专题5.1 平面向量的概念及其线性运算(解析版)

5.1平面向量的概念及其线性运算思维导图知识点总结1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫作向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量AB→的大小就是向量的长度(或称模)，记作|AB→|.(2)零向量：长度为0的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，记作a∥b.规定：0与任一向量平行.(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求两个向量差的运算a－b＝a＋(－b)数乘规定实数λ与向量a相乘的运算，叫作向量的数乘，记作λa(1)|λa|＝|λ||a|；(2)若a≠0，则当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；特别地，当λ＝0时，0a＝0；当a＝0时，λ0＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理设a为非零向量，如果有一个实数λ，使b＝λa，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.[常用结论]1.中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP→＝12(OA→＋OB→).2.OA→＝λOB→＋μOC→(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线(O不在直线BC上)，则λ＋μ＝1.3.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.典型例题分析考向一平面向量的有关概念例1.设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使a|a|＝b|b|成立的充分条件是()A.a＝－bB.a∥bC.a＝2bD.a∥b且|a|＝|b|答案C解析因为向量a|a|的方向与向量a方向相同，向量b|b|的方向与向量b方向相同，且a|a|＝b|b|，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D.当a＝2b时，a|a|＝2b|2b|＝b|b|，故a＝2b是a|a|＝b|b|成立的充分条件.感悟提升平行向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.考向二向量的线性运算角度1平面向量加、减运算的几何意义例2(2023·芜湖调研)如图，等腰梯形ABCD中，AB＝BC＝CD＝3AD，点E为线段CD上靠近C的三等分点，点F为线段BC的中点，则FE→＝()A.－1118AB→＋518AC→B.－1118AB→＋119AC→C.－1118AB→＋49AC→D.－12AB→＋56AC→答案A解析由题图，得FE→＝FC→＋CE→＝12BC→＋13CD→＝12(AC→－AB→)＋13BA→＋23CB→＝12AC→－12AB→＋29AB→－29AC→－13AB→＝－1118AB→＋518AC→.故选A.角度2向量的线性运算例3在△ABC中，BD→＝13BC→，若AB→＝a，AC→＝b，则AD→等于()A.23a＋13bB.13a＋23bC.13a－23bD.23a－13b答案A解析如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点E，F，则四边形AEDF为平行四边形，所以AD→＝AE→＋AF→.因为BD→＝13BC→，所以AE→＝23AB→，AF→＝13AC→，所以AD→＝23AB→＋13AC→＝23a＋13b.角度3利用向量的线性运算求参数例4在△ABC中，AB＝2，BC＝33，∠ABC＝30°，AD为BC边上的高.若AD→＝λAB→＋μAC→，则λ－μ＝________.答案13解析如图.∵AD为BC边上的高，∴AD⊥BC.∵AB＝2，∠ABC＝30°，∴BD＝3＝13BC，∴AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋13BC→＝AB→＋13(AC→－AB→)＝23AB→＋13AC→.又∵AD→＝λAB→＋μAC→，∴λ＝23，μ＝13，故λ－μ＝13.感悟提升平面向量线性运算的常见类型及解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义.(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值.考向三共线向量定理的应用例5(1)(2022·绵阳二诊)已知平面向量a，b不共线，AB→＝4a＋6b，BC→＝－a＋3b，CD→＝a＋3b，则()A.A，B，D三点共线B.A，B，C三点共线C.B，C，D三点共线D.A，C，D三点共线答案D解析对于A，BD→＝BC→＋CD→＝－a＋3b＋(a＋3b)＝6b，与AB→不共线，A不正确；对于B，AB→＝4a＋6b，BC→＝－a＋3b，则AB→与BC→不共线，B不正确；对于C，BC→＝－a＋3b，CD→＝a＋3b，则BC→与CD→不共线，C不正确；对于D，AC→＝AB→＋BC→＝4a＋6b＋(－a＋3b)＝3a＋9b＝3CD→，即AC→∥CD→，又线段AC与CD有公共点C，所以A，C，D三点共线，D正确.故选D.(2)(2023·山西大学附中诊断)如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点，设xAB→＝AM→，yAC→＝AN→，则1x＋1y的值为()A.3B.4C.5D.6答案A解析延长AG交BC于点H(图略)，则H为BC的中点，∵G为△ABC的重心，∴AG→＝23AH→＝23×12(AB→＋AC→)＝13(AB→＋AC→)＝131xAM→＋1yAN→＝13xAM→＋13yAN→.∵M，G，N三点共线，∴13x＋13y＝1，即1x＋1y＝3.故选A.感悟提升利用共线向量定理解题的策略(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线⇔AB→，AC→共线.(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.(4)OA→＝λOB→＋μOC→(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线(O不在直线BC上)，则λ＋μ＝1.考向四等和(高)线定理(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若OP→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1，由△OAB与△OA′B′相似，必存在一个常数k，k∈R，使得OP′→＝kOP→，则OP′→＝kOP→＝kλOA→＋kμOB→，又OP′→＝xOA→＋yOB→(x，y∈R)，∴x＋y＝k(λ＋μ)＝k；反之也成立.(2)平面内一组基底OA→，OB→及任一向量OP′→，OP′→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线.例给定两个长度为1的平面向量OA→和OB→，它们的夹角为120°，如图，点C在以O为圆心的圆弧AB︵上运动，若OC→＝xOA→＋yOB→，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是________.答案2解析法一由已知可设OA为x轴的正半轴，O为坐标原点，建立直角坐标系(图略).其中A(1，0)，B－12，32，C(cosθ，sinθ)，其中∠AOC＝θ，0≤θ≤2π3.则有OC→＝(cosθ，sinθ)＝x(1，0)＋y－12，32，即x－y2＝cosθ，32y＝sinθ，得x＝33sinθ＋cosθ，y＝233sinθ，x＋y＝33sinθ＋cosθ＋233sinθ＝3sinθ＋cosθ＝2sinθ＋π6，其中0≤θ≤2π3，所以(x＋y)max＝2，当且仅当θ＝π3时取得.法二如图，连接AB交OC于点D，设OD→＝tOC→，由于OC→＝xOA→＋yOB→，所以OD→＝t(xOA→＋yOB→).因为D，A，B三点在同一直线上，所以tx＋ty＝1，x＋y＝1t，由于|OD→|＝t|OC→|＝t，当OD⊥AB时t取到最小值12，当点D与点A或点B重合时t取到最大值1，故1≤x＋y≤2.故x＋y的最大值为2.法三(等和线法)连接AB，过C作直线l∥AB，则直线l为以OA→，OB→为基底的平面向量基本定理系数的等和线，显然当l与圆弧相切于C1时，定值最大，因为∠AOB＝120°，所以OC1→＝OA→＋OB→，所以x＋y的最大值为2.基础题型训练一、单选题1．下面给出的关系式中正确的个数是（）①00a；②abba；③22aa；④aabb；⑤222()ababA．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】向量数乘仍是向量，故①错误；由向量数量积的运算律，有②③正确；应用数量积的运算可证明aabb、222()abab不成立，故④⑤错误【详解】①错误，正确的是0?0a，向量数乘结果还是向量.②③正确，根据向量数量积运算可判断得出.④错误，coscosabababab，故abab⑤错误，2222222()(cos)cosabababab综上，正确的个数为2故选：B【点睛】本题考查了向量的运算性质、数量积的运算律，判断正误2．下列结论中，正确的是（）A．2020cm长的有向线段不可能表示单位向量B．若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且仅有两个点A，B，使得,OAOB是单位向量C．方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量不可能是平行向量D．一人从A点向东走500米到达B点，则向量AB不能表示这个人从A点到B点的位移【答案】B【分析】根据单位向量的定义，向量的概念及共线向量的概念，逐项判定，即可求解.【详解】由一个单位长度取作2020cm时，2020cm长的有向线段就表示单位向量，故A错误；根据单位向量的定义，在直线l上有且仅有两个点使得,OAOB为单位长度，所以B正确；方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量是平行的，所以两向量为共线向量，故C错误；根据位移的定义，向量AB表示点A到B点的位移，所以D不正确.故选：B.3．若a＝(1，1)，b＝2，且aba，则a与b的夹角是（）A．6B．4C．3D．2【答案】B【分析】由aba，求得2ab，再利用平面向量的夹角公式求解.【详解】解：因为aba，所以0aba，即20aab，解得2ab，所以22cos,222ababab，因为,0,ab，所以,4ab，故选：B4．若ABC是边长为1的等边三角形，G是边BC的中点，M为线段AG上任意一点，则·BMMG的取值范围是（）A．30,2B．30,4C．3,04D．33,22【答案】C【分析】根据几何关系结合平面向量的线性运算可得12AGABAC，BMBGMG，设,01MGAG，利用平面向量数量积的运算律即可求解.【详解】解：因为ABC为等边三角形，G是边BC的中点，故AGBC,12AGABAC,又M是线段AG上任意一点，故设,01MGAG，因为BGBMMG，所以BMBGMG.故22212BMMGBGMGMGBCMGMGAG,又3,012AG,故223,04AG.故选：C.5．已知向量a，b在正方形网格中的位置如图所示，那么向量ab与b的夹角为（）A．45B．60C．90D．135【答案】D【分析】根据向量的减法法则画出ab，得到一个等腰直角三角形，求其结果即可.【详解】如图，OAa，OBb，则BAab，设最小的小正方形网格长度为1，则10OABA，