专题3.3 导数在函数最值及生活实际中的应用（解析版）

3.3导数在函数最值及生活实际中的应用思维导图知识点总结导数与不等式构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有：(1)直接构造法：证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)；(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如lnx≤x－1，ex≥x＋1，lnx＜x＜ex(x＞0)，xx＋1≤ln(x＋1)≤x(x＞－1)；(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数；(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f(x)和g(x)，利用其最值求解．零点与隐零点问题1．已知函数有零点求参数范围常用的方法(1)分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从f(x)中分离出参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的极值和最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．2．隐零点问题的解题技巧(能够判断其存在但无法直接表示的，称之为“隐零点”)对于隐零点问题，常用代数变形、整体代换、构造函数、不等式应用等技巧．典型例题分析考向一移项作差构造函数证明不等式例1(2021·南昌调研)已知函数f(x)＝1－lnxx，g(x)＝aeex＋1x－bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A处的切线互相垂直．(1)求a，b的值；(2)证明：当x≥1时，f(x)＋g(x)≥2x.解(1)因为f(x)＝1－lnxx，所以f′(x)＝lnx－1x2，f′(1)＝－1.因为g(x)＝aeex＋1x－bx，g′(x)＝－aeex－1x2－b.因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A处的切线互相垂直，所以g(1)＝1，且f′(1)·g′(1)＝－1，从而g(1)＝a＋1－b＝1，且g′(1)＝－a－b－1＝1，解得a＝b＝－1.(2)证明：g(x)＝－eex＋1x＋x，则f(x)＋g(x)≥2x⇔1－lnxx－eex－1x＋x≥0.令h(x)＝1－lnxx－eex－1x＋x(x≥1)，则h(1)＝0，h′(x)＝－1－lnxx2＋eex＋1x2＋1＝lnxx2＋eex＋1.因为x≥1，所以h′(x)＝lnxx2＋eex＋1＞0，h(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以h(x)≥h(1)＝0，即1－lnxx－eex－1x＋x≥0.故当x≥1时，f(x)＋g(x)≥2x.若f(x)与g(x)的最值不易求出，可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数h(x)的单调性或最值证明不等式．考向二单变量不等式恒成立或存在性问题例2已知函数f(x)＝1＋lnxx.(1)若函数f(x)在区间a，a＋12上存在极值，求正实数a的取值范围；(2)如果当x≥1时，不等式f(x)≥kx＋1恒成立，求实数k的取值范围．解(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－1－lnxx2＝－lnxx2，令f′(x)＝0，得x＝1.当x∈(0，1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．所以1为函数f(x)的极大值点，且是唯一的极值点，所以0＜a＜1＜a＋12，故12＜a＜1，即正实数a的取值范围为12，1.(2)当x≥1时，k≤（x＋1）（1＋lnx）x恒成立，令g(x)＝（x＋1）（1＋lnx）x(x≥1)，则g′(x)＝x1＋lnx＋1＋1x－（x＋1）（1＋lnx）x2＝x－lnxx2.令h(x)＝x－lnx(x≥1)，则h′(x)＝1－1x≥0，所以h(x)≥h(1)＝1，所以g′(x)＞0，g(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以g(x)≥g(1)＝2，故k≤2，即实数k的取值范围是(－∞，2].(1)“恒成立”“存在性”问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价转化．(2)构造函数是求范围问题中的一种常用方法，解题过程中尽量采用分离参数的方法，转化为求函数的最值问题．考向三构造双函数例3已知两函数f(x)＝8x2＋16x－m(m∈R)，g(x)＝2x3＋5x2＋4x，若∀x1∈[－3，3]，∃x2∈[－3，3]，恒有f(x1)g(x2)成立，求m的取值范围．解若∀x1∈[－3，3]，∃x2∈[－3，3]，恒有f(x1)g(x2)成立，只需在[－3，3]上，f(x)ming(x)min即可．f(x)＝8x2＋16x－m＝8(x＋1)2－m－8，f(x)min＝f(－1)＝－m－8，g(x)＝2x3＋5x2＋4x，g′(x)＝6x2＋10x＋4＝2(x＋1)(3x＋2)，当x∈[－3，－1)∪－23，3时，g′(x)0，故[－3，－1)与－23，3是g(x)的单调递增区间；当x∈－1，－23时，g′(x)0，故－1，－23是g(x)的单调递减区间．因此g(x)的极小值为g－23＝－2827，又g(－3)＝－21，所以g(x)min＝－21，所以－m－8－21，解得m13.所以m的取值范围为(－∞，13).常见的双变量不等式恒成立问题的类型(1)对于任意的x1∈[a，b]，总存在x2∈[m，n]，使得f(x1)≤g(x2)⇔f(x1)max≤g(x2)max.(2)对于任意的x1∈[a，b]，总存在x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x1)min≥g(x2)min.(3)若存在x1∈[a，b]，对任意的x2∈[m，n]，使得f(x1)≤g(x2)⇔f(x1)min≤g(x2)min.(4)若存在x1∈[a，b]，对任意的x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x1)max≥g(x2)max.(5)对于任意的x1∈[a，b]，x2∈[m，n]，使得f(x1)≤g(x2)⇔f(x1)max≤g(x2)min.(6)对于任意的x1∈[a，b]，x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x1)min≥g(x2)max.考向四判断函数零点(方程根)的个数例4已知函数f(x)＝ex－x－a(a∈R).(1)当a＝0时，求证：f(x)x；(2)讨论函数f(x)在R上的零点个数，并求出相对应的a的取值范围．解(1)证明：当a＝0时，f(x)＝ex－x，令g(x)＝f(x)－x＝ex－x－x＝ex－2x，则g′(x)＝ex－2.令g′(x)＝0，得x＝ln2.当xln2时，g′(x)0，g(x)单调递减；当xln2时，g′(x)0，g(x)单调递增．ln2是g(x)的极小值点，也是最小值点，即g(x)min＝g(ln2)＝eln2－2ln2＝2lne20，故当a＝0时，f(x)x成立．(2)f′(x)＝ex－1，由f′(x)＝0，得x＝0.所以当x0时，f′(x)0，f(x)单调递减；当x0时，f′(x)0，f(x)单调递增．所以0是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，即f(x)min＝f(0)＝1－a.当1－a0，即a1时，f(x)在R上没有零点．当1－a＝0，即a＝1时，f(x)在R上只有一个零点．当1－a0，即a1时，因为f(－a)＝e－a－(－a)－a＝e－a0，所以f(x)在(－∞，0)内只有一个零点．由(1)得ex2x，令x＝a，得ea2a，所以f(a)＝ea－a－a＝ea－2a0，于是f(x)在(0，＋∞)内只有一个零点．因此，当a1时，f(x)在R上有两个零点．综上，当a1时，函数f(x)在R上没有零点；当a＝1时，函数f(x)在R上有一个零点；当a1时，函数f(x)在R上有两个零点．利用导数确定含参函数零点或方程根的个数的常用方法(1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化成确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数．(2)利用零点存在定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．考向五已知函数零点个数求参数问题例5函数f(x)＝ax＋xlnx在x＝1处取得极值．(1)求f(x)的单调区间；(2)若y＝f(x)－m－1在定义域内有两个零点，求实数m的取值范围．解(1)函数f(x)＝ax＋xlnx的定义域为(0，＋∞).f′(x)＝a＋lnx＋1.因为f′(1)＝a＋1＝0，解得a＝－1，则f(x)＝－x＋xlnx，f′(x)＝lnx.令f′(x)0，解得x1；令f′(x)0，解得0x1.所以f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1).(2)y＝f(x)－m－1在(0，＋∞)内有两个零点，可转化为直线y＝m＋1与y＝f(x)的图象有两个不同的交点．由(1)知，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(1)＝－1，当0xe时，f(x)＝x(－1＋lnx)0；当xe时，f(x)0.当x→0时，f(x)→0；当x→＋∞时，显然f(x)→＋∞.由图象可知，－1＜m＋10，即－2＜m－1，所以实数m的取值范围是(－2，－1).利用函数零点求参数范围的方法(1)分离参数(a＝g(x))后，将原问题转化为y＝g(x)的值域(最值)问题或转化为直线y＝a与y＝g(x)的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解．(2)利用零点存在定理构建不等式求解．(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解(客观题常用).考向六可转化为函数零点个数的问题例6已知直线l：y＝x＋1，函数f(x)＝aex.(1)当a＝1，x＞0时，证明：曲线y＝f(x)－12x2在直线l的上方；(2)若直线l与曲线y＝f(x)有两个不同的交点，求实数a的取值范围．解(1)证明：令h(x)＝ex－12x2－x－1，则h′(x)＝ex－x－1，令g(x)＝h′(x)，则g′(x)＝ex－1，当x＞0时，g′(x)＞0，h′(x)为增函数，所以h′(x)＞h′(0)＝0，从而h(x)也为增函数，得h(x)＞h(0)＝0.故ex－12x2＞x＋1，即曲线y＝f(x)－12x2在直线l的上方．(2)令φ(x)＝aex－x－1，则φ′(x)＝aex－1，当a≤0时，令φ′(x)＜0，得φ(x)在R上单调递减，不符合题意；当a＞0时，令φ′(x)＝0，得x＝ln1a，所以φ(x)在－∞，ln1a上为减函数，在ln1a，＋∞上为增函数，由已知函数φ(x)有两个零点，φ(x)min＝φln1a＝－ln1a＜0，得0＜a＜1，此时φ(－1)＝ae＞0，φ(x)在－1，ln1a上有且只有一个零点．由(1)得当x＞0时，φ(x)＞a12x2＋x＋1－x－1＝12ax2＋(a－1)x＋a－1，所以φ2a＞12a2a2＋(a－1)·2a＋a－1＝a＋1＞0.由(1)知，当x＞0时，h′(x)＞0得ex＞x＋1，令x＋1＝t，则lnt＜t－1(t＞1)，所以2a＞1a－1＞ln1a，φ(x)在ln1a，2a上有且只有