专题6.2 等差数列(解析版)

6.2等差数列思维导图知识点总结1．等差数列的有关概念定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，即an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)通项公式设{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，则通项公式an＝a1＋(n－1)d等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b2．等差数列的前n项和公式已知条件前n项和公式a1，an，nSn＝na1＋an2a1，d，nSn＝na1＋nn－12d典型例题分析考向一等差数列基本量的运算1．已知等差数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足a6＝17，S5＝a2a3，则a12＝()A．28B．30C．32D．35解析：选D设公差为d且d0，由a6＝17，S5＝a2a3，得a1＋5d＝17，5a1＋10d＝a1＋da1＋2d，d0⇒a1＝2，d＝3，故a12＝a1＋11d＝2＋33＝35.2．(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝__________.解析：因为2S3＝3S2＋6，所以2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，化简得3d＝6，得d＝2.答案：2方法总结解答等差数列运算问题的通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及a1，an，d，n，Sn五个量，知其中三个就能求另外两个，体现了解方程的思想．考向二等差数列的判定或证明[典例]在数列{an}中，Sn＋1＝4an＋2，a1＝1.(1)设cn＝an2n，求证数列{cn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．[解](1)证明：在数列{an}中，∀n∈N*，Sn＋1＝4an＋2，则当n≥2时，有Sn＝4an－1＋2，两式相减得an＋1＝4an－4an－1，而cn＝an2n，即an＝2ncn，则有2n＋1cn＋1＝4×2ncn－4×2n－1cn－1，整理得cn＋1＝2cn－cn－1，即cn＋1＋cn－1＝2cn，所以数列{cn}是等差数列．(2)由Sn＋1＝4an＋2得a1＋a2＝4a1＋2，而a1＝1，则a2＝5，c1＝a12＝12，c2＝a222＝54，因此，等差数列{cn}的公差d＝54－12＝34，即{cn}是以12为首项，34为公差的等差数列，则cn＝12＋34(n－1)＝34n－14，即an2n＝3n－14，于是得an＝(3n－1)·2n－2，所以数列{an}的通项公式an＝(3n－1)·2n－2.[方法技巧]等差数列的判定与证明方法定义法如果一个数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么可以判断数列{an}为等差数列等差中项法如果一个数列{an}对任意的正整数n都满足2an＋1＝an＋an＋2，那么可以判断{an}为等差数列通项公式法如果一个数列{an}的通项公式满足an＝pn＋q(p，q为常数)的形式，那么可以提出{an}是首项为p＋q，公差为p的等差数列，适用选择、填空题前n项和公式法如果一个数列{an}的前n项和公式满足Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)的形式，那么可以得出数列{an}是首项为A＋B，公差为2A的等差数列，适用选择、填空题考向三等差数列的性质角度1等差数列的性质[例1](1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S20＝60，则S40等于()A．110B．150C．210D．280(2)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺．斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤．问依次每一尺各重多少斤？”假定该金杖被截成长度相等的若干段时，其质量从大到小构成等差数列．若将该金杖截成长度相等的20段，则中间两段的质量和为________斤．(3)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，Sn，Tn分别是它们的前n项和，并且SnTn＝7n＋33n＋8，则a7b7＝________.[解析](1)因为等差数列{an}的前n项和为Sn，所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列．故(S30－S20)＋S10＝2(S20－S10)，所以S30＝150.又因为(S20－S10)＋(S40－S30)＝2(S30－S20)，所以S40＝280.(2)设该若干段的质量从大到小构成等差数列{an}，由题意得，每4段为1尺，即a1＋a2＋a3＋a4＝4，a20＋a19＋a18＋a17＝2，两式相加得4(a1＋a20)＝6，则a10＋a11＝a1＋a20＝32.(3)因为{an}，{bn}为等差数列，所以a7b7＝2a72b7＝a1＋a13b1＋b13＝13a1＋a13213b1＋b132＝S13T13，又SnTn＝7n＋33n＋8，所以a7b7＝S13T13＝7×13＋33×13＋8＝9447＝2.[答案](1)D(2)32(3)2[方法技巧](1)运用等差数列的有关性质和结论可以提升解题效率．(2)应用性质解题时，注意性质成立的前提条件．(3)要注意等差数列通项公式及前n项和公式的灵活应用，如an＝am＋(n－m)d，d＝an－amn－m，S2n－1＝(2n－1)an，Sn＝na1＋an2＝na2＋an－12(n，m∈N*)等．角度2等差数列前n项和的最值[例2](多选)记等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2＝10，S5＝S2，则()A．S3＝S4B．a6＝10C．Sn的最大值为30D．an的最大值为15[解析]设等差数列的公差为d，则由题可得a1＋d＝10，5a1＋10d＝2a1＋d，解得a1＝15，d＝－5，∴an＝15＋(n－1)×(－5)＝20－5n，Sn＝n15＋20－5n2＝35n－5n22，∴a4＝0，S3＝S4，故A正确；a6＝－10，故B错误；当n＝3或n＝4时，Sn取得最大值为30，故C正确；由于d0，∴an的最大值为a1＝15，故D正确．[答案]ACD[方法技巧]求等差数列前n项和Sn最值的方法(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn(a≠0)，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①若a1＞0，d＜0，则满足am≥0，am＋1≤0的项数m使得Sn取得最大值Sm；②若a1＜0，d＞0，则满足am≤0，am＋1≥0的项数m使得Sn取得最小值Sm.基础题型训练一、单选题1．观察下面的数表：若第n行的各数之和为231，则n（）A．15B．18C．20D．21【答案】C【分析】观察数表的规律利用等差数列的前n项和公式求解即可.【详解】设第n行的各数之和为nS，则1123S,21236S,…，1212312nnnSnn，令122312nn，即23200nn，解得20n或23n（舍去）故选：C.2．两等差数列{an}、{bn}的前n项和的比5327nnSnSn，则55ab的值是A．2817B．2315C．5327D．4825【答案】D【分析】依据等差数列角标和性质去求55ab的值即可.【详解】195595591919199259348292297252aaaaaaSbbbbSbb故选：D.3．设等差数列{}na的前n项和为nS，若17180,0SS，则当nS取最小值时，n的值为（）A．8B．9C．16D．17【答案】B【解析】根据等差数列的前项和以及等差数列的性质可得90a，100a，进而可得9S最小.【详解】由等差数列前n项和公式可得:11717991717217022aaaaS，所以90a，1189180191018189202aaaaaaS，所以9100aa，故100a，所以等差数列{}na的前9项为负数，从第10项起为正，故前9项的和最小，所以n的值为9，故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用17180,0SS，得出90a，100a进而可得9S最小.4．在等差数列na中，若1233aaa++=，11121312aaa，则59aa（）A．15B．10C．5D．1【答案】C【分析】利用等差数列性质，若++mnpq＝，则++mnpqaaaa＝及等差中项公式可求．【详解】因为1233aaa++=，由等差中项公式，得233a，同理11121312aaa，得12312a，2123+3=3+1215aa．212+=5aa59212+=5aaaa故选：C5．已知na是各项均为正数的等差数列，且6710220aaa，则78aa的最大值为（）A．10B．20C．25D．50【答案】C【分析】根据等差数列的性质，化简原式，得到7810aa，用基本不等式求最值.【详解】∵6710610787222220aaaaaaaa，∴7810aa，由已知，得70a，80a∴227878102522aaaa，当且仅当785aa时等号成立.故选：C.6．数列na的前n项和为nS，若点,nnS在函数22fxxx的图象上，则2021a（）A．2021B．4041C．4042D．4043【答案】D【分析】根据点,nnS在函数22fxxx的图象上，得到22nSnn，再利用数列通项与前n项和的关系11,1,2nnnSnaSSn求解.【详解】因为点,nnS在函数22fxxx的图象上，所以22nSnn，当1n时，113aS，当2n时，221212121nnnaSSnnnnn，又13a适合上式，所以21nan，所以20212202114043a，故选：D【点睛】方法点睛：1、数列的通项an与前n项和Sn的关系是11,1,2nnnSnaSSn，当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示．二、多选题7．若na为等差数列，2511,5aa，则下列说法正确的是（）A．152nanB．20是数列na中的项C．数列na单调递减D．数列na前7项和最大【答案】ACD【分析】由na为等差数列，列方程组求得首项与公差，就可得到通项公式，然后对选项逐一判断即可.【详解】因为数列na为等差数列，且2511,5aa，则111145adad，解得113,2ad，13(1)(2)215nann，故A选项正确，由20215n，得*35N2n，故B错误，因为0d，所以数列na单调递减，故C正确，由数列通项公式152nan可知，前7项均为正数，81a，所以前7项和最大,故D正确.故选：ACD8．已知关于x的方程22880xxmxxt的四个根是公差为2的等差数列na的前四项，nS为数列na的前n项和，则（）A．12aB．22mtC．253SaD．10100S【答案】BCD【分析】根据韦达定理可得14238aaaa，进而求得首项，即可得,nnaS，即可判断选项A，C，D；由韦达定理可知1423mtaaaa代入即可判断D.【详解】解：因为na为等差数列，所以14238aaaa，因为2d，可得11a，