专题7.2 基本不等式(解析版)

7.2基本不等式思维导图知识点总结1.基本不等式(1)如果a，b是正数，那么ab≤a＋b2(当且仅当a＝b时等号成立).我们把不等式ab≤a＋b2(a，b≥0)称为基本不等式.(2)当a，b∈R时，ab≤a2＋b22(当且仅当a＝b时等号成立)，ab≤a＋b22(当且仅当a＝b时等号成立).2.两个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.(2)ab≤a＋b22(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.3.利用基本不等式求最值对于正数a，b，在运用基本不等式时应注意：(1)和a＋b为定值时，积ab有最大值；积ab为定值时，和a＋b有最小值.(2)取等号的条件当且仅当a＝b时，ab＝a＋b2.[常用结论]1.ab≤a＋b22≤a2＋b22.要根据两数积、两数和、两数平方和选择合适的形式.2.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.典型例题分析考向一利用基本不等式求最值角度1配凑法例1(1)若x＜23，则f(x)＝3x＋1＋93x－2有()A.最大值0B.最小值9C.最大值－3D.最小值－3答案C解析∵x＜23，∴3x－2＜0，f(x)＝3x－2＋93x－2＋3＝－（2－3x）＋92－3x＋3≤－2（2－3x）·92－3x＋3＝－3.当且仅当2－3x＝92－3x，即x＝－13时取“＝”.(2)已知0＜x＜22，则x1－2x2的最大值为________.答案24解析∵0＜x＜22，∴1－2x2＞0，x1－2x2＝22·2x21－2x2≤22·2x2＋1－2x22＝24.当且仅当2x2＝1－2x2，即x＝12时等号成立.(3)(2023·天津模拟)函数y＝（x＋5）（x＋2）x＋1(x＞－1)的最小值为________.答案9解析因为x＞－1，则x＋1＞0，所以y＝[（x＋1）＋4][（x＋1）＋1]x＋1＝（x＋1）2＋5（x＋1）＋4x＋1＝(x＋1)＋4x＋1＋5≥2（x＋1）·4x＋1＋5＝9，当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝1时等号成立，所以函数的最小值为9.角度2常数代换法例2(1)(2023·石家庄模拟)已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝2，则2x＋4y的最小值为________，1x＋2y的最小值为________.答案492解析2x＋4y≥22x＋2y＝4，当且仅当x＝2y＝1时取等号，所以2x＋4y的最小值是4；因为x＞0，y＞0，所以1x＋2y＝121x＋2y(x＋2y)＝125＋2yx＋xy≥92，当且仅当x＝y＝23时取等号，所以1x＋2y的最小值是92.(2)(2022·深圳二模)已知0＜x＜1，则1x＋41－x的最小值是________.答案9解析由0＜x＜1，得1－x＞0.1x＋41－x＝1x＋41－x[x＋(1－x)]＝5＋1－xx＋4x1－x≥5＋21－xx·4x1－x＝9，当且仅当1－xx＝4x1－x时取等号，所以1x＋41－x的最小值是9.角度3消元法例3(2023·湖南省级示范校检测)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当xyz取得最大值时，2x＋1y－2z的最大值为________.答案1解析由x2－3xy＋4y2－z＝0得z＝x2－3xy＋4y2，故xyz＝xyx2－3xy＋4y2＝1xy＋4yx－3≤12xy·4yx－3＝1，当且仅当xy＝4yx，即x＝2y时，xyz取得最大值，此时z＝2y2，则2x＋1y－2z＝2y－1y2＝－1y－12＋1≤1，当y＝1时，等号成立，故当xyz取得最大值时，2x＋1y－2z的最大值为1.角度4构建不等式法例4已知x0，y0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________.答案6解析由已知得xy＝9－(x＋3y)，因为x0，y0，所以x＋3y≥23xy，所以3xy≤x＋3y22，所以13×x＋3y22≥9－(x＋3y)，即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，则x＋3y≤－18(舍去)或x＋3y≥6(当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号)，故x＋3y的最小值为6.感悟提升1.利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.2.常数代换法，主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求ax＋by的最值”的问题，先将ax＋by转化为ax＋by·x＋yt，再用基本不等式求最值.3.当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.4.构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解.考向二利用基本不等式求参数或范围例5(1)(2022·威海期末)关于x的不等式ax2－|x|＋2a≥0的解集是R，则实数a的取值范围为________.答案24，＋∞解析不等式ax2－|x|＋2a≥0的解集是R，即对于∀x∈R，ax2－|x|＋2a≥0恒成立，即a≥|x|x2＋2.当x＝0时，a≥0；当x≠0时，a≥|x|x2＋2＝1|x|＋2|x|，因为1|x|＋2|x|≤12|x|·2|x|＝24，当且仅当|x|＝2时取“＝”，所以a≥24.综上所述a∈24，＋∞.(2)已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________.答案4解析已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9对任意正实数x，y恒成立，只需求(x＋y)1x＋ay的最小值大于或等于9，∵(x＋y)1x＋ay＝1＋a＋yx＋axy≥a＋2a＋1＝(a＋1)2，当且仅当y＝ax时，等号成立，∴(a＋1)2≥9，∴a≥4，即正实数a的最小值为4.感悟提升1.对于不等式恒成立问题可利用分离参数法，把问题转化为利用基本不等式求最值；2.利用基本不等式确定等号成立的条件，也可得到参数的值或范围.考向三利用基本不等式解决实际问题例6为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花圃，如图，计划以相距6米的M，N两点为▱AMBN一组相对的顶点，当▱AMBN的周长恒为20米时，小花圃占地面积(单位：平方米)最大为()A.6B.12C.18D.24答案D解析设AM＝x，AN＝y，则由已知可得x＋y＝10，在△MAN中，MN＝6，由余弦定理可得，cosA＝x2＋y2－622xy＝（x＋y）2－362xy－1＝32xy－1≥32x＋y22－1＝3225－1＝725，当且仅当x＝y＝5时等号成立，此时(cosA)min＝725，所以(sinA)max＝1－7252＝2425，所以四边形AMBN的最大面积为2×12×5×5×2425＝24(平方米)，此时四边形AMBN是边长为5米的菱形.感悟提升利用基本不等式解决实际应用问题的思路(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.训练3某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨.答案20解析该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买400x次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为400x·4＋4x万元，400x·4＋4x≥160，当且仅当1600x＝4x，即x＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小.考向四重要不等式链若a＞0，b＞0，则21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22.其中21a＋1b和a2＋b22分别叫做a，b的调和平均数和平方平均数.要根据题目需要选择合适的形式.一、利用不等式链求最值例1(多选)设正实数a，b满足a＋b＝1，则()A.ab有最大值12B.1a＋2b＋12a＋b有最小值3C.a2＋b2有最小值12D.a＋b有最大值2答案ACD解析对于A，由基本不等式可得ab≤a＋b2＝12，当且仅当a＝b＝12时，等号成立，A正确；对于B，由21a＋2b＋12a＋b≤（a＋2b）＋（2a＋b）2＝3（a＋b）2＝32，得1a＋2b＋12a＋b≥43，当且仅当a＋2b＝2a＋b，即a＝b＝12时等号成立，B错误；对于C，由a2＋b22≥a＋b2＝12，得a2＋b2≥12，当且仅当a＝b＝12时等号成立，C正确；对于D，由a＋b2≤a＋b2＝12，得a＋b≤2，当且仅当a＝b＝12时等号成立，D正确.二、利用基本不等式链证明不等式例2已知a，b，c都是非负实数，求证：a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2(a＋b＋c).证明∵a2＋b22≥a＋b2.即a2＋b2≥22(a＋b)，同理，b2＋c2≥22(b＋c)，c2＋a2≥22(c＋a)，相加可得a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥22(a＋b)＋22(b＋c)＋22(c＋a)＝2(a＋b＋c)，当且仅当a＝b＝c时等号成立.训练当－12＜x＜52时，函数y＝2x－1＋5－2x的最大值为________.答案22解析由a＋b2≤a2＋b22，得a＋b≤2a2＋b22，则y＝2x－1＋5－2x≤22x－1＋5－2x2＝22，当且仅当2x－1＝5－2x，即x＝32时等号成立.基础题型训练一、单选题1．已知正数x，y满足124xyxy，则y的最大值为（）A．55B．12C．1D．2【答案】B【分析】利用基本不等式可得242yy，然后解不等式即可.【详解】124xyxy，x，y均为正数，21422yxyx，当且仅当1xx，即1x时取等号，2242yy且0y，所以102y，y的最大值为12.故选：B【点睛】本题考查了基本不等式的应用，注意在利用基本不等式时，需验证等号成立的条件，属于基础题.2．已知0a，0b，则112abab的最小值是A．2B．22C．4D．5【答案】C【详解】试题分析：由可知，，当且仅当，即时等号成立，又，当且仅当，即，，所以时等号成立．考点：均值定理3．设110ab，则（）A．22abB．2abbC．2ababD．22222abab【答案】D【分析】根据110ab得0＞a＞b，取特殊值可判断ABC，根据基本不等式即可判断D.【详解】∵110ab，∴0＞a＞b，取a＝－1，b＝－2，则2214ab，故A错误；242abb，故B错误；232ab，故C错误；∵20,20ab，∴22222abab，∵a≠b，所以等号取不到，故22222abab，故D正确.故选：D.4．若a＞1，则11aa的最小值是（）A．2B．aC．21aaD．3【答案】D【分析】原式可化为111111aaaa形式且a＞1，即可用基本不等式求最小值，注意等号成立为a＝2【详解】由a＞1，有a－1＞0∴111112(1)13111aaaaaa，当且仅当1111aa，即a＝2时取等号.故选：D【点睛】本题考查了基本不等式的应用，使用时注意“一正二定三相等”的条件，属于简单题5．已知0,0xy，且211xy，若228xymm有解，则实数m的取值范围为（）A．（∞，1）∪（9，+∞）B．（9，1）C．[9，1]D．（1，9）【答案】A【分析】由228xymm有解，可知只要28mm大于2xy的最小值即可，所以结合基本不等式求出2xy的最小值，再解关于m的不等式即可【详解】因为0,0xy，且211xy