专题1.2 常用逻辑用语（解析版）

专题1.2常用逻辑用语思维导图知识点总结知识点一充分条件、必要条件与充要条件若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且qpp是q的必要不充分条件pq且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件pq且qp知识拓展1．(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件．(2)若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件．2．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；知识点二．全称量词和存在量词(1)全称量词有：所有的、任意一个、任给一个，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个、至少有一个、有些，用符号“∃”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为∀x∈M，p(x).(3)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．“存在M中元素x，使p(x)成立”用符号简记为∃x∈M，p(x).2．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x∈M，否p(x)∃x∈M，p(x)∀x∈M，否p(x)知识拓展1．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．2．常用的正面叙述词语和它的否定词语正面词语等于(＝)大于()小于()是否定词语不等于(≠)不大于(≤)不小于(≥)不是正面词语都是任意的所有的至多有一个至少有一个否定词语不都是某个某些至少有两个一个也没有典型例题分析考向一充分、必要条件的判断例1“x24”是“3x9”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析因为x24⇔x2或x－2,3x9⇔x2，记A＝{x|x2或x－2}，B＝{x|x2}，则BA，所以x24不能推出3x9,3x9能推出x24，所以“x24”是“3x9”的必要不充分条件．故选B.若l，m是两条不同的直线，α是一个平面，l⊥α，则“l⊥m”是“m∥α”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由l⊥α，l⊥m，得m∥α或m⊂α，不满足充分性，由l⊥α，m∥α，得l⊥m，满足必要性，故“l⊥m”是“m∥α”的必要不充分条件．故选B.充分、必要条件的两种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．(2)集合法：根据p，q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断．考向二根据充分、必要条件求参数的范围例2已知关于x的不等式(x－a)(x－3)0成立的一个充分不必要条件是－1x1，则a的取值范围是()A．(－∞，－1]B．(－∞，0)C．[2，＋∞)D．[1，＋∞)答案D解析由题可知(－1,1)是不等式(x－a)(x－3)0的解集的一个真子集．当a＝3时，不等式(x－a)(x－3)0的解集为{x|x≠3}，此时(－1,1){x|x≠3}；当a3时，不等式(x－a)(x－3)0的解集为(－∞，3)∪(a，＋∞)，此时(－1,1)(－∞，3)，符合题意；当a3时，不等式(x－a)(x－3)0的解集为(－∞，a)∪(3，＋∞)，由题意可得(－1,1)(－∞，a)，此时1≤a3.综上所述，a≥1.1．条件、结论的相对性充分条件、必要条件是相对的概念，在进行判断时一定要注意哪个是“条件”，哪个是“结论”．要注意条件与结论间的推出方向．如“A是B的充分不必要条件”是指A⇒B但BA；“A的充分不必要条件是B”是指B⇒A但AB.以上两种说法在充要条件的推理判断中经常出现且容易混淆．2．根据充分、必要条件求解参数范围的方法(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．考向三充要条件的证明与探求例3已知a，b，c均为实数，求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac0.证明(1)充分性：如果ac0，则b2－4ac0且ca0.所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程有一正根和一负根．(2)必要性：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，则Δ＝b2－4ac0，ca0，所以ac0.由(1)(2)知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac0.考向四全称量词命题、存在量词命题真假的判断例4下列命题中的假命题是()A．∀x∈R，x2≥0B．∀x∈R,2x－10C．∃x∈R，lgx1D．∃x∈R，sinx＋cosx＝2答案D解析A显然是真命题；由指数函数的性质知2x－10恒成立，所以B是真命题；当0x10时，lgx1，所以C是真命题；因为sinx＋cosx＝2sinx＋π4，所以－2≤sinx＋cosx≤2，所以D是假命题．故选D.(多选)下列命题为假命题的是()A．∃x∈R，ln(x2＋1)0B．∀x2,2xx2C．∃α，β∈R，sin(α－β)＝sinα－sinβD．∀x∈(0，π)，sinxcosx答案ABD解析∵x2＋1≥1，∴ln(x2＋1)≥0，故A是假命题；当x＝3时，2332，故B是假命题；当α＝β＝0时，sin(α－β)＝sinα－sinβ，故C是真命题；当x＝π6∈(0，π)时，sinx＝12，cosx＝32，sinxcosx，故D是假命题．故选ABD.判断全称量词命题、存在量词命题真假的思路考向五含有量词的命题的否定例5设命题p：任意常数数列都是等比数列，则綈p是()A．所有常数数列都不是等比数列B．有的常数数列不是等比数列C．有的等比数列不是常数数列D．不是常数数列的数列不是等比数列答案B解析全称量词命题的否定是存在量词命题．故綈p是有的常数数列不是等比数列．命题“∃x∈R,1f(x)≤2”的否定形式是()A．∀x∈R,1f(x)≤2B．∃x∈R,1f(x)≤2C．∃x∈R，f(x)≤1或f(x)2D．∀x∈R，f(x)≤1或f(x)2答案D解析存在量词命题的否定是全称量词命题，原命题的否定形式为“∀x∈R，f(x)≤1或f(x)2”．故选D.写出全称量词命题与存在量词命题的否定的步骤(1)准确审题：明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到其量词的位置及相应结论．(2)改写量词：确定命题所含量词的类型，若命题中无量词，则要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．(3)否定结论：对原命题的结论进行否定．基础题型训练一、单选题1．命题“0,e1xxx”的否定为（）A．0,e1xxxB．0,e1xxxC．0,e1xxxD．0,e1xxx【答案】C【分析】根据全称命题的否定判断，即可得到结果.【详解】命题“0,e1xxx”，则其否定为0,e1xxx故选:C.2．命题“21,0xxx”的否定为（）A．21,0xxxB．21,0xxxC．21,0xxxD．21,0xxx【答案】B【解析】由含量词命题否定的定义，写出命题的否定即可．【详解】命题“1x，20xx”的否定是：1x，20xx，故选：B.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关含有一个量词的命题的否定问题，正确解题的关键是要明确全称命题的否定是特称命题，注意表达形式即可.3．已知命题:pxR，0xa（0a且1a），则（）A．:,0xpxRaB．:,0xpxRaC．:,0xpxRaD．:,0xpxRa【答案】D【分析】根据全称命题的否定是特称命题得到答案.【详解】全称命题的否定是特称命题，故:,0xpxRa.故选：D.【点睛】本题考查了全称命题的否定，意在考查学生的推断能力.4．“lnlnab”是“22ab的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据指数函数与对数函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由lnlnab，可得0ab，又由函数2xfx为单调递增函数，可得22ab成立，即充分性是成立的；反之：由22ab，可得ab，例如：2,1ab，此时lnlnab不成立，即必要性是不成立的，所以“lnlnab”是“22ab的充分而不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查了指数函数与对数的性质，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记指数函数与对数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.5．已知命题p：xR，2230axx是真命题，那么实数a的取值范围是（）A．13aB．103aC．13aD．13a【答案】C【解析】由题意可得2230axx对于xR恒成立，讨论0a和0a即可求解.【详解】若命题p：xR，2230axx是真命题，则2230axx对于xR恒成立，当0a时，230x可得：32x不满足对于xR恒成立，所以0a不符合题意；当0a时，需满足04430aa解得13a，所以实数a的取值范围是13a，故选：C【点睛】关键点点睛：对于2230axx对于xR恒成立，需讨论0a和0a，当0a时，结合二次函数图象即可得等价条件.6．下列说法中，正确的是A．命题“若，则”的否命题是假命题B．设为两不同平面，直线，则“”是“”成立的充分不必要条件C．命题“存在”的否定是“对任意”D．已知，则“”是“”的充分不必要条件【答案】B【详解】试题分析：（1）命题“若，则”的逆命题为“若，则”，为真命题，所以原命题的否命题也为真命题，所以A不正确；（2）根据面面垂直的判定定理由可得；但，不一定可得，所以“”是“”成立的充分不必要条件，所以B正确；（3）命题“存在”的否定是“对任意，”．所以C不正确；（4）因为是的真子集，所以“”是“”必要不充分条件．所以D不正确．综上可得B正确．考点：1命题的真假；2充分必要条件．二、多选题7．下列叙述正确的是（）A．2,R,210ababB．R,Rax，使得2axC．已知Rx，则“0x”是“11x”的必要不充分条件D．:8pa；q：对1,3x不等式20xa恒成立，p是q的充分不必要条件【答案】AC【分析】取2a，1b=-可判断A；取0a可判断B；由0xx02xx可判断C；由8aa9aa可判断D.【详解】对于选项A：当2a，1b=-时，不等式成立，故A正确；对于选项B：当0a时，不存在实数x使得不等式成立，故B错误；对于选项C：11x02x，因为0xx02xx，所以“0x”是“11x”的必要不充分条件，故C正确；对于选项D：9qa，因为8aa9aa，所以p是q的必要不充分条件，故D错误.故选：AC.8．下列说法是正确的是（）A．命题“0x，都有sin1x”的否定是“00x，都有0sin1x”B．ABC中，角A、B、C成等差数列的充分条件是3BC．若函数fx满足11fxfx，则函数fx是周期函数D．若31222211mmm，则实数m的取值范围是()1,2-【答案】ABC【解析】由全称命题的否定可判断A选项的正误；利用等差中项的性质以及三角形的内角和定理可判断B选项的正误；推导出2fxfx，可判断C选项的正误；取0m可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，命题“0x，都有sin1x”为全称命题，该命