专题6.3 等比数列(解析版)

6.3等比数列思维导图知识点总结1．等比数列的有关概念定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列通项公式设{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，则通项公式an＝a1qn－1.推广：an＝amqn－m(m，n∈N*)等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．此时，G2＝ab2.等比数列的前n项和公式Sn＝na1，q＝1，a11－qn1－q＝a1－anq1－q，q≠1.典型例题分析考向一等比数列基本量的运算1．(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝()A．14B．12C．6D．3解析：选D设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由题意可得a1＋a2＋a3＝168，a2－a5＝42，即a11－q31－q＝168，a1q1－q3＝42，解得a1＝96，q＝12，所以a6＝a1q5＝3，故选D.2．(2023·岳阳模拟)河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{an}，则log2a4的值为()A．4B．5C．6D．7解析：选C根据题意，“浮雕像”从下到上构成公比为2的等比数列，设首项为a1，前n项和为Sn.于是S7＝a11－271－2＝1016⇒a1＝8，则a4＝8×23＝26⇒log2a4＝log226＝6.故选C.3．(2023·泸州模拟)记Sn为递增的等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝72a2，则S4＝______.解析：设等比数列{an}的公比为q，由S3＝72a2得，a1＋a2＋a3＝72a2，即1＋q2＝52q，解得q＝2或q＝12，∵{an}是递增数列，∴q＝2，∴S4＝1－241－2＝24－1＝15.答案：15方法总结等比数列基本量运算的解题策略(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q.考向二等比数列的判定或证明[典例]已知数列{an}满足a1＝12，a2＝1，an＋2＋4an＝5an＋1(n∈N*)．(1)证明：数列{an＋1－an}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．[解](1)证明：∵an＋2＋4an＝5an＋1，n∈N*，∴an＋2－an＋1＝4(an＋1－an)，n∈N*，∵a1＝12，a2＝1，∴a2－a1＝12，∴数列{an＋1－an}是以12为首项，4为公比的等比数列．(2)由(1)知，an＋1－an＝12×4n－1＝22n－3，当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝22n－5＋22n－7＋22n－9＋…＋2－1＋2－1＝12＋121－4n－11－4＝13(22n－3＋1)当n＝1时，a1＝13(2－1＋1)＝12满足上式．所以，an＝13(22n－3＋1)(n∈N*)．[方法技巧]等比数列的判定方法定义法若an＋1an＝q(q为非零常数，n∈N*)或anan－1＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列中项公式法若数列{an}中，an≠0且a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列通项公式法若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列前n项和公若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为非零常数，q≠0,1)，则{an}式法是等比数列注意(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可考向三等比数列的性质[典例](1)(2023·沈阳模拟)在等比数列{an}中，a2，a8为方程x2－4x＋π＝0的两根，则a3a5a7的值为()A．ππB．－ππC．±ππD．π3(2)(2023·辽宁抚顺市第二中学模拟)若等比数列{an}的各项均为正数，且a1a10＝9，则log9a1＋log9a2＋…＋log9a10＝()A．6B．5C．4D.1＋log352[解析](1)在等比数列{an}中，因为a2，a8为方程x2－4x＋π＝0的两根，所以a2a8＝π＝a25，所以a5＝±π，所以a3a5a7＝a35＝±ππ.故选C.(2)log9a1＋log9a2＋…＋log9a10＝log9[(a1a10)·(a2a9)·(a3a8)·(a4a7)·(a5a6)]＝log995＝5.[答案](1)C(2)B[方法技巧](1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．基础题型训练一、单选题1．数列{an}的前n项和为Sn，若133nnSm，且{an}是等比数列，则m＝（）A．0B．3C．4D．6【答案】D【分析】利用1nnnaSS算出通项，再结合该数列为等比数列可求m.【详解】因为133nnSm，故12,123,2nnmnan，因为na为等比数列，故3221aaaa即32223232312m，故6m，此时6,123,2nnnan即23nna，13nnaa即na为等比数列.故选：D.2．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则此人第4天走了（）A．60里B．48里C．36里D．24里【答案】D【分析】由题意可知，每天走的里数构成以12为公比的等比数列，由6378S求出首项，再由等比数列通项公式可求得结果【详解】解：记每天走的路程里数为na，可知na是以公比12q的等比数列，因为6378S，所以161(1)2378112a，解得1192a，所以431192242a，故选：D【点睛】此题考查函数模型的选择及等比数列的通项公式、等比数列的前n项和公式的应用3．设{}na是首项为正数的等比数列,公比为,q则“0q”是“对任意的正整数212,nnnaa0”的A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】试题分析：由题意得，22212(1)21210()0(1)0(,1)nnnnnaaaqqqqq，故是必要不充分条件，故选C.【考点】充要关系【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法：①定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．②等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．③集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．4．已知数列na的前n项和21nnSa，则确定2nan的最大正整数n的值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【分析】利用12nnnaSSn得到12nnaa并求出1a，再利用等比数列的通项公式得到12nnanN，代入2nan，即可得到满足不等式的最大正整数n的值.【详解】21nnSa，当2n时，1121nnSa，两式相减得122nnnaaa，整理得12nnaa，na是公比为2的等比数列，又1121aa，解得11a，故12nnanN，则由2nan，即122nn，满足要求的1,2,3,4n，所以最大正整数n的值为4.故选：C.5．在各项都为正数的等比数列na中，13a，3124aa，则公比q的值为（）A．3B．3C．3D．2【答案】B【分析】利用等比数列通项公式，结合0q可直接构造方程求得结果.【详解】0na，0q，由13a，3124aa得：119327qq，即29q，解得：3q.故选：B.6．已知数列na的前n项和为nS，其中11a，1a，22a，33a成等差数列，且*11,1nnaSnN，则na（）A．21nB．12nC．111nD．1n【答案】B【分析】由11nnaS，利用数列通项与前n项和的关系求解.【详解】由已知，11nnaS，则112nnaSn，∴11nnnnnaaSSa，∴11nnaa，∴na是等比数列．又∵1323234,44aaaaa，∴244qq，∴2q=，∴12nna．故选：B二、多选题7．已知等比数列na是单调数列，设nS是其前n项和，若1243a，53a，则下列结论正确的是（）A．327aB．63nnaC．4332nnSD．121211nnaaaaaa【答案】BD【分析】利用等比数列的通项公式和前n项和求解即可.【详解】设等比数列na的公比为q，则有5145124333aaaq，解得13q或13，当13q时数列na不是单调数列，所以13q，所以23127aaq，故A错误；115611333nnnnaaq，故B正确；56611313(1)332123nnnnSaqq，故C错误；(11)5462123333nnnnaaa，11(55)(11)54521211233333nnnnnnaaa，所以121211nnaaaaaa成立，故D正确.故选:BD.8．已知函数lgfxx，则()A．2f，10f，5f成等差数列B．2f，4f，8f成等差数列C．2f，12f，72f成等比数列D．2f，4f，16f成等比数列【答案】ABD【分析】根据函数解析式，求出选项对应的函数值，结合等差数列的等差中项和等比数列的等比中项的应用依次判断选项即可.【详解】A：25lg2lg51ff，122102lg102lg101f，则25ff210f，由等差中项的应用知，(2)10(5)fff、、成等差数列，所以A正确；B：2lg2f，4lg42lg2f，8lg83lg2f，则(2)(8)2(4)fff，由等差中项的应用知，(2)4(8)fff、、成等差数列，所以B正确；C：272lg1442lg12212fff，2122lg12lg144f，则2f，12f，72f成等差数列，又212ff，所以C错误；D：2lg2f，4lg42lg2f，16lg164lg2f，则2[(4)](2)(16)fff，由等比中项的应用知，(2)4(16)fff、、成等比数列，所以D