专题4.6 正、余弦定理及其应用举例（解析版）

4.6正、余弦定理及其应用举例思维导图知识点总结1.正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理余弦定理正弦定理公式a2＝b2＋c2－2bccos__A；b2＝c2＋a2－2cacos__B；c2＝a2＋b2－2abcos__CasinA＝bsinB＝csinC＝2R常见变形cosA＝b2＋c2－a22bc；cosB＝c2＋a2－b22accosC＝a2＋b2－c22ab(1)a＝2RsinA，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；(2)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinAaba≥baba≤b解的个数一解两解一解一解无解3.三角形常用面积公式(1)S＝12a·ha(ha表示a边上的高).(2)S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA＝abc4R.(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).[常用结论]1.三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sinA＋B2＝cosC2；(4)cosA＋B2＝sinC2.2.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，AB⇔ab⇔sinAsinB⇔cosAcosB.典型例题分析考向一利用正、余弦定理解三角形例1(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝2，A＝30°，则B等于()A.30°B.45°C.30°或150°D.45°或135°答案D解析根据正弦定理asinA＝bsinB，得sinB＝bsinAa＝2×121＝22.由于b＝2＞1＝a，所以B＝45°或B＝135°.(2)(2021·全国甲卷)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝19，AB＝2，则BC＝()A.1B.2C.5D.3答案D解析法一由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，得BC2＋2BC－15＝0，解得BC＝3或BC＝－5(舍去).法二由正弦定理ACsinB＝ABsinC，得sinC＝AB·sinBAC＝5719，从而cosC＝41919(C是锐角)，所以sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝32×41919－12×5719＝35738.又ACsinB＝BCsinA，所以BC＝AC·sinAsinB＝3.(3)(2023·广州模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2cosBcosC·(tanB＋tanC)＝cosBtanB＋cosCtanC，则cosA的最小值是________.答案12解析2cosBcosC(tanB＋tanC)＝2cosBcosCsinBcosB＋sinCcosC＝2sinBcosC＋2sinCcosB＝2sin(B＋C)＝2sinA，又cosBtanB＋cosCtanC＝sinB＋sinC，所以sinB＋sinC＝2sinA，由正弦定理得b＋c＝2a，由余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝b2＋c2－b＋c222bc＝3（b2＋c2）8bc－14≥3bc4bc－14＝12，当且仅当b＝c＝a时取等号，故cosA的最小值为12.感悟提升1.利用正弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边与角；二是已知两边和一边的对角，求其他边与角(该三角形具有不唯一性，常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断).2.利用余弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边与角；二是已知三边求各个角.由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的.考向二判断三角形的形状例2(1)在△ABC中，c－a2c＝sin2B2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为()A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形答案A解析因为sin2B2＝1－cosB2，所以c－a2c＝1－cosB2，即cosB＝ac.法一由余弦定理得a2＋c2－b22ac＝ac，即a2＋c2－b2＝2a2，所以a2＋b2＝c2.所以△ABC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等.法二由正弦定理得cosB＝sinAsinC，又sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，所以cosBsinC＝sinBcosC＋cosBsinC，即sinBcosC＝0，又sinB≠0，所以cosC＝0，又角C为三角形的内角，所以C＝π2，所以△ABC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等.(2)在△ABC中，sinAsinB＝ac，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为________.答案等边三角形解析因为sinAsinB＝ac，所以ab＝ac，所以b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12.因为A∈(0，π)，所以A＝π3，所以△ABC是等边三角形.感悟提升判断三角形形状的两种思路(1)化为边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.(2)化为角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论.考向三与三角形面积(周长)有关的计算例3(2022·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3.已知S1－S2＋S3＝32，sinB＝13.(1)求△ABC的面积；(2)若sinAsinC＝23，求b.解(1)由S1－S2＋S3＝32，得34(a2－b2＋c2)＝32，即a2－b2＋c2＝2，又a2－b2＋c2＝2accosB，所以accosB＝1.由sinB＝13，得cosB＝223或cosB＝－223(舍去)，所以ac＝322＝324，则△ABC的面积S＝12acsinB＝12×324×13＝28.(2)由sinAsinC＝23，ac＝324及正弦定理知b2sin2B＝acsinAsinC＝32423＝94，即b2＝94×19＝14，得b＝12.感悟提升三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.考向四多边形中的解三角形问题例4(2023·烟台一模)如图，四边形ABCD中，AB2＋BC2＋AB·BC＝AC2.(1)若AB＝3BC＝3，求△ABC的面积；(2)若CD＝3BC，∠CAD＝30°，∠BCD＝120°，求∠ACB的值.解(1)在△ABC中，cosB＝AB2＋BC2－AC22AB·BC＝－AB·BC2AB·BC＝－12，因为0°＜B＜180°，所以B＝120°.S△ABC＝12AB·BCsin120°＝12×3×1×32＝334.(2)由(1)知B＝120°，设∠ACB＝θ，则∠ACD＝120°－θ，∠ADC＝30°＋θ，∠BAC＝60°－θ.在△ACD中，由ACsin（30°＋θ）＝CDsin30°，得AC＝sin（30°＋θ）sin30°CD.在△ABC中，由ACsin120°＝BCsin（60°－θ），得AC＝sin120°sin（60°－θ）BC.联立上式，并由CD＝3BC得sin(30°＋θ)sin(60°－θ)＝14，所以sin(60°＋2θ)＝12，由题可知0°＜θ＜60°，所以60°＜60°＋2θ＜180°，所以60°＋2θ＝150°，解得θ＝45°，即∠ACB的值为45°.感悟提升平面几何中解三角形问题的求解思路(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.考向五三角形中的最值、范围问题例5(2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA1＋sinA＝sin2B1＋cos2B.(1)若C＝2π3，求B；(2)求a2＋b2c2的最小值.[思路分析](1)化简条件式，利用C＝2π3消去角A得到角B的三角方程，即可求解.(2)利用条件式得到A，B的关系式，利用正弦定理把a2＋b2c2转化为B的三角函数式，利用基本不等式求其最小值.[规范解答]解(1)因为cosA1＋sinA＝sin2B1＋cos2B，所以cosA1＋sinA＝2sinBcosB1＋2cos2B－1，→化倍角为单角以利于计算所以cosA1＋sinA＝sinBcosB，(2分)所以cosAcosB＝sinB＋sinAsinB，所以cos（A＋B）＝sinB②，(4分)→由cos(A＋B)＝－cosC，角C＝2π3，进而求B所以sinB＝－cosC＝－cos2π3＝12.因为B∈0，π3①，所以B＝π6.(5分)→利用B的范围求B(2)由（1）得cos（A＋B）＝sinB，→利用（1）题的结论所以sinπ2－（A＋B）＝sinB，且0A＋Bπ2，所以0Bπ2，0π2－(A＋B)π2①，→根据B与π2－（A＋B）的范围确定其关系所以π2－(A＋B)＝B，解得A＝π2－2B，(8分)由正弦定理得a2＋b2c2＝sin2A＋sin2Bsin2C→利用正弦定理实现边角互化＝sin2A＋sin2B1－cos2C＝sin2π2－2B＋sin2B1－sin2B②→消去角A以利求解＝cos22B＋sin2Bcos2B＝（2cos2B－1）2＋1－cos2Bcos2B＝4cos4B－5cos2B＋2cos2B＝4cos2B＋2cos2B－5③(10分)→化为基本不等式的形式≥24cos2B·2cos2B－5＝42－5③，当且仅当cos2B＝22时取等号，→验证取等号的条件所以a2＋b2c2的最小值为42－5.(12分)[满分规则]❶得步骤分：①处的实质都是解三角方程，都要注意写清楚角的范围，否则易失步骤分.❷得关键分：②处消去角A是本题得解的关键所在.❸得计算分：③处利用基本不等式求最小的关键是把目标函数化为其适用形式.感悟提升对于解三角形中的证明问题，要仔细观察条件与结论之间的联系，发现二者的差异，利用正弦定理、余弦定理及三角恒等变换把条件转换为结论，即为证明过程.考向六三角函数模型例6(多选)(2023·福州模拟)如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，则()A.点P第一次到达最高点需要20秒B.当水轮转动155秒时，点P距离水面2米C.当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米D.点P距离水面的高度h(米)与t(秒)的函数解析式为h＝4cosπ30t＋π3＋2答案ABC解析设点P距离水面的高度h(米)和时间t(秒)的函数解析式为h＝Asin(ωt＋φ)＋BA＞0，ω＞0，|φ|＜π2，由题意得hmax＝A＋B＝6，hmin＝－A＋B＝－2，T＝2πω＝60，h（0）＝Asin（ω·0＋φ）＋B＝0，解得A＝4，B＝2，ω＝2πT＝π30，φ＝－π6，故h＝4sinπ30t－π6＋2，故D错误；对于A,令h＝6，即h＝4sinπ30t－π6＋2＝6，解得t＝20，故A正确；对于B，令t＝155，代入h＝4sinπ30t－π6＋2，解得h＝2，故B正确；对于C，令t＝50，代入h＝4sinπ30t－π6＋2，解得h＝－2，