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10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理思维导图知识点总结1．分类加法计数原理完成一件事有01两类不同的方案．在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝02m＋n种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事需要03两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝04m×n种不同的方法．两个计数原理的区别与联系分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点用来计算完成一件事的方法种数不同点分类、相加分步、相乘每类方案中的每一种方法都每步依次完成才算完成这件能独立完成这件事事(每步中的每一种方法不能独立完成这件事)注意点类类独立，不重不漏步步相依，缺一不可典型例题分析考向一分类加法原理【例1】(1)我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的共有()A．18个B．15个C．12个D．9个答案B解析依题意知，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4,0,0组成的有3个，分别为400,040,004；由3,1,0组成的有6个，分别为310,301,130,103,013,031；由2,2,0组成的有3个，分别为220,202,022；由2,1,1组成的有3个，分别为211,121,112，共3＋6＋3＋3＝15(个)．(2)甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A，B，C三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人．其中甲必须去A社区，乙不去B社区，则不同的安排方法种数为()A．8B．7C．6D．5答案B解析根据题意，分两种情况讨论：①乙和甲一起去A社区，此时将丙、丁二人安排到B，C社区即可，有A22＝2种情况；②乙不去A社区，则乙必须去C社区，若丙、丁都去B社区，有1种情况，若丙、丁中有1人去B社区，则先在丙、丁中选出1人，安排到B社区，剩下1人安排到A或C社区，有2×2＝4种情况，则不同的安排方法种数为2＋1＋4＝7.故选B.【变式】现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数为________.答案12解析若第一门安排在第一天或第五天，则第二门有3种安排方法，这时，共有2×3＝6种方法；若第一门安排在中间的3天中，则第二门有2种安排方法，这时，共有3×2＝6种方法．综上可得，不同的考试安排方案共有6＋6＝12种．使用分类加法计数原理时应注意的三个方面(1)各类方法之间相互独立，每种方法都能完成这件事，且方法总数是各类方法数相加得到的．(2)分类时，首先要在问题的条件之下确定一个分类标准，然后在确定的分类标准下进行分类．(3)完成这件事的任何一种方法必属于某一类，且分别属于不同类的方法都是不同的．考向二分步乘法原理【例2】如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A．24B．18C．12D．9答案B解析分两步，第一步，从E→F，有6条可以选择的最短路径；第二步，从F→G，有3条可以选择的最短路径．由分步乘法计数原理可知有6×3＝18条可以选择的最短路径．故选B.【变式1】某体育彩票规定：从01至36共36个号中选出7个号为一注，每注2元．某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，若这个人把满足这种特殊要求的号买全，要花()A．3360元B．6720元C．4320元D．8640元答案D解析从01至10中选3个连续的号共有8种选法；从11至20中选2个连续的号共有9种选法；从21至30中选1个号有10种选法；从31至36中选1个号有6种选法．由分步乘法计数原理，知共有8×9×10×6＝4320种选法，要花4320×2＝8640元．故选D.【变式2】现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值班，共有5个人，每个人都可以值多天或不值班，但相邻两天不能同一个人值班，则此值班表共有________种不同的排法．答案1280解析完成一件事是安排值班表，因而需一天一天地排，用分步乘法计数原理，分步进行：第一天有5种不同排法，第二天不能与第一天已排的人相同，所以有4种不同排法，依次类推，第三、四、五天都有4种不同排法，所以共有5×4×4×4×4＝1280种不同的排法．利用分步乘法计数原理解题的策略(1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的．(2)将这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成，这是分步的基础，也是关键，从计数上来看，各步的方法数的积就是完成事件的方法总数．考向三加法原理和乘法原理的应用【例3】用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A．243B．252C．261D．279答案B解析由分步乘法计数原理知，用0,1，…，9十个数字组成三位数(可有重复数字)的个数为9×10×10＝900，组成没有重复数字的三位数的个数为9×9×8＝648，则组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.故选B.【变式】从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数字中任取2个不同的数字分别作为一个对数的底数和真数，则所产生的不同对数值的个数为()A．56B．54C．53D．52答案D与几何有关的问题【例4】从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有()A．8种B．12种C．16种D．20种答案B解析正方体共有3组对面互不相邻．与正方体的每组对面相邻的面有4个，所以有3×4＝12种选法．故选B.【变式】如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是()A．60B．48C．36D．24答案B基础题型训练一、单选题1．算盘起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国传统的计算工具：现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记作数字1（如图2中算盘表示整数51）.如果拨动图1算盘中的两枚算珠，则表示的数字大于50的概率为（）A．14B．38C．12D．58【答案】B【分析】根据给定条件分类探求出拨动两枚算珠的结果，从而得到表示不同整数的个数和表示的数字大于50的个数，再根据古典概型概率计算公式即可求解.【详解】拨动图1算盘中的两枚算珠，有两类办法，第一类，只在一个档拨动两枚算珠共有4种方法，表示的数字分别为2,6,20,60；第二类，在每一个档各拨动一枚算珠共有4种方法，表示的数字分别为11,15,51,55，所以表示不同整数的个数为8.其中表示的数字大于50的有51,55,60共3个，所以表示的数字大于50的概率为38.故选：B2．解1道数学题，有两种方法，有2个人只会用第一种方法，有3个人只会用第二种方法，从这5个人中选1个人能解这道题目，则不同的选法共有（）A．4种B．5种C．6种D．9种【答案】B【分析】由分类计数原理计算．【详解】根据分类加法计数原理得：不同的选法共有235（种）.故选：B.3．四名师范生从A，B，C三所学校中任选一所进行实习教学，其中A学校必有师范生去，则不同的选法方案有（）A．65种B．37种C．24种D．12种【答案】A【分析】可从反面考虑，计算A学校没有师范生的种数【详解】若不考虑限制条件，则每位师范生都有3种选择，共有333381种选择．若没人去A学校，则每位师范生都有2种选择，共有222216种选择．故不同的选法方案有811665种．故选：A4．为庆祝中国人民解放军建军90周年，南昌市某校打算组织高一6个班级参加红色旅游活动，旅游点选取了八一南昌起义纪念馆，南昌新四军军部旧址等5个红色旅游景点．若规定每个班级必须参加且只能游览1个景点，每个景点至多有两个班级游览，则这6个班级中没有班级游览新四军军部旧址的不同游览方法数为A．3600B．1080C．1440D．2520【答案】C【分析】根据题意分两种情况讨论：第一种，先将6个班级分成四组，分别为1122，，，，再分配到四个景点，第二种，将6人平均分成三组，再分配到除新四军军部旧址外的四个景点的任意三个景点，分别求出每一种情况的参观方法数，由加法原理计算可得答案【详解】由于每个班级必须参加且只能游览1个景点，且每个景点至多有两个班级游览，因此可以把问题看成是将6个班级分配到除新四军军部旧址外的四个景点或三个景点，可以分两种情况：第一种，先将6个班级分成四组，分别为1122，，，，再分配到四个景点，不同的参观方法数为：221146421422221080CCCCAAA种第二种，将6人平均分成三组，在分配到除新四军军部旧址外的四个景点的任意三个景点，不同的参观方法数为：2223642433360CCCAA种由上可知，不同的参观方法数共有10803601440种故选C【点睛】本题主要考查了排列，组合的实际应用，注意题目中的分类讨论，由不同的情形得到不同的参观方法，继而求出结果．5．已知集合4,1,2,3A，2,1,0,3B．现从集合A中取一个元素作为点P的横坐标，从集合B中取一个元素作为点P的纵坐标，则位于第四象限的点P有（）A．16个B．12个C．9个D．6个【答案】D【分析】根据第四象限点的特征，运用分步乘法计数原理进行求解即可.【详解】因为第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负，所以集合4,1,2,3A中只有1,2,3符合，集合2,1,0,3B中只有2,1符合，所以第四象限的点P有326个，故选：D6．编号为1，2，3的三位学生随意坐入编号为1，2，3的三个座位，每个座位坐一位学生，则三位学生所坐的座位号与学生的编号恰好都不同的概率是（）A．23B．13C．16D．56【答案】B【分析】所有的排列法共有33A6种，用列举法求得满足条件的排列数只有2种，由此可求得满足条件的概率.【详解】编号为1，2，3的三位学生随意坐入编号为1，2，3的三个座位时，1号学生有3种坐法，2号学生有2种坐法，3号学生只有1种坐法，所以一共有6种坐法，其中座位号与学生的编号恰好都不同的坐法只有2种，所以所求的概率2163p.故选：B.二、多选题7．商场某区域的行走路线图可以抽象为一个22的正方体道路网（如图，图中线段均为可行走的通道），甲、乙两人分别从A，B两点出发，随机地选择一条最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达B，A为止，下列说法正确的是（）A．甲从A必须经过1C到达B的方法数共有9种B．甲从A到B的方法数共有180种C．甲、乙两人在2C处相遇的概率为425D．甲、乙两人相遇的概率为1150【答案】ACD【分析】利用组合计数原理结合分步乘法计数原理可判断A选项；分析可知从点A到点B，一共要走6步，其中向上2步，向前2步，向右2步，结合分步乘法计数原理可判断B选项；利用古典概型的概率公式可判断C选项；找出两人相遇的位置，求出两人相遇的概率，可判断D选项．【详解】对于A，从点A到点1C，需要向上走2步，向前走1步，从点1C到点B，需要向右走2步，向前走1步，所以，甲从A必须经过1C到达B的方法数为2233CC9种，A正确；对于B,从点A到点B，一共要走6步，其中向上2步，向前2步，向右2步，所以，甲从A到B的方法数为222642CCC90种，B错误；对于C，甲从点A运动到点2C，需要向上、前、右各走一步，再从点2C运动到点B，也需要向上、前、右各走一步，所以，甲从点A运动到点B，且经过点2C，不同的走法种数为3333AA36种，乙从点B运动到点A，且经过点2C，不同的走法种数也为36种，所以，甲、乙两人在2C处相遇的概率为36364909025，C正确；对于D，若甲、乙两人相遇，则甲、乙两人只