专题5.3 平面向量的数量积及其应用 （解析版）

5.3平面向量的数量积及其应用思维导图知识点总结1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：对于两个非零向量a和b，在平面内任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角.当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；当θ＝90°时，则称a与b垂直，记作a⊥b.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量|a||b|cos__θ叫作向量a和b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ.(3)投影向量设a，b是两个非零向量，如图(1)(2)，OA→表示向量a，OB→表示向量b，过点A作OB→所在直线的垂线，垂足为点A1.我们将上述由向量a得到向量OA1→的变换称为向量a向向量b投影，向量OA1→称为向量a在向量b上的投影向量.向量a在向量b上的投影向量为(|a|cos__θ)b|b|.2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.(1)数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.(2)模：|a|＝a·a＝x21＋y21.(3)夹角：cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤x21＋y21·x22＋y22.3.平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律).(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).4.平面几何中的向量方法三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.[常用结论]1.两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b0且a，b不共线.2.平面向量数量积运算的常用公式：(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.3.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，两边不能约去同一个向量.典型例题分析考向一数量积的计算例1(1)(2022·全国乙卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝3，|a－2b|＝3，则a·b＝()A.－2B.－1C.1D.2答案C解析由|a－2b|＝3，可得|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝9，又|a|＝1，|b|＝3，所以a·b＝1，故选C.(2)(2023·八省八校联考)如图，在同一平面内沿平行四边形ABCD的两边AB，AD向外分别作正方形ABEF，ADMN，其中AB＝2，AD＝1，∠BAD＝π4，则AC→·FN→＝________.答案0解析法一AC→·FN→＝(AB→＋AD→)·(FA→＋AN→)＝AB→·FA→＋AB→·AN→＋AD→·FA→＋AD→·AN→＝0＋|AB→|·|AN→|cos3π4＋|AD→||FA→|cosπ4＋0＝2－2＝0.法二建立平面直角坐标系，如图，则A(0，2)，C2＋22，2＋22，N－22，2＋22，则AC→＝2＋22，22，FN→＝－22，2＋22，则AC→·FN→＝－2－12＋2＋12＝0.感悟提升平面向量数量积的两种运算方法：(1)基底法，当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题；(2)坐标法，当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.考向二数量积的应用角度1夹角与垂直例2(1)(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝()A.－6B.－5C.5D.6答案C解析由题意，得c＝a＋tb＝(3＋t，4)，所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.因为〈a，c〉＝〈b，c〉，所以cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，即a·c|a||c|＝b·c|b||c|，即25＋3t5＝3＋t，解得t＝5，故选C.(2)已知△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若AP→＝λAB→＋AC→，且AP→⊥BC→，则实数λ的值为________.答案2215解析因为AP→＝λAB→＋AC→，且AP→⊥BC→，所以有AP→·BC→＝(λAB→＋AC→)·(AC→－AB→)＝λAB→·AC→－λAB→2＋AC→2－AB→·AC→＝(λ－1)AB→·AC→－λAB→2＋AC→2＝0，整理可得(λ－1)×3×4×cos120°－9λ＋16＝0，解得λ＝2215.角度2平面向量的模例3(2023·华大新高考联盟质测)已知平面向量a，b，c满足b⊥c，|b|＝|c|＝2，若a·b＝a·c＝8，则|a|＝________.答案42解析依题意，a·b－a·c＝a·(b－c)＝0，所以a⊥(b－c)，而b⊥c，a·b＝a·c＝8，|b|＝|c|＝2，故〈a，b〉＝〈a，c〉＝45°，故a·b＝|a||b|cos45°＝8，解得|a|＝42.感悟提升1.求解平面向量模的方法(1)利用公式|a|＝x2＋y2.(2)利用|a|＝a2.2.求平面向量的夹角的方法(1)定义法：cosθ＝a·b|a||b|，θ的取值范围为[0，π].(2)坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.考向三平面向量与三角的结合应用例4(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，点P1(cosα，sinα)，P2(cosβ，－sinβ)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1，0)，则()A.|OP1→|＝|OP2→|B.|AP1→|＝|AP2→|C.OA→·OP3→＝OP1→·OP2→D.OA→·OP1→＝OP2→·OP3→答案AC解析由题意可知，|OP1→|＝cos2α＋sin2α＝1，|OP2→|＝cos2β＋（－sinβ）2＝1，所以|OP1→|＝|OP2→|，故A正确；取α＝π4，则P122，22，取β＝5π4，则P2－22，22，则|AP1→|≠|AP2→|，故B错误；因为OA→·OP3→＝cos(α＋β)，OP1→·OP2→＝cosαcosβ－sinαsinβ＝cos(α＋β)，所以OA→·OP3→＝OP1→·OP2→，故C正确；因为OA→·OP1→＝cosα，OP2→·OP3→＝cosβcos(α＋β)－sinβsin(α＋β)＝cos(α＋2β)，取α＝π4，β＝π4，则OA→·OP1→＝22，OP2→·OP3→＝cos3π4＝－22，所以OA→·OP1→≠OP2→·OP3→，故D错误.感悟提升向量与三角函数结合时，通常以向量为表现形式，实现三角函数问题，要注意向量夹角与三角形内角的区别与联系.基础题型训练一、单选题1．已知两个平面向量、ab的夹角为23，且1||ab＝＝，则||ab-等于（）A．3B．1C．23D．2【答案】A【分析】由平面向量数量积的运算律求解，【详解】2221||21211132abaabb－－3ab－故选：A2．已知向量,ab满足2π1,2,,3abab，则aab（）A．－2B．－1C．0D．2【答案】C【分析】根据向量数量积运算求得正确答案.【详解】22π112cos1103aabaab.故选：C3．已知向量,ab满足4,6,8abab，则ab（）A．2B．210C．8D．410【答案】B【分析】利用向量的数量积运算和模的运算法则可得2222+2+2abababrrrrrr，由此根据已知条件可求得答案.【详解】∵22222222+2++2+2+2ababaabbaabbabrrrrrrrrrrrrrr,又∵||4,||6,||8abab∴2+64216+236=104abrr，∴2=40abrr，∴=210abrr，故选：B.4．在等腰三角形ABC中，5ABAC，2BC，若P为边BC上的动点，则()APABAC（）A．4B．8C．4D．8【答案】B【分析】取BC的中点为D，连接AD，可得ADBC及2AD，利用数量积的运算律及中线向量公式可求()APABAC．【详解】取BC的中点为D，连接AD，因为5ABAC，故ADBC，故512AD，又2()2228APABACAPADADDPADAD，故选：B．5．设a，e均为单位向量，当a，e的夹角为23时，a在e方向上的投影为（）A．32B．12C．12D．32【答案】B【分析】根据向量投影计算公式，计算出所求的投影.【详解】a在e上的投影为21cos,cos32aae，故选：B.【点睛】本小题主要考查向量投影的概念和运算，考查单位向量，属于基础题.6．已知向量AB与AC的夹角为120，且2,3ABAC，若APABACuuuruuuruuur，且()0APACAB，则实数的值为（）A．37B．127C．6D．13【答案】B【分析】根据向量数量积的定义及运算法则计算求解即可.【详解】23cos1203ABAC由0APACAB0ABACACAB,220ABACABACABAC2(1)(3)340127.故选：B.二、多选题7．已知单位向量a，b，则下列式子正确的是（）A．22abB．1abC．0abD．ab【答案】AC【分析】利用单位向量的定义可判断C，D，利用平面向量的数量积公式计算可判断A，B.【详解】解：向量a，b为单位向量，所以有221ab，故A正确；向量夹角未知，所以B不正确；abrr，所以0ab，所以C正确；向量a，b方向不一定相同，所以D不正确.故选：AC8．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形（图2）中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，且1OB，则下列说法正确的是（）A．ABEFB．OAOHEDC．2OBODOCD．22ODOG【答案】BC【分析】根据正八边形的性质、平面向量数量积的定义及向量加法的平行四边形法则判断即可；【详解】解：依题意ABFE，故A错误；OAOHHAED，故B正确；因为3602908BOD，即OBOD，所以以OD，OB为邻边的平行四边形为正方形，对角线长为2OB，所以2OBODOC，故C正确；因为36031358GOD，所以2cos2ODOGODOGGOD，故D错误；故选：BC三、填空题9．已知3m，4n，且m与n的夹角为34，则mnurr______．【答案】62【分析】根据数量积的定义计算可得；【详解】解：因为3m，4n，且m与n的夹角为34，所以2cos4362342mnmnurrurrg故答案为：6210．在边长为4的等边ABC中，,BDDCAPPD，则BPAC___________.【答案】2.【分析】画出图形，利用已知条件，转化求解向量的数量积即可．【详解】解：边长为4的等边ABC中，BDDC，APPD，可得D是BC的中点，P是AD的中点，1()4APABAC所以131()444BPBAAPBAABACABAC，则23131()4444BPA