专题10.3 二项式定理及其应用(解析版)

10.3二项式定理及其应用思维导图知识点总结1．二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝01C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)；(2)通项：Tk＋1＝02Cknan－kbk，它表示第03k＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C0n，C1n，…，Cnn.2．二项式系数的性质(1)对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数04相等.这一性质可直接由Cmn＝Cn－mn得到．直线r＝n2将函数ƒ(r)＝Crn的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴．(2)增减性与最大值因为Ckn＝nn－1…n－k＋2n－k＋1k－1！k＝Ck－1nn－k＋1k，即CknCk－1n＝n－k＋1k，所以，当n－k＋1k1，即kn＋12时，Ckn随k的增加而增大；由对称性知，当kn＋12时，Ckn随k的增加而减小．当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值．3．各二项式系数和(1)C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝082n；(2)C0n＋C2n＋C4n＋…＝092n－1；(3)C1n＋C3n＋C5n＋…＝102n－1.1．注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题．2．解题时，要注意区别二项式系数和项的系数的不同、项数和项的不同．3．(1＋x)n＝C0n＋C1nx＋…＋Cknxk＋…＋Cnnxn.典型例题分析考向一求展开式中的特定项或特定项系数【例1】(1)(2022·上海奉贤区二模)已知x＋124xn的二项展开式中，前三项系数成等差数列，则n的值为()A．7B．8C．9D．10答案B解析依题意，得x＋124xn的二项展开式的通项为Tk＋1＝Ckn(x)n－k124xk＝12k·，k∈N，k≤n，于是有C0n＋14C2n＝2×12C1n，即1＋nn－18＝n，整理得n2－9n＋8＝0，而n≥2，解得n＝8，所以n的值为8.故选B.(2)(2022·新高考Ⅰ卷)1－yx(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)．答案－28解析展开式中含有x2y6的项为1·C28x2y6－yx·C38x3y5＝－28x2y6.【变式】(2019·浙江高考)在二项式(2＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________.答案1625解析二项展开式的通项为Tk＋1＝Ck9(2)9－kxk，k∈N，0≤k≤9，当为常数项时，k＝0，T1＝C09(2)9x0＝(2)9＝162.当项的系数为有理数时，9－k为偶数，可得k＝1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的个数是5.1．求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路(1)利用通项公式将Tk＋1项写出并化简．(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k.(3)代回通项公式得所求．2.对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．考向二二项展开式中系数的和【例2】若二项式x2－2xn的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为()A．－1B．1C．27D．－27答案A解析由题意，得C0n＋C1n＋…＋Cnn＝2n＝8，即n＝3，所以x2－2x3的展开式的系数之和为(1－2)3＝－1.故选A.赋值法的应用(1)对形如(ax＋b)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1.(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1.(3)一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为12[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展开式中偶数项的系数和为12[g(1)－g(－1)]．【变式】(多选)若(1－2x)2022＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2022x2022(x∈R)，则()A．a0＝1B．a1＋a3＋a5＋…＋a2021＝32021＋12C．a0＋a2＋a4＋…＋a2022＝32022＋12D.a12＋a222＋a323＋…＋a202222022＝－1答案ACD解析由题意知，当x＝0时，a0＝12022＝1，当x＝1时，a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2022＝(－1)2022＝1，当x＝－1时，a0－a1＋a2－a3＋…－a2021＋a2022＝32022，所以a1＋a3＋a5＋…＋a2021＝1－320222，a0＋a2＋a4＋…＋a2022＝32022＋12，a12＋a222＋…＋a202222022＝a1×12＋a2×122＋…＋a2022×122022，当x＝12时，0＝a0＋a1×12＋a2×122＋…＋a2022×122022，所以a1×12＋a2×122＋…＋a2022×122022＝－a0＝－1.故选ACD.考向三二项式系数的最值问题【例3】二项式3x＋13xn的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为()A．3B．5C．6D．7答案D解析根据3x＋13xn的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n＝20，∴3x＋13x20的展开式的通项为Tk＋1＝Ck20(3x)20－k·13xk＝，要使x的指数是整数，需k是3的倍数，∴k＝0,3,6,9,12,15,18，∴x的指数为整数的项共有7个．故选D.求二项式系数最大的项(1)如果n是偶数，那么中间一项第n2＋1项的二项式系数最大．(2)如果n是奇数，那么中间两项第n＋12项与第n＋12＋1项的二项式系数相等并最大．【变式】设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝()A．5B．6C．7D．8答案B解析由题意，得a＝Cm2m，b＝Cm2m＋1，则13Cm2m＝7Cm2m＋1，∴13·2m！m！m！＝7·2m＋1！m！m＋1！，∴72m＋1m＋1＝13，解得m＝6.经检验m＝6为原方程的解．故选B.考向四项的系数的最值问题【例4】(1)若(1＋2x)6的展开式中第二项大于它的相邻两项，则x的取值范围是()A.112，15B．16，15C.112，23D．16，25答案A解析∵C162xC06，C162xC262x2，∴x112，0x15，即112x15.故选A.【变式1】(2021·上海高考)已知(1＋x)n的展开式中，唯有x3的系数最大，则(1＋x)n的系数和为________.答案64解析由题意可知C3nC2n，C3nC4n，∴n！3！n－3！n！2！n－2！，n！3！n－3！n！4！n－4！.∴5n7.又n∈N*，∴n＝6.令x＝1，得(1＋x)6的系数和为26＝64.求展开式中系数最大的项如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用Ak≥Ak－1，Ak≥Ak＋1，从而解出k来．【变式2】已知(3x＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992，则在2x－1x2n的展开式中，二项式系数最大的项为________，系数的绝对值最大的项为________.答案－8064－15360x4解析由题意知，22n－2n＝992，即(2n－32)·(2n＋31)＝0，故2n＝32，解得n＝5.由二项式系数的性质知，2x－1x10的展开式中第6项的二项式系数最大，故二项式系数最大的项为T6＝C510(2x)5·－1x5＝－8064.设第k＋1项的系数的绝对值最大，则Tk＋1＝Ck10·(2x)10－k·－1xk＝(－1)kCk10·210－k·x10－2k，令Ck10·210－k≥Ck－110·210－k＋1，Ck10·210－k≥Ck＋110·210－k－1，得Ck10≥2Ck－110，2Ck10≥Ck＋110，即11－k≥2k，2k＋1≥10－k，解得83≤k≤113，因为k∈Z，所以k＝3.故系数的绝对值最大的项是第4项，T4＝－C310·27·x4＝－15360x4.故二项式系数最大的项为－8064，系数的绝对值最大的项为－15360x4.考向五二项式定理的应用【例5】设a∈Z，且0≤a13，若512022＋a能被13整除，则a＝()A．0B．1C．11D．12答案D解析由于51＝52－1，(52－1)2022＝C02022·522022－C12022522021＋…－C20212022521＋1，又13能整除52，所以只需13能整除1＋a，又0≤a13，a∈Z，所以a＝12.【变式】0.9910的第一位小数为n1，第二位小数为n2，第三位小数为n3，则n1，n2，n3分别为()A．9,0,4B．9,4,0C．9,2,0D．9,0,2答案A解析0.9910＝(1－0.01)10＝C010×110×(－0.01)0＋C110×19×(－0.01)1＋C210×18×(－0.01)2＋…＝1－0.1＋0.0045＋…≈0.9045.故选A.二项式定理应用的题型及解法(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.【变式】9.1－90C110＋902C210－903C310＋…＋(－1)k90kCk10＋…＋9010C1010除以88的余数是()A．－1B．1C．－87D．87答案B解析1－90C110＋902C210－903C310＋…＋(－1)k90kCk10＋…＋9010C1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C110×889＋…＋C910×88＋1.∵前10项均能被88整除，∴余数是1.故选B.基础题型训练一、单选题1．设29229012291111xaaxaxax，0,1,2,,29iai是常数，则1229aaa的值是（）A．2912B．2921C．1D．0【答案】A【分析】利用赋值法求解，先令=1x，求出0a的值，再令0x求出01229aaaa，从而可求出1229aaa的值【详解】解：令=1x，可得2902a，令0x，可得012291aaaa，所以29122912aaa.故选：A.2．12nxnN的展开式中第6项与第7项的二项式系数相等，则n为（）A．10B．11C．12D．13【答案】B【分析】根据二项式系数的定义求解即可.【详解】因为12nxnN的展开式中第6项与第7项的二项式系数相等，所以56CC6nnn，解得11n.故选：B.3．(21)(2)(3)(4)(5)xxxxx的展开式中，含4x项的系数是（）A．28B．28C．29D．29【答案】D【分析】含4x的项由一个括号里的常数项与其它四个括号里的一次项相乘组成，组合即可【详解】由题，含4x的项由一个括号里的常数项与其它四个括号里的一次项相乘组