专题8.2 空间点、直线、平面之间的位置关系(解析版)

8.2空间点、直线、平面之间的位置关系思维导图知识点总结1.与平面有关的基本事实及推论(1)与平面有关的三个基本事实基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.(2)“三个”推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.2.空间点、直线、平面之间的位置关系(1)空间中直线与直线的位置关系共面直线相交直线平行直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.(2)空间中直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况.(3)空间中平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.3.基本事实4和等角定理(1)基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.(2)等角定理：如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.4.异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)范围：0，π2.[常用结论]1.证明点共线与线共点都需用到基本事实3；2.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.典型例题分析考向一基本事实的应用例1如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是AB，AA1的中点，连接D1F，CE.求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点.证明(1)如图所示，连接CD1，EF，A1B，∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥A1B，且EF＝12A1B，又∵A1D1∥BC，且A1D1＝BC，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥CD1，又EF∥A1B，∴EF∥CD1，∴EF与CD1能够确定一个平面ECD1F，即E，C，D1，F四点共面.(2)由(1)知EF∥CD1，且EF＝12CD1，∴四边形CD1FE是梯形，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则P∈CE，且P∈D1F，∵CE⊂平面ABCD，D1F⊂平面A1ADD1，∴P∈平面ABCD，且P∈平面A1ADD1，又∵平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，∴P∈AD，∴CE，D1F，DA三线共点.感悟提升共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内.(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.考向二空间两直线位置关系的判断例2(1)(多选)已知A，B是不在平面α内的任意两点，则()A.在平面α内存在直线与直线AB异面B.在平面α内存在直线与直线AB相交C.存在过直线AB的平面与平面α垂直D.在平面α内存在直线与直线AB平行答案AC解析当AB∥α时，在平面α内不存在直线与直线AB相交，所以B不正确；当直线AB与平面α相交时，在平面α内不存在直线与直线AB平行，所以D不正确；当直线AB与平面α相交或平行时，在平面α内均存在直线与直线AB异面，且均存在过直线AB的平面与平面α垂直，所以A，C正确，故选AC.(2)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形的序号为________.答案②④解析根据异面直线的定义可知，在题图②④中，直线GH，MN是异面直线.在题图①中，由G，M均为所在棱的中点可知GH∥MN.在题图③中，连接GM，因为G，M均为所在棱的中点，所以GM∥HN，且GM＝12HN，所以四边形GMNH为梯形，则GH与MN相交.感悟提升空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定.异面直线的判定可采用直接法或反证法；平行直线的判定可利用三角形(梯形)中位线的性质、基本事实4及线面平行与面面平行的性质定理；垂直关系的判定往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决.考向三求异面直线所成的角例3(1)(2021·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为()A.π2B.π3C.π4D.π6答案D解析法一如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接C1P，BC1，则AD1∥BC1，所以∠PBC1为直线PB与AD1所成的角，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则BC1＝22，PC1＝B1P＝12B1C21＋D1C21＝2，BP＝B1B2＋B1P2＝6，在△BPC1中，cos∠PBC1＝BP2＋BC21－PC212BP·BC1＝32，所以∠PBC1＝π6.法二如图，连接BC1，A1B，A1P，PC1，则易知AD1∥BC1，所以直线PB与AD1所成的角等于直线PB与BC1所成的角，由P为正方形A1B1C1D1的对角线B1D1的中点，知A1，P，C1三点共线，且P为A1C1的中点.易知A1B＝BC1＝A1C1，所以△A1BC1为等边三角形，所以∠A1BC1＝π3，又P为A1C1的中点，所以可得∠PBC1＝12∠A1BC1＝π6，故直线PB与AD1所成的角为π6.(2)(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.15B.56C.55D.22答案C解析法一如图，补上一相同的长方体CDEF－C1D1E1F1，连接DE1，B1E1.易知AD1∥DE1，则∠B1DE1为异面直线AD1与DB1所成角.因为在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，所以DE1＝DE2＋EE21＝12＋（3）2＝2，DB1＝12＋12＋（3）2＝5，B1E1＝A1B21＋A1E21＝12＋22＝5，在△B1DE1中，由余弦定理，得cos∠B1DE1＝22＋（5）2－（5）22×2×5＝55，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为55.法二如图，连接BD1，交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM，易知点O为BD1的中点，所以AD1∥OM，则∠MOD为异面直线AD1与DB1所成角.因为在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，所以AD1＝AD2＋DD21＝2，DM＝AD2＋12AB2＝52，DB1＝AB2＋AD2＋DD21＝5，所以OM＝12AD1＝1，OD＝12DB1＝52，于是在△DMO中，由余弦定理，得cos∠MOD＝12＋522－5222×1×52＝55，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为55.感悟提升综合法求异面直线所成角的步骤：(1)作：通过作平行线得到相交直线；(2)证：证明所作角为异面直线所成的角(或其补角)；(3)求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.基础题型训练一、单选题1．已知//ABPQ，//BCQR，60ABC，则与ABC两边方向相同的PQR等于（）A．60°B．60°或120°C．120°D．以上结论都不对【答案】A【分析】根据给定条件，利用等角定理直接求解作答.【详解】因//ABPQ，//BCQR，又PQR与ABC两边方向相同，所以60PQRABC.故选：A2．在正方体1111ABCDABCD中，异面直线1AB与1AD所成角的大小为A．30B．45C．60D．90【答案】C【分析】连接1DC，则1ADC或其补角为所求的异面直线所成的角，利用1ADC为等边三角形可以其大小．【详解】如图，连接1DC，因为11//ABDC，所以异面直线1AB与1AD所成的角为1ADC或其补角.因为1ADC为等边三角形，所以160ADC.故选C.【点睛】空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.3．异面直线,ab上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是()A．20B．9C．39CD．21214554CCCC【答案】B【分析】过一条直线和直线外一点可以确定唯一平面，据此即可求解．【详解】过一条直线和直线外一点可以确定唯一平面，故过a上任一点与直线b(或直线b上两点)可确定一个平面，∵a上有4个点，故共可确定4个平面；过b上任一点与直线a(或直线a上两点)可确定一个平面，∵b上有5个点，故共可确定5个平面；故共可确定9个平面．故选：B．4．已知m、n是不同的直线，、是不同的平面，下列命题中真命题为（）A．若,mn∥，则m∥nB．若m∥，m∥，则∥C．若∥，m，则m∥D．若∥，m∥，则m∥【答案】C【分析】根据空间直线、平面的位置关系，对四个选项一一判断即可.【详解】对于A：若,mn∥，则m∥n或m、n异面.故A错误；等于B：若m∥，m∥，则∥或、相交.故B错误；对于C：因为∥，m，所以m∥（面面平行的性质定理）.故C正确；对于D：若∥，m∥，则m∥或m.故D错误.故选：C5．平面的斜线l与平面交于点A，且斜线l与平面所成的角是4，则l与平面内所有不过点A的直线所成的角的范围是（）A．0,4πB．0,2C．,42D．,42【答案】C【分析】根据线面角中最小角定理求解．【详解】斜线l与平面所成的角是4，则直线l与平面内所有直线所成角中最小角为4，显然为最大角为2，因此范围为,42，故选：C．6．如图，在正四棱锥PABCD中，设直线PB与直线DC、平面ABCD所成的角分别为、，二面角PCDB的大小为，则（）A．,B．,C．,D．,【答案】A【解析】连接AC、BD交于O，连PO，取CD的中点E，连,OEPE，根据正棱锥的性质可知，PCE，PCO，PEO，再比较三个角的正弦值可得结果.【详解】连接AC、BD交于O，连PO，取CD的中点E，连,OEPE，如图：因为//ABCD，所以PBA，又因为四棱锥PABCD为正四棱锥，所以PCE，由正四棱锥的性质可知，PO平面ABCD，所以PCO，易得OECD，PECD，所以PEO，因为sinPEPC，sinPOPC，且PEPO，所以sinsin，又,都是锐角，所以，因为sinPOPE，sinPOPC，且PCPE，所以sinsin，因为,都是锐角，所以.故选：A【点睛】关键点点睛：根据正棱锥的性质，利用异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的定义得到这三个角是解题关键，属于中档题.二、多选题7．下列命题中正确的是（）A．如果一个平面内有两条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行B．如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行C．分别在两个平行平面内的两条直线互相平行D．过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行【答案】BD【分析】根据面面平行的判定定理及性质定理，即可做出判断.【详解】对于A，一个平面内两条直线相交平行于另一个平面，这两个平面平行，故错误；对于B，如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，满足有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行，故正确；对于C，分别在两个平行平面内的两条直线，可能平行也可能异面，故错误；对于D，过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行，正确，否则若有两个平面与已知平面平行，则重合．故选：BD8．已