专题1.1 集合的概念与运算（解析版）

专题1.1集合的概念与运算思维导图知识点总结1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.(4)常用数集及记法名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法NN*或N＋ZQR2.集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集.记作A⊆B(或B⊇A).(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集.(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪BA∩B若全集为U，则集合A的补集为∁UA图形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}4.集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.常用结论1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB.4.∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB).典型例题分析考向一集合的基本概念典例一1.已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为()A.2B.3C.4D.6答案C解析A∩B＝{(x，y)|x＋y＝8，x，y∈N*，且y≥x}＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}.2.设集合A＝{－1，0，1，2，3，4}，B＝{x|x∈A且2x∈A}，则集合B为________.答案{0，1，2}解析由题意知，∵0∈A且2×0∈A，1∈A且2×1∈A，2∈A且2×2∈A，故B＝{0，1，2}.3.设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝0，ba，b，则a2023＋b2024＝________.答案0解析由题意知a≠0，因为{1，a＋b，a}＝0，ba，b.所以a＋b＝0，则ba＝－1，所以a＝－1，b＝1.故a2023＋b2024＝－1＋1＝0.感悟提升1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.考点二集合间的基本关系典例二1.已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，集合B＝{x||x－1|≤3}，集合C＝x|x－4x＋5≤0，则集合A，B，C的关系为()A.B⊆AB.A＝BC.C⊆BD.A⊆C答案D解析因为x2－2x－3≤0，即(x－3)·(x＋1)≤0，所以－1≤x≤3，则A＝[－1，3]；又|x－1|≤3，即－3≤x－1≤3，所以－2≤x≤4，则B＝[－2，4]；因为x－4x＋5≤0，所以－5＜x≤4，则C＝(－5，4]，所以A⊆B，A⊆C，B⊆C.故选D.2.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________.答案(－∞，3]解析∵B⊆A，∴若B＝∅，则2m－1＜m＋1，解得m＜2；若B≠∅，则2m－1≥m＋1，m＋1≥－2，2m－1≤5，解得2≤m≤3.故实数m的取值范围为(－∞，3].感悟提升1.若B⊆A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论.2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而求得参数范围.注意合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论.求得参数后，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解.考向三集合间的基本运算典例31.已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝()A.∅B.SC.TD.Z答案C解析法一在集合T中，令n＝k(k∈Z)，则t＝4n＋1＝2(2k)＋1(k∈Z)，而集合S中，s＝2n＋1(n∈Z)，所以必有T⊆S，所以S∩T＝T，故选C.法二S＝{…，－3，－1，1，3，5，…}，T＝{…，－3，1，5，…}，观察可知，T⊆S，所以S∩T＝T，故选C.2.设全集为R，集合A＝{y|y＝2x，x＜1}，B＝{x|y＝x2－1}，则A∩(∁RB)＝()A.{x|－1＜x＜2}B.{x|0＜x＜1}C.∅D.{x|0＜x＜2}答案B解析由题意知A＝{y|0＜y＜2}，B＝{x|x≤－1或x≥1}，所以∁RB＝{x|－1＜x＜1}，所以A∩(∁RB)＝{x|0＜x＜1}，故选B.3.集合M＝{x|2x2－x－1＜0}，N＝{x|2x＋a＞0}，U＝R.若M∩(∁UN)＝∅，则a的取值范围是()A.(1，＋∞)B.[1，＋∞)C.(－∞，1)D.(－∞，1]答案B解析易得M＝{x|2x2－x－1＜0}＝x|－12＜x＜1.∵N＝{x|2x＋a＞0}＝x|x＞－a2，∴∁UN＝x|x≤－a2.由M∩(∁UN)＝∅，则－a2≤－12，得a≥1.感悟提升1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.2.数形结合思想的应用：(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.考向四Venn图的应用在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数.典例四1.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A.62%B.56%C.46%D.42%答案C解析用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占比例之间的关系如图，设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x，则(60%－x)＋(82%－x)＋x＝96%，解得x＝46%.故选C.2.某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人.答案8解析设参加数学、物理、化学小组的人构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图.由全班共36名同学可得(26－6－x)＋6＋(15－4－6)＋基础题型训练一、单选题1．已知集合1,0,1,2A，{|12}Bxx，则AB（）A．0,1B．1,1C．1,0,1D．0,1,2【答案】A【分析】根据交集的定义计算可得．【详解】解：1,0,1,2A，{|12}Bxx，0,1AB．故选：A．2．已知集合2Axyx，Bxxa，若AB，则a的取值范围为（）A．2aB．2aC．0aD．0a【答案】A【分析】先根据定义域求出2Axx，由AB得到a的取值范围.【详解】由题意得20x，解得2x，故2Axx，因为AB，所以2a.故选：A3．设集合{0,1}M，{|1}NxZx，则（）A．MNB．{|1}MNxxC．{1}MND．MNM【答案】D【分析】利用并集和交集的定义对选项求解判断即可【详解】∵{0,1}M，集合{|1}NxZx表示小于等于1的所有整数，∴MNM，MNN.故选D【点睛】本题考查了并集和交集的定义与计算问题，属于基础题．4．已知集合1,2,3,4,5,6A,2{|30}Bxxx,则ABA．0,3B．1,3C．0,1,2,3D．1,2,3【答案】D【分析】解不等式求出集合B，然后再求出AB即可．【详解】由题意得2{|30}|03Bxxxxx，所以AB=1,2,3．故选D．【点睛】本题考查集合的交集运算，解题的关键是正确求出集合B，属于简单题．5．设关于x的不等式223123xxmx的解集为A，且1A，1A，则实数m的取值范围是（）A．17,33B．17,33C．17,133D．17,33【答案】B【分析】由题意结合元素与集合的关系可得321m、325m，解不等式即可得解.【详解】由1A，得2(1)2131213m，即321m，解得1m或13m；由1A，得212131213m，即325m，解得713m；所以实数m的取值范围是17,33.故选：B.【点睛】本题考查了通过元素与集合的关系求参数的取值范围，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于基础题.6．对于集合A，B，“AB”不成立的含义是()A．B是A的子集B．A中的元素都不是B的元素C．A中至少有一个元素不属于BD．B中至少有一个元素不属于A【答案】C【分析】根据子集的定义可知，“AB”不成立即A中至少有一个元素不在集合B中.【详解】“AB”成立的含义是集合A中的任何一个元素都是B的元素，不成立的含义是A中至少有一个元素不属于B，故选C．【点睛】本题考查集合的包含关系，考查命题的否定，属于基础题．二、多选题7．下列关系式正确的为（）A．00B．0C．,,abbaD．0【答案】CD【分析】根据元素与集合、集合与集合间的关系判断.【详解】对于A.元素与集合间是属于与不属于的关系，故A错误；对于B.{0}含有一个元素0，不是空集，故B错误；对于C.集合的元素具有无序性，以及任何集合都是它本身的子集，故C正确；对于D.空集是任何集合的子集，故D正确.故选：CD．8．（多选）若集合31Mxx，3Nxx，则集合{3xx或1}x（）A．MNB．RMðC．RMNðD．RMNð【答案】BC【分析】根据选项分别求解，再判断.【详解】因为集合31Mxx，3Nxx，所以31MNxx，3MNxx，{3RMxxð或1}x，所以{3RMNxxð或1}x，3RMNxxð.故选：BC三、填空题9．已知实数集合1,2,3,x的最大元素等于该集合的所有元素之和，则x__________．【答案】-3【分析】根据题意求元素的关系．【详解】解：因为实数集合1,2,3,x的最大元素等于该集合的所有元素之和，所以123xx（无解）或者1233x，解得：3x．故答案为：-3．【点睛】本题考查集合元素的关系，属于基础题．10．设全集UR，集合02Mxx，10Nxx，则图中阴影部分表示的集合为___________.【答案】12xx【分析】化简集合N，并求出N的补集，写出韦恩图的阴影部分表示的集合并求解即得.【详解】依题意，1Nxx，则1RNxxð，而02Mxx，又韦恩图表示的集合为()RMNð，于是得()12RMNxxð，所以图中阴影部分表示的集合为12xx.故答案为：