专题10.2 排列组合问题(解析版)

10.2排列组合问题思维导图知识点总结1．排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列组合作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合2.排列数与组合数(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Amn表示．(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作Cmn.3．排列数、组合数的公式及性质公式(1)Amn＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！n－m！；(2)Cmn＝AmnAmm＝nn－1…n－m＋1m！＝n！m！n－m！(n，m∈N*，且m≤n)性质(1)Ann＝n！；(2)0！＝1；(3)C0n＝1，Cmn＝Cn－mn；(4)Cmn＋Cm－1n＝Cmn＋1解决排列与组合问题的“四项基本原则”(1)特殊优先原则：如果问题中有特殊元素或特殊位置，优先考虑这些特殊元素或特殊位置．(2)先取后排原则：在既有取出又需要对取出的元素进行排列时，要先取后排，即完整地把需要排列的元素取出后，再进行排列．(3)正难则反原则：当直接求解困难时，采用间接法解决问题．(4)先分组后分配原则：在分配问题中如果被分配的元素多于位置，这时要先进行分组，再进行分配．典型例题分析考向一排列与排列数问题【例1】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排一排，女生必须站在一起；(5)全体排一排，男生互不相邻；(6)全体排一排，甲、乙两人中间恰好有3人；(7)全体排一排，甲必须排乙前面；(8)全体排一排，甲不排在最左端，乙不排在最右端．解(1)A57＝2520种方法．(2)A77＝5040种方法．(3)解法一：先排甲，有5种方法，其余6人有A66种方法，故共有5×A66＝3600种方法．解法二：先排排头和排尾有A26种方法，其余位置有A55种排法，故共有A26A55＝3600种方法．(4)将女生看成一个整体，用捆绑法，共有A44A44＝576种方法．(5)先排女生有A44种，再将男生插空有A35种，故共有A44A35＝1440种方法．(6)将甲、乙及中间三人看作一个整体，先排甲、乙有A22种方法，再排中间三人有A35种方法，最后将他们看作一个整体与剩下的2人全排列，有A33种方法，故共有A22A35A33＝720种方法．(7)A77A22＝2520种方法．(8)A77－2A66＋A55＝3720种方法．求解有限制条件排列问题的主要方法直接法分类法选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数分步法选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数捆绑法相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列后的空中定序法对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以已定元素的全排列间接法对于分类过多的问题，一般利用正难则反、等价转化的方法【变式】1.用0,1,2,3,4,5这6个数字，(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？(2)能组成多少个奇数数字互不相邻的六位数(无重复数字)?解(1)符合要求的四位偶数可分为三类：第一类，0在个位时，有A35个；第二类，2在个位时，千位从1,3,4,5中选定1个，有A14种，十位和百位从余下的数字中选，有A24种，于是有A14A24个；第三类，4在个位时，与第二类同理，也有A14A24个．由分类加法计数原理得，共有A35＋2A14A24＝156个．(2)先排0,2,4，再让1,3,5插空，总的排法共A33A34＝144种，其中0在排头，将1,3,5插在后3个空的排法共有A22A33＝12种，此时构不成六位数，故符合要求的六位数的个数为144－12＝132.考向二组合与组合数问题【例2】某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各有一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生当选；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)男生甲和女生乙当选；(5)最多有两名女生当选．解(1)只有一名女生当选即有一名女生和四名男生当选，故共有C15C48＝350种．(2)两队长当选，共有C22C311＝165种．(3)至少有一名队长当选含有两类：只有一名队长当选和有两名队长当选．故共有C12C411＋C22C311＝825种(或采用间接法：C513－C511＝825种)．(4)男生甲和女生乙当选，则需从剩余11人中选3人，有C311＝165种．(5)最多有两名女生当选含有三类：有两名女生当选、只有一名女生当选和没有女生当选．故共有C25C38＋C15C48＋C58＝966种．组合问题的常见类型及求解策略(1)“含有”或“不含有”问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外的元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”问题：用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．【例3】圆周上有10个等分点，以这10个等分点的4个点为顶点构成四边形，其中梯形的个数为()A．10B．20C．40D．60答案D解析如图所示，10点连线中有5条为圆的直径，其每条直径分别有4条弦与之平行，可构成5×(C25－2)＝40个梯形；10点连线中有5组与构成的5条直径不平行的4条平行弦，如A3A5∥A2A6∥A1A7∥A10A8，可构成5×(C24－2)＝20个梯形．由分类加法计数原理可知，共构成40＋20＝60个梯形．故选D.【变式】(多选)在某地实施的新高考改革方案中，选择性考试科目有物理、化学、生物、政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是()A．若任意选科，选法总数为C24B．若化学必选，选法总数为C12C13C．若政治和地理至少选一门，选法总数为C12C12C13D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为C12C12＋1答案BD解析若任意选科，选法总数为C12C24，A错误；若化学必选，选法总数为C12C13，B正确；若政治和地理至少选一门，选法总数为C12(C12C12＋1)，C错误；若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为C12C12＋1，D正确．故选BD.考向三排列组合综合问题【例4】按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方法？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本．解(1)无序不均匀分组问题．先选1本有C16种选法；再从余下的5本中选2本有C25种选法；最后余下3本全选有C33种方法，故共有C16C25C33＝60种．(2)有序不均匀分组问题．由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)的基础上，还应考虑再分配，共有C16C25C33A33＝360种．(3)无序均匀分组问题．共有C26C24C22A33＝15种．(4)在(3)的基础上，还应考虑再分配，共有15A33＝90种．(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本，这是部分均匀分组问题，求出组合总数除以A22即可，共有C46C12C11A22＝15种．(6)在(5)的基础上，还应考虑再分配，共有15A33＝90种．解决分组、分配问题的策略(1)对于整体均分，分组后一定要除以Ann(n为均分的组数)，避免重复计数．(2)对于部分均分，若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！.【变式】(多选)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加某志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，每人安排一项工作，则以下说法错误的是()A．若每项工作不必都有人参加，则不同的方法数为54B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为A45C14C．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是C13C24A33＋C23A33D．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为(C35C12＋C25C23)A33答案ABD解析对于A，安排5人参加4项工作，每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有45种安排方法，故A错误；对于B，根据题意，分2步进行分析：先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有C25A44种安排方法，故B错误；对于C，根据题意，分2种情况讨论：①从丙、丁、戊中选出1人开车，②从丙、丁、戊中选出2人开车，则有C13C24A33＋C23A33种安排方法，C正确；对于D，分2步分析：需要先将5人分为3组，有C35C12A22＋C25C23A22种分组方法，将分好的3组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有A33种情况，则有C35C12A22＋C25C23A22A33种安排方法，D错误．故选ABD.基础题型训练一、单选题1．123414N,15xxxxxxx可表示为（）A．131AxB．141AxC．1314AxD．1414Ax【答案】B【分析】逆用排列数的公式求解.【详解】解：由题意N,15xx.141123414Axxxxxx.故选：B.2．58C（）A．40B．56C．168D．336【答案】B【分析】运用组合数的公式进行求解即可.【详解】588!876C565!85!321，故选：B3．四名志愿者到3个小区开展防诈骗宣传活动，向社区居民普及防诈骗、反诈骗的知识.每名志愿者只去1个小区，每个小区至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有（）A．18种B．30种C．36种D．72种【答案】C【分析】将四名志愿者分成三个组，其中一组为2人，再由排列组合知识求解.【详解】不同的安排方法共有2343CA6636种.故选：C4．某中学招聘5位老师，其中安排2位老师去高一，安排2位老师去高二，安排1位老师去高三，则不同的安排方法数有（）A．30种B．60种C．90种D．120种【答案】A【分析】从5位老师中任取2位去高一，再从余下的3位老师中任取2位去高二即可得解.【详解】完成安排方法数的这件事需要3步：第一步，从5位老师中任取2位去高一有25C种，第二步，从余下的3位老师中任取2位去高二有23C种，第三步，剩下1个人去高三有1种，由分步计数乘法原理知：不同的安排方法数有2253130CC.故选：A5．一名同学有2本不同的数学书，3本不同的物理书，现要将这些书放在一个单层的书架上．如果要将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开，则不同放法的种数为（）A．24B．12C．120D．60【答案】A【分析】根据题意，分3步分析：先将2本不同的数学书看成一个整体，再将3本不同的物理书看成一个整体，最后将两个整体全排列，由分步计数原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，要求不使同类的书分开，即同类的书相邻，先将2本不同的数学书看成一个整体，再将3本不同的物理书看成一个整体，最后将两个整体全排列，有23223224AAA种不