专题5.2 平面向量的基本定理及坐标运算（解析版）

5.2平面向量的基本定理及坐标运算思维导图知识点总结1.平面向量的基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量结论对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2基底两个不共线的向量e1，e2叫作这个平面的一组基底2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，称为向量作正交分解.3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2.4.向量平行的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.[常用结论]1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然.2.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.典型例题分析考向一平面向量基本定理的应用例1(1)(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记CA→＝m，CD→＝n，则CB→＝()A.3m－2nB.－2m＋3nC.3m＋2nD.2m＋3n答案B解析因为BD＝2DA，所以AB→＝3AD→，所以CB→＝CA→＋AB→＝CA→＋3AD→＝CA→＋3(CD→－CA→)＝－2CA→＋3CD→＝－2m＋3n.故选B.(2)在△ABC中，点P是AB上一点，且CP→＝23CA→＋13CB→，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又CM→＝tCP→，则t的值为________.答案34解析如图所示.∵A，M，Q三点共线，∴CM→＝xCQ→＋(1－x)CA→＝x2CB→＋(1－x)CA→，又∵CP→＝23CA→＋13CB→，CM→＝tCP→，∴x2＝13t，1－x＝23t，解得t＝34.感悟提升1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的.考向二平面向量的坐标运算例2(1)在平行四边形ABCD中，AD→＝(3，7)，AB→＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，则CO→的坐标为()A.－12，5B.12，5C.－12，－5D.12，－5答案C解析因为在平行四边形ABCD中，AD→＝(3，7)，AB→＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，所以CO→＝－AO→＝－12(AD→＋AB→)＝－12，－5.(2)(2023·北京人大附中统练)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，用基底{a，b}表示c，则()A.c＝2a－3bB.c＝－2a－3bC.c＝－3a＋2bD.c＝3a－2b答案D解析如图建立平面直角坐标系，设正方形网格的边长为1，则A(1，0)，B(2，1)，C(0，4)，D(7，1)，所以a＝(1，1)，b＝(－2，3)，c＝(7，－3)，设向量c＝ma＋nb，则c＝ma＋nb＝(m－2n，m＋3n)＝(7，－3)，则m－2n＝7，m＋3n＝－3，解得m＝3，n＝－2，所以c＝3a－2b.故选D.感悟提升平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.考向三平面向量平行的坐标表示角度1利用向量平行求参数例3(1)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(m，－1)，若c∥(2a＋b)，则m等于()A.－2B.－1C.－12D.12答案A解析∵a＝(1，2)，b＝(2，－2)，∴2a＋b＝(4，2)，又c＝(m，－1)，c∥(2a＋b)，∴2m＋4＝0，解得m＝－2，故选A.(2)已知向量OA→＝(k，12)，OB→＝(4，5)，OC→＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝________.答案－23解析由题意，得AB→＝OB→－OA→＝(4－k，－7)，AC→＝OC→－OA→＝(－2k，－2).因为A，B，C三点共线，所以AB→，AC→共线，所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－23.角度2利用向量平行求向量或点的坐标例4在△ABC中，已知点O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)，OC→＝14OA→，OD→＝12OB→，AD与BC交于点M，则点M的坐标为________.答案127，2解析因为点O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)，所以点C0，54，同理点D2，32.设M的坐标为(x，y)，则AM→＝(x，y－5)，而AD→＝2，－72.因为A，M，D三点共线，所以AM→与AD→共线，所以－72x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20.而CM→＝x，y－54，CB→＝4－0，3－54＝4，74，因为C，M，B三点共线，所以CM→与CB→共线，所以74x－4y－54＝0，即7x－16y＝－20.由7x＋4y＝20，7x－16y＝－20，得x＝127，y＝2，所以点M的坐标为127，2.感悟提升1.两平面向量平行的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；(2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb.2.向量平行的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.基础题型训练一、单选题1．若1212,,(1),OPaOPbPPPP则OP等于（）A．aλbB．(1)abC．abD．11ar＋1b【答案】D【分析】将12,PPPP改为起点为O的向量后再转化可求解.【详解】∵12PPPP，∴12()OPOPOPOP，∴12(1+)+OPOPOP，∴1211++1+1+1+1+OPOPOPab.故选：D2．若向量1,1a，11b,，则2abrr（）A．5B．25C．10D．10【答案】C【分析】求出向量2ab的坐标，利用向量的模长公式可求得结果.【详解】向量1,1a，11b,，则23,1ab，因此，2223110ab.故选：C.3．已知向量(2,1),(,4)ABACa，若ABAC，则||BC（）A．2B．5C．25D．5【答案】D【分析】根据ABAC求得a，由此求得BC，进而求得||BC.【详解】由题意可得240ABACa，解得2a，所以(4,3)BCACAB，因此22||(4)35BC．故选：D4．已知向量21,1,abmm，，则1m是ab∥的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用向量平行的坐标公式计算，得出m，进而利用充分不必要条件的定义判断即可．【详解】若ab∥，则20mm，解得1m或0m，则1m是ab∥的充分不必要条件；故选：A5．已知向2,1a，4,3b，若a与abl+垂直，则实数的值为（）A．-1B．0C．1D．2【答案】A【分析】应用向量线性运算的坐标表示abl+，再由向量垂直的坐标表示有550，即可求值.【详解】由题设，(24,13)aλbλλ，a与abl+垂直，则2(24)(13)550，可得1.故选：A6．已知点,,ABC不共线，,为实数，APABAC，则“01”是“点P在ABC内（不含边界）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用向量共线的推论及充分条件和必要条件的定义即可得解.【详解】若APABAC，且=1，可知,,PBC三点共线，若APABAC，点P在ABC内部（不含边界），则01；反之不成立，例如11,32时，此时P在ABC外部，所以“01”是“点P在ABC内（不含边界）”的必要不充分条件，故选：B.二、多选题7．已知向量1,2,1,2ab，则下列结论正确的是（）A．//abrrB．0abC．ba与a反向D．,ab可作一组基底【答案】ABC【分析】根据向量共线、向量运算、基底等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】由于ba，所以//abrr，,ab不能作一组基底，所以A正确，D错误.0,00ab，B正确，2,42baa，所以ba与a反向，C正确.故选：ABC8．已知向量1,1ab，3,1ab，1,1c，设a，b的夹角为，则（）A．abrrB．acC．a在b上的投影向量为1,0D．135【答案】BD【分析】首先求出a，b，再根据向量数量积、模及夹角的坐标表示一一计算可得；【详解】解：因为1,1ab，3,1ab，所以1,1a，2,0b，所以22112a，2b，故A错误；11110ac，所以ac，故B正确；2ab，所以22cos222abab，因为0,，所以34，故D正确；又1212,01,022abbbb，故a在b上的投影向量为1,0，故C错误；故选：BD三、填空题9．设向量1,2a，2,bt，若ab，则=t________．【答案】1【分析】根据向量垂直列方程，化简求得t的值.【详解】由于ab，所以220,1abtt.故答案为：110．假设25a，1,3b，若ab，则a________________.【答案】32,2或32,2【分析】设出a，利用25a与ab列出式子求解即可得出答案.【详解】设,axy，25a，2225xy，即2220xy，又ab且1,3b，30xy，即3xy，代入2220xy，解得：2y或2，则当2y时，32x，当2y时，32x，32,2a或32,2a.故答案为：32,2或32,2.11．ABC中，2BDDC，若ADxAByAC，则xy___________．【答案】13【分析】由平面向量的三点共线定理求得x、y的值，代入计算即可.【详解】2BDDC，2ADABACAD1233ADABAC，即12,33xy．13xy.故答案为：13.12．已知点(0,1)A，(1,2)B，向量(4,1)AC，则BCuuuv__________．【答案】13【详解】设,Cxy，点0,1,1,2AB，向量4,1,AC,14,1ACxy，411xy，解得4,0xy，4,0,3,2CBC，BC9413，故答案为13.四、解答题13．在平面直角坐标系xOy中已知四边形ABCD是平行四边形，1,2AB，2,1AD.(