专题16 妙解离心率问题（12大核心考点）（讲义）（解析版）

专题16妙解离心率问题【目录】...............................................................................................................................................2................................................................................................................................................3...............................................................................................................................................4...............................................................................................................................................4.............................................................................................................................................12考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题..........................................................................12考点二：焦点三角形顶角范围与离心率................................................................................................................16考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题....................................................................................................................18考点四：椭圆与双曲线的4a通径体.....................................................................................................................21考点五：椭圆与双曲线的4a直角体.....................................................................................................................24考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题............................................................................................................26考点七：双曲线的4a底边等腰三角形..................................................................................................................28考点八：焦点到渐近线距离为b............................................................................................................................31考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形....................................................................................................36考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题.................................................................................................38考点十一：渐近线平行线与面积问题....................................................................................................................41考点十二：数形结合转化长度角度.......................................................................................................................44求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题，多以选择、填空题的形式考查，难度中等．考点要求考题统计考情分析离心率2023年新高考I卷第5、16题，10分2023年甲卷第9题，5分2022年甲卷第10题，5分2022年浙江卷第16题，4分2021年甲卷第5题，5分2021年天津卷第8题，5分离心率问题一直是高考每年必考，对圆锥曲线概念和几何性质的考查为主，一般不会出太难，二轮复习我们需要掌握一些基本的性质和常规的处理方法，挖掘椭圆双曲线的几何性质下手．求离心率范围的方法一、建立不等式法：1、利用曲线的范围建立不等关系．2、利用线段长度的大小建立不等关系．12,FF为椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点，P为椭圆上的任意一点，1,PFacac；12,FF为双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点，P为双曲线上的任一点，1PFca．3、利用角度长度的大小建立不等关系．12,FF为椭圆22221xyab的左、右焦点，P为椭圆上的动点，若12FPF，则椭圆离心率e的取值范围为sin12e．4、利用题目不等关系建立不等关系．5、利用判别式建立不等关系．6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．7、利用基本不等式，建立不等关系．1．（2023•新高考Ⅰ）设椭圆2212:1(1)xCyaa，222:14xCy的离心率分别为1e，2e．若213ee，则(a)A．233B．2C．3D．6【答案】A【解析】由椭圆222:14xCy可得22a，21b，2413c，椭圆2C的离心率为232e，213ee，112e，1112ca，222221111144()4(1)acaba，233a或233a（舍去）．故选：A．2．（2023•甲卷）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的离心率为5，C的一条渐近线与圆22(2)(3)1xy交于A，B两点，则||(AB)A．55B．255C．355D．455【答案】D【解析】双曲线2222:1(0,0)xyCabab的离心率为5，可得5ca，所以2ba，所以双曲线的渐近线方程为：2yx，一条渐近线与圆22(2)(3)1xy交于A，B两点，圆的圆心(2,3)，半径为1，圆的圆心到直线2yx的距离为：|43|1145，所以145||2155AB．故选：D．3．（2022•甲卷）椭圆2222:1(0)xyCabab的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为14，则C的离心率为()A．32B．22C．12D．13【答案】A【解析】已知(,0)Aa，设0(Px，0)y，则0(Qx，0)y，00APykxa，00AQykax，故20002200014APAQyyykkxaaxax①，2200221xyab，即2222002()baxya②，②代入①整理得：2214ba，22312cbeaa．故选：A．4．（2021•甲卷）已知1F，2F是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且1260FPF，12||3||PFPF，则C的离心率为()A．7B．13C．72D．132【答案】C【解析】设1||PFm，2||PFn，则根据题意及余弦定理可得：22231422mnmncmn，解得6727mcnc，所求离心率为22274227cccamnc．故选：C．5．（2021•天津）已知双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点与抛物线22(0)ypxp的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C，D两点，若||2||CDAB，则双曲线的离心率为()A．2B．3C．2D．3【答案】A【解析】解由题意可得抛物线的准线方程为2px，由题意可得：2pc，渐近线的方程为：byxa，可得2(,)bAca，2(,)bBca，(,)bcCca，(,)bcDca，所以22||bABa，2||bcCDa，由||2||CDAB，解得：2cb，即ab，所以双曲线的离心率2cea．故选：A．6．（2022•甲卷）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为13，1A，2A分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若121BABA，则C的方程为()A．2211816xyB．22198xyC．22132xyD．2212xy【答案】B【解析】由椭圆的离心率可设椭圆方程为22221(0)98xymmm，则12(3,0),(3,0),(0,22)AmAmBm，由平面向量数量积的运算法则可得：2212(3,22)(3,22)981BABAmmmmmm，21m，则椭圆方程为22198xy．故选：B．7．（2022•全国）若双曲线2222:1(0,0)xyCabab的一条渐近线与直线21yx垂直，则C的离心率为()A．5B．5C．54D．52【答案】D【解析】由双曲线2222:1(0,0)xyCabab的方程可得渐近线方程为byxa，由题意可得12ba，所以双曲线的离心率22151142cbeaa，故选：D．8．（多选题）（2022•乙卷）双曲线C的两个焦点为1F，2F，以C的实轴为直径的圆记为D，过1F作D的切线与C交于M，N两点，且123cos5FNF，则C的离心率为()A．52B．32C．132D．172【答案】AC【解析】当直线与双曲线交于两支时，设双曲线的方程为22221(0,0)xyabab，设过1F的切线与圆222:Dxya相切于点P，则||OPa，1OPPF，又1||OFc，所以222211PFOFOPcab，过点2F作2FQMN于点Q，所以2//OPFQ，又O为12FF的中点，所以11||2||2FQPFb，2||2||2QFOPa，因为123cos5FNF，122FNF，所以124sin5FNF，所以22125||sin2QFaNFFNF，则2123||||cos2aNQNFFNF，所以113||||||22aNFNQFQb，由双曲线的定义可知12||||2NFNFa