专题8.1 基本立体图形及几何体的表面积与体积(解析版)

8.1基本立体图形及几何体的表面积与体积思维导图知识点总结1.空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点，但不一延长线交于一点定相等侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面矩形等腰三角形等腰梯形圆面侧面展开图矩形扇形扇环2.直观图的斜二测画法(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l4.简单几何体的表面积和体积几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝13Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝13(S上＋S下＋S上S下)h球S＝4πR2V＝43πR3[常用结论]1.正方体与球的内切、外接常用结论：正方体的棱长为a，球的半径为R，(1)若球为正方体的外接球，则2R＝3a；(2)若球为正方体的内切球，则2R＝a；(3)若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.2.长方体共顶点的三条棱长分别为a，b，c，其外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.3.正四面体的外接球的半径R＝64a，内切球的半径r＝612a，其半径R∶r＝3∶1(a为该正四面体的棱长).4.直观图与原平面图形面积间的关系S直观图＝24S原图形.典型例题分析考向一基本立体图形和直观图角度1结构特征例1给出下列四个命题，正确的是()A.有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱B.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥C.侧面都是矩形的直四棱柱是长方体D.底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱答案D解析对于A，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故A错；对于B，等腰三角形的腰不是侧棱时不一定成立(如图)，故B错；对于C，若底面不是矩形，则C错；对于D，可知侧棱垂直于底面，故D正确.感悟提升空间几何体结构特征的判断技巧(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定.(2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可.角度2直观图例2如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是()A.2＋2B.1＋22C.2＋22D.1＋2答案A解析因为斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，所以原图形为直角梯形，其上底为1，下底为1＋2，高为2，所以S＝12(1＋2＋1)×2＝2＋2.感悟提升1.在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段：“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.”2.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原平面图形面积的关系：S直观图＝24S原图形.角度3展开图例3(1)(2023·福州检测)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，F是线段A1B1上的动点，则AF＋FC1的最小值为________.答案6＋2解析将正三棱柱ABC－A1B1C1(如图1)中的△A1B1C1沿A1B1翻折至平面ABB1A1上，如图2所示，在图2中，连接AC1，则AF＋FC1≥AC1，因为AA1＝A1C1＝2，且∠AA1C1＝90°＋60°＝150°，所以AC1＝2AA1·sin∠AA1C12＝2×2sin75°＝4sin(30°＋45°)＝4×(sin30°×cos45°＋cos30°×sin45°)＝6＋2，所以当A，F，C1共线时，AF＋FC1取得最小值，为6＋2.(2)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是________.答案1解析如图，设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则圆锥的侧面积S侧＝πrl＝2π，即r·l＝2，由于侧面展开图为半圆，可知12πl2＝2π，可得l＝2，因此r＝1.感悟提升几何体的表面展开图可以有不同的形状，应多实践、观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状.考向二面积与体积角度1侧面积与表面积例4(2023·长沙质检)如图，一种棱台形状的无盖容器(无上底面A1B1C1D1)模型其上、下底面均为正方形，面积分别为4cm2，9cm2，且A1A＝B1B＝C1C＝D1D.若该容器模型的体积为193cm3，则该容器模型的表面积为________.答案(55＋9)cm2解析由题意得，该容器模型为正四棱台，上、下底面的边长分别为2cm，3cm，设该棱台的高为h，则由棱台体积公式V＝13h(S上＋S下＋S上S下)得该容器模型的体积，为193＝13h×(4＋9＋6)，解得h＝1(cm)，所以侧面等腰梯形的高h′＝1＋3－222＝52(cm)，所以S表＝4×（2＋3）×522＋9＝55＋9(cm2).角度2体积例5(1)(2023·肇庆质检)如图是战国时期的一个铜镞，其由两部分组成，前段是高为2cm、底面边长为1cm的正三棱锥，后段是高为0.6cm的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积约为()A.0.25cm3B.0.65cm3C.0.15cm3D.0.45cm3答案D解析设正三棱锥底面正三角形的内切圆半径为r，由等面积法，可得12×1×1×sin60°＝12×(1＋1＋1)r，解得r＝36.由三棱锥体积公式与圆柱体积公式可得，所求体积V＝13×12×1×1×sin60°×2＋π×362×0.6≈0.45(cm3).故选D.(2)(2022·新高考Ⅰ卷)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺的问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为(7≈2.65)()A.1.0×109m3B.1.2×109m3C.1.4×109m3D.1.6×109m3答案C解析如图，由已知得该棱台的高为157.5－148.5＝9(m)，所以该棱台的体积V＝13×9×(140＋140×180＋180)×106＝60×(16＋37)×106≈60×(16＋3×2.65)×106＝1.437×109≈1.4×109(m3).故选C.(3)(2023·潍坊模拟)《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈.问积几何？”意思为：今有底面为矩形的屋脊形状的多面体(如图)，下底面宽AD＝3丈，长AB＝4丈，上棱EF＝2丈，EF与平面ABCD平行，EF与平面ABCD的距离为1丈，则它的体积是()A.4立方丈B.5立方丈C.6立方丈D.8立方丈答案B解析如图，过E作EG⊥平面ABCD，垂足为G，过F作FH⊥平面ABCD，垂足为H，过G作PQ∥AD，交AB于Q，交CD于P，过H作MN∥BC，交AB于N，交CD于M，由图形的对称性可知，AQ＝BN＝1丈，QN＝2丈，且四边形AQPD与四边形NBCM都是矩形，则它的体积V＝VE－AQPD＋VEPQ－FMN＋VF－NBCM＝13·EG·S矩形AQPD＋S△EPQ·NQ＋13·FH·S矩形NBCM＝13×1×1×3＋12×3×1×2＋13×1×1×3＝5(立方丈).(3)(2020·新高考Ⅱ卷)棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为________.答案1解析如图，由正方体棱长为2及M，N分别为BB1，AB的中点，得S△A1MN＝2×2－2×12×2×1－12×1×1＝32，又易知D1A1为三棱锥D1－A1MN的高，且D1A1＝2，∴VA1－D1MN＝VD1－A1MN＝13·S△A1MN·D1A1＝13×32×2＝1.感悟提升1.空间几何体表面积的求法(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.2.求空间几何体的体积的常用方法(1)公式法：规则几何体的体积问题，直接利用公式进行求解；(2)割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体；(3)等体积法：通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积.基础题型训练一、单选题1．半径为1的球的表面积为（）A．B．2C．3D．4【答案】D【分析】利用球的表面积公式求解.【详解】解：244SR，故选：D2．如图所示，ABC是水平放置的ABC的直观图，//ABy轴，//BCx轴，2AB，3BC，则ABC中，AC（）A．2B．5C．4D．13【答案】B【分析】根据斜二测画法原则，由直观图判断原图中,ABBC的长度，再利用勾股定理计算AC.【详解】在直观图ABC中，2AB，3BC，由斜二侧画法知，在ABC中，24ABAB，3BCBC，且ABBC；所以2222435ACABBC．故选：B.3．用斜二测画法画水平放置的ABC的直观图ABC如图所示，则在ABC的三边及中线AD中，最长的线段是（）A．ABB．ADC．BCD．AC【答案】D【分析】根据ABC的形状还原得到ABC的形状，由此确定出最长的线段.【详解】根据ABC的形状可知ABC的形状如下图：由图可知，最长的线段为AC，故选：D.4．某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积(单位：cm3)是（）A．π4B．π42C．π2D．π22【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体为半个圆柱和一个底面为等腰直角三角形的三棱柱拼接而成，利用圆柱和棱柱的体积公式代入计算即可．【详解】由三视图可知，该几何体为半个圆柱和一个底面为等腰直角三角形的三棱柱拼接而成则则该几何体的体积是21112222422V故选：A5．若一个圆锥的高为3，母线与底面所成角为60°，则该圆锥的侧面积为（）A．3πB．33πC．63πD．6π【答案】D【分析】由圆锥的高和母线与底面夹角可求得底面半径和母线长，根据圆锥侧面积公式求得结果.【详解】由题意得：圆锥的底面半径3tan303r，母线长323sin60l圆锥的侧面积6Srl故选：D【点睛】本题考查圆锥侧面积的求解问题，关键是能够根据圆锥的高和母线与底面夹角准确求得底面半径和母线长.6．已知一圆柱的轴截面为正方形，母线长为6，在该圆柱内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则a的最大值为（）A．23B．26C．6D．2【答案】B【分析】根据题意可得该圆柱的内切球的半径为3，设内切球为球O，当正四面体内接于该圆柱的内切球时，棱长a最大，所以等价于已知球的半径为3，求内接正四面体的棱长即可.【详解】因为圆柱的轴截面为正方形，母线长为6，所以圆柱的底面圆直径和高都是6，所以该圆柱的内切球的半径为3，如图球O即为该圆柱的内切球，若该圆柱内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则该正四面体内接于该圆柱的内切球时，棱长a最大，如图该正四面体PABC的棱长为a，设点