1B.2C.3D.4答案:B解析:圆的方程可化为(x-3)2+y2=9.因为√(1-3)2+(2-0)2=2√23,所以点(1,2)在圆内.如图所示,设圆心O1(3,0),A(1,2),当弦BC与O1A垂直时弦最短,因为|O1A|=2√2,|O1B|=3,所以|AB|=√|𝑂1𝐵|2-|𝑂1𝐴|2=√9-8=1,所以|BC|=2|AB|=2.2.若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m的值是()A.21B.19C.9D.-11答案:C解析:圆C1的圆心C1(0,0),半径r1=1,圆C2的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=25-m,所以圆心C2(3,4),半径r2=√25-𝑚,从而|C1C2|=√32+42=5.由两圆外切得|C1C2|=r1+r2,即1+√25-𝑚=5,解得m=9,故选C.3.(2021河南郑州二模)若直线x+ay-a-1=0与圆C:(x-2)2+y2=4交于A,B两点,当|AB|最小时,劣弧𝐴𝐵⏜的长为()A.π2B.πC.2πD.3π答案:B解析:直线x+ay-a-1=0可化为(x-1)+a(y-1)=0,所以直线恒过定点M(1,1),圆的圆心为C(2,0),半径r=2,当MC⊥直线AB时,|AB|取得最小值,且最小值为2√𝑟2-|𝑀𝐶|2=2√4-2=2√2,此时弦AB对的圆心角为π2,所以劣弧𝐴𝐵⏜的长为π2×2=π,故选B.基础题型训练一、单选题1．已知圆221:23460Cxyxy和圆222:60Cxyy，则两圆的位置关系为（）A．内含B．内切C．相交D．外切【答案】B【分析】求出两圆的圆心和半径，根据圆心距等于半径之差，得到两圆内切.【详解】由于圆221:23460Cxyxy，即22321xy（）（），表示以132C（，）为圆心，半径等于1的圆．圆222:60Cxyy，即2239（）xy，表示以20,3C为圆心，半径等于3的圆．由于两圆的圆心距等于312，等于半径之差，故两个圆内切．故选：B．2．已知点O是边长为6的正方形ABCD内的一点，且15OBCOCB，则OA（）A．5B．6C．7D．8【答案】B【分析】以,BABC为,xy轴建立平面直角坐标系，求出,OA两点的坐标，由两点间距离表示出距离．由三角函数恒等变换求值后可得结论．【详解】如图，以,BABC为,xy轴建立平面直角坐标系，由于正方形ABCD边长为6，15OBCOCB，则(3tan15,3)O，(6,0)A，∴222(3tan156)33(tan152)1OA，又2sin152sin151cos30tan1523cos152sin15cos15sin30，∴23(3)16OA．故选：B．【点睛】本题考查求平面上两点间的距离，解题方法是建立平面直角坐标系，得出各点坐标，由两点间距离公式求解，同时结合三角函数的同角关系、二倍角公式进行计算．3．从点2,3A射出的光线沿与向量1,1a平行的直线射到y轴上，则反射光线所在直线方程为（）A．210xyB．240xyC．10xyD．270xy【答案】C【详解】结合对称点坐标及反射光线斜率直接写出点斜式方程，整理为一般方程即可.【点睛】点2,3A关于y轴的对称点为2,3，由于入射光线与(1,1)a平行，所以反射光线的斜率是111，则y-3=-(x+2)，整理得x+y-1=0.故选：C.4．已知射线1PT、2PT与22:1Oxye相切，若222:30CxyRR存在两个点P使得1260TPT，则R的取值范围是（）A．0,4B．1,5C．2,6D．以上都不对【答案】B【分析】计算得出2OP，可知圆224xy与圆C有两个公共点，进而可得出关于R的不等式，由此可解得正数R的取值范围.【详解】如下图所示，连接1OT、2OT，则121OTOT，11OTPT，22OTPT，1260TPT，由圆的几何性质可得130OPT，在1RtOPT△中，130OPT，190OTP，则122OPOT，由于在圆C上存在两个点P，使得1260TPT，则圆224xy与圆C相交，由于点C在圆224xy外，则22ROCR，即232RR，解得15R.因此，R的取值范围是1,5.故选：B.【点睛】本题考查利用满足条件的点的个数求参数的取值范围，解题的关键就是转化为两圆相交，考查计算能力，属于中等题.5．如图，P为圆O：x2+y2＝4外一动点，过点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝120°，直线OP与AB相交于点Q，点M（3，3），则|MQ|的最小值为（）A．3B．2C．332D．433【答案】A【分析】利用平面几何知识得Q点轨迹是圆，然后求出M与圆心距离减去半径得最小值．【详解】解：过点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝120°，由圆与切线的平面几何性质知，∠APO＝60°，又|OA|＝2，则可得|OP|＝43在直角APO△中，AQOP，由OAQOPA!!得23OAOQOP，∴Q点的轨迹是以O为圆心，3为半径的圆，方程为x2+y2＝3；|MQ|的最小值即为|OM|﹣r＝93﹣3＝3．故选：A．6．已知半径为1的动圆P经过坐标原点，则圆心P到直线20mxymR的距离的最大值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】利用圆上的点到直线的距离的最值可求解.【详解】由题设，半径为1的动圆P经过坐标原点，可知圆心P的轨迹为以原点为圆心，半径为1的圆，即221xy则该圆上的点到直线20mxy的距离的最大值为2211dm又20m，211m，22021m，即13d故距离的最大值为3故选：C二、多选题7．下列说法正确的是（）A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率B．点(0,2)关于直线1yx的对称点为(1,1)C．经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为20xyD．直线20xy与两坐标轴围成的三角形的面积是2【答案】ABD【分析】A选项，利用斜率定义可知，当倾斜角为90°时，斜率不存在；B选项求解点关于直线的对称点，满足两点的斜率与1yx乘积为-1，中点在已知直线1yx上，进而求出对称点；C选项要考虑截距均为0的情况，D选项求出与坐标轴的交点坐标，进而求出围成的三角形的面积.【详解】当倾斜角为90°时，斜率不存在，故A选项正确；设(0,2)关于直线1yx的对称点为,mn，则满足212122nmnm，解得：11mn，故点(0,2)关于直线1yx的对称点为(1,1)，B正确；当在x轴和y轴上截距都等于0时，此时直线为yx，故C错误；直线20xy与两坐标轴的交点坐标为2,0与0,2，故与两坐标轴围成的三角形的面积为12222，D正确故选：ABD8．下列命题正确的是（）A．当3m时，直线1:10lxmy与直线2:(2)330lmxy平行B．当12m时，直线1:10lxmy与直线2:(2)330lmxy垂直C．当4m时，曲线22120C:xyx与曲线222480C:xyxym外切D．当4m时，直线1:10lxmy与直线2:(2)330lmxy的交点坐标是(3,1)【答案】AC【解析】根据直线与直线的位置关系判断ABD，根据圆与圆的位置关系判断C，即可得到答案.【详解】对于A，当3m时，直线1:310lxy，113k；直线2:330lxy，213k，12kk，12//ll，故A正确；对于B，当12m时，直线11:102lxy，12k；直线25:3302lxy，256k，211Qkk，1l与2l不垂直，故B错误；对于C，当4m时，曲线221221201C:xyyxx，圆心是1,0，11r；曲线22222:48402416Cyxyyxx，圆心是2,4，24r，圆心距221212045rr，两圆外切，故C正确；对于D，当4m时，直线1:410lxy，直线2:233