专题8.10 与球有关的切、接问题(解析版)

8.10与球有关的切、接问题思维导图知识点总结研究与球有关的切、接问题，既要运用多面体、旋转体的知识，又要运用球的几何性质，要特别注意多面体、旋转体的有关几何元素与球的半径之间的关系，解决此类问题的关键是确定球心.知识点一：正方体、长方体外接球1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．3、补成长方体（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．（3）正四面体PABC可以补形为正方体且正方体的棱长2PAa，如图3所示．（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示图1图2图3图4知识点二：正四面体外接球如图，设正四面体ABCD的的棱长为a，将其放入正方体中，则正方体的棱长为22a，显然正四面体和正方体有相同的外接球.正方体外接球半径为236224Raa，即正四面体外接球半径为64Ra.知识点三：对棱相等的三棱锥外接球四面体ABCD中，ABCDm，ACBDn，ADBCt，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题.如图，设长方体的长、宽、高分别为,,abc，则222222222bcmacnabt，三式相加可得222abc222,2mnt而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为R，则22224abcR，所以2228mntR.知识点四：直棱柱外接球如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）图1图2图3第一步：确定球心O的位置，1O是ABC的外心，则1OO平面ABC；第二步：算出小圆1O的半径1AOr，111122OOAAh（1AAh也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：22211OAOAOO222()2hRr22()2hRr，解出R知识点五：直棱锥外接球如图，PA平面ABC，求外接球半径.图3-1C1B1AEFA1O1OO2BC图3-2C1B1AA1O1OO2BC图3-3C1B1AEFA1O1OO2BC解题步骤：第一步：将ABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD，连接PD，则PD必过球心O；第二步：1O为ABC的外心，所以1OO平面ABC，算出小圆1O的半径1ODr(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得2sinsinsinabcrABC)，112OOPA；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222(2)(2)RPAr222(2)RPAr；②2221RrOO221RrOO.知识点六：正棱锥外接球正棱锥外接球半径：222rhRh.由此推广：侧棱相等的锥体外接球半径：222rhRh知识点七：垂面模型外接球如图1所示为四面体PABC，已知平面PAB平面ABC，其外接球问题的步骤如下：（1）找出PAB△和ABC△的外接圆圆心，分别记为1O和2O．（2）分别过1O和2O作平面PAB和平面ABC的垂线，其交点为球心，记为O．图5ADPO1OCBhlrDCBA（3）过1O作AB的垂线，垂足记为D，连接2OD，则2ODAB．（4）在四棱锥12ADOOO中，AD垂直于平面12DOOO，如图2所示，底面四边形12DOOO的四个顶点共圆且OD为该圆的直径．图1图2知识点八：锥体内切球方法：等体积法，即3VRS体积表面积典型例题分析考向一外接球角度1补形法——存在侧棱与底面垂直例1已知三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝1，PB＝2，PC＝3，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为()A.7143πB.14πC.56πD.14π答案B解析以线段PA，PB，PC为相邻三条棱的长方体PAB′B－CA′P′C′被平面ABC所截的三棱锥P－ABC符合要求，如图，长方体PAB′B－CA′P′C′与三棱锥P－ABC有相同的外接球，其外接球直径为长方体体对角线PP′，设外接球的半径为R，则(2R)2＝PP′2＝PA2＋PB2＋PC2＝12＋22＋32＝14，则所求球的表面积S＝4πR2＝π·(2R)2＝14π.角度2补形法——对棱相等例2已知棱长为1的正四面体的四个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为()A.68πB.64πC.38πD.34π答案A解析如图将棱长为1的正四面体B1－ACD1放入正方体ABCD－A1B1C1D1中，且正方体的棱长为1×cos45°＝22，所以正方体的体对角线AC1＝222＋222＋222＝62，所以正方体外接球的半径R＝AC12＝64，所以正方体外接球的体积为43πR3＝43π×643＝68π，因为正四面体的外接球即为正方体的外接球，所以正四面体的外接球的体积为68π.感悟提升补形法的解题策略(1)侧面为直角三角形或正四面体，或对棱均相等的模型，可以放到正方体或长方体中去求解；(2)直三棱锥补成三棱柱求解.角度3截面法例3(2021·全国甲卷)已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O－ABC的体积为()A.212B.312C.24D.34答案A解析如图所示，因为AC⊥BC，所以AB为截面圆O1的直径，且AB＝2.连接OO1，则OO1⊥平面ABC，OO1＝OA2－AB22＝1－222＝22，所以三棱锥O－ABC的体积V＝13S△ABC·OO1＝13×12×1×1×22＝212.感悟提升与球截面有关的解题策略(1)定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；(2)作截面：选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的.角度4定义法例4(2023·德州质检)已知四棱锥P－ABCD的侧棱长均相等，其各个顶点都在球O的球面上，AB＝BC，∠ABC＝90°，AD＝23，CD＝2，三棱锥P－ABC的体积为163，则球O的表面积为()A.25πB.125π6C.32πD.642π3答案A解析如图，设点P在底面的射影为H，∵四棱锥P－ABCD的侧棱长均相等，∴HA＝HB＝HC＝HD，∴A，B，C，D四点共圆.∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ADC＝90°.∵AD＝23，CD＝2，∴AC＝4，∴AB＝BC＝22.∵三棱锥P－ABC的体积为163，∴13S△ABC·PH＝163，∴PH＝4，设球O的半径为R，∴(4－R)2＋22＝R2，解得R＝52，则球O的表面积S＝4πR2＝25π.故选A.感悟提升到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可.训练1(1)(2023·河南顶级名校联考)四面体的四个顶点都在半径为R1的球O1上，该四面体各棱长都相等，如图①.正方体的八个顶点都在半径为R2的球O2上，如图②.八面体的六个顶点都在半径为R3的球O3上，该八面体各棱长都相等，四边形ABCD是正方形，如图③.设四面体、正方体、八面体的表面积分别为S4，S6，S8.若R1∶R2∶R3＝3∶43∶2，则()A.S8＞S4＞S6B.S4＝S8＞S6C.S4＝S6＜S8D.S4＝S6＝S8答案D解析设正四面体的棱长为a4，如图正四面体A′B′C′D′内接于棱长为a42的正方体内，则易求R1＝64a4，∴a4＝4R16，∴S4＝4×34a24＝833R21；设正方体的棱长为a6，则2R2＝3a6，∴a6＝2R23，∴S6＝6a26＝8R22；设八面体的棱长为a8，其外接球球心为AC的中点，则a8＝2R3，∴S8＝8×34a28＝43R23.∵R1∶R2∶R3＝3∶43∶2，∴设R1＝3R，R2＝43R，R3＝2R，∴S4＝S6＝S8＝83R2.故选D.(2)(2023·天津模拟)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上.若该棱柱的体积为3，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，则外接球的表面积为________.答案8π解析由AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°及余弦定理可得BC＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos60°＝4＋1－2×2×1×12＝3，所以AC2＋BC2＝AB2，∠ACB＝90°，所以底面外接圆的圆心为斜边AB的中点.设△ABC的外接圆半径为r，则r＝AB2＝1.又S△ABC＝12BC·AC＝12×3×1＝32，所以V柱＝S△ABC·AA1＝3，所以AA1＝2，因为三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，设其外接球的半径为R，则R2＝r2＋AA122＝12＋12＝2，所以外接球的表面积S＝4πR2＝4π×2＝8π.考向二内切球例5(2023·江西大联考)已知四面体SABC的所有棱长为23，球O1是其内切球.若在该四面体中再放入一个球O2，使其与平面SAB，平面SBC，平面SAC以及球O1均相切，则球O2与球O1的半径比值为()A.33B.14C.13D.12答案D解析如图，设S在平面ABC内的射影为O，R1为球O1的半径，R2为球O2的半径，F，H分别为球O1，球O2与侧面SBC的切点.在Rt△SAO中，该四面体的高h＝SO＝SA2－AO2＝SA2－23AE2＝SA2－23×32AB2＝12－4＝22.又四面体的表面积S＝4×34×(23)2＝123，则13·S·R1＝13×33h，解得R1＝22，由HO2FO1＝SO2SO1，得R2R1＝h－2R1－R2h－R1，即R222＝22－2－R222－22，解得R2＝24，故R2R1＝12.故选D.感悟提升“切”的问题处理规律(1)找准切点，通过作过球心的截面来解决.(2)体积分割是求内切球半径的常用方法.训练2(2023·南京调研)已知正方形ABCD的边长为2，E为边AB的中点，F为边BC的中点，将△AED，△DCF，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使A，B，C三点重合于点P，则三棱锥P－DEF的外接球与内切球的表面积比值为()A.6B.12C.24D.30答案C解析如图①，依题意可知AD⊥AE，CD⊥CF，BE⊥BF，所以PD⊥PE，PF⊥PD，PE⊥PF，如图②.所以在三棱锥P－DEF中，PD，PE，PF两两垂直，且PE＝PF＝1，PD＝2，所以三棱锥P－DEF的外接球即为以PD，PE，PF为邻边的长方体的外接球，所以三棱锥P－DEF的外接球半径R满足2R＝1＋1＋4＝6，所以R＝62，则其外接球的表面积为4πR2＝6π.因为三棱锥P－DEF的表面积为正方形ABCD的面积，所以S表＝2×2＝4，VP－DEF＝13×12×1×1×2＝13.设三棱锥P－DEF的内切球的半径为r，所以由13S表·r＝VP－DEF，解得r＝14，所以内切球的表面积为4πr2＝π4，所以三棱锥P－DEF的外接球与内切球的表面积比值为6ππ4＝24.故选C.考向三双半径单交线公式若相互垂直的两凸多边形的外接圆半径分别为R1，R2，两外接圆公共弦长为l，则由两凸多边形顶点连接而成的几何体的外接球半径：R＝R21＋R22－l24.例6(2023·河南适应性测试)已知三棱锥P－ABC，△ABC是边长为23的等边三角形，PA＝PB＝a，且平面PAB⊥平面ABC，若三棱锥P－ABC的每个顶点都在表面积为65π4的球面上，则a＝________.答案212或7解析法一如图，取AB的中点为D，连接PD，CD，因为PA＝PB＝a，所以PD⊥AB.因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PD⊂平面PAB，所以PD⊥平面ABC，同理得CD⊥平面PAB.设点O1为等边△ABC的外心，过点O1作O1E∥PD，则O1E⊥平面ABC，易得直线O1E上任意一点到A，B，C三点的距离相等.设O2为△PAB的外心