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专题15立体几何解答题全归类【目录】...............................................................................................................................................2................................................................................................................................................3...............................................................................................................................................3...............................................................................................................................................4.............................................................................................................................................14考点一：非常规空间几何体为载体.......................................................................................................................14考点二：立体几何探索性问题...............................................................................................................................20考点三：立体几何折叠问题...................................................................................................................................24考点四：立体几何作图问题...................................................................................................................................29考点五：立体几何建系繁琐问题...........................................................................................................................34考点六：两角相等（构造全等）的立体几何问题.................................................................................................41考点七：利用传统方法找几何关系建系................................................................................................................45考点八：空间中的点不好求...................................................................................................................................51考点九：创新定义..................................................................................................................................................58空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，是常考的重点，立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个空间几何体为依托，分步设问，逐层加深．解决这类题目的原则是建系求点、坐标运算、几何结论．作为求解空间角的有力工具，通常在解答题中进行考查，属于中等难度．考点要求考题统计考情分析线线角、二面角、线面角2023年II卷第20题，12分2023年北京卷第16题，13分2022年I卷第19题，12分2021年II卷第19题，12分【命题预测】预测2024年高考，多以解答题形式出现，高考仍将重点考查空间向量与立体几何，距离问题，异面直线夹角、线面角、二面角；解答题第一小题重点考查线线、线面、面面垂直的判定与性质，第二小问重点考查利用向量计算线面角或二面角，难度为中档题．距离问题2023年天津卷第17题，15分体积问题2023年乙卷第19题，12分2022年乙卷第18题，12分2021年上海卷第17题，14分探索性问题2023年I卷第18题，12分2021年甲卷第19题，12分2021年I卷第20题，12分2021年北京卷第17题，14分1、用综合法求空间角的基本数学思想主要是转化与化归，即把空间角转化为平面角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得．求解的一般步骤为：（1）作图：作出空间角的平面角．（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的．（3）计算：在证明的基础上计算得出结果．简称：一作、二证、三算．2、用定义作异面直线所成角的方法是“平移转化法”，可固定一条，平移另一条；或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上．3、求直线与平面所成角的常见方法（1）作角法：作出斜线、垂线、斜线在平面上的射影组成的直角三角形，根据条件求出斜线与射影所成的角即为所求．（2）等积法：公式sinhl，其中是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可构造三棱锥，利用等体积法来求垂线段的长．（3）证垂法：通过证明线面垂直得到线面角为90°．4、作二面角的平面角常有三种方法（1）棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角．（2）面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角．（3）空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角．1．（2023•北京）如图，四面体PABC中，1PAABBC，3PC，PA平面ABC．（Ⅰ）求证：BC平面PAB；（Ⅱ）求二面角APCB的大小．【解析】证明：（Ⅰ）PA平面ABC，AC平面ABC，BC平面ABC，PAAC，PABC，1PA，3PC，22312ACPCPA，又1ABBC，222ACABBC，BCAB，又PAABA，BC平面PAB；（Ⅱ）以点B为坐标原点，分别以BA，BC所在直线为x轴，y轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：则(0A，1，0)，(0B，0，0)，(1C，0，0)，(0P，1，1)，(0AP，0，1)，(1AC，1，0)，(0BP，1，1)，(1BC，0，0)，设平面APC的一个法向量为(nx，y，)z，则00APnzACnxy，取1x，得(1n，1，0)，设平面BPC的一个法向量为(ma，b，)c，则00BPmbcBCma，取1b，得(0m，1，1)，cosm，11||||222mnnmn，由图可知二面角APCB为锐角，设二面角APCB的大小为，则cos|cosm，1|2n，3，即二面角APCB的大小为3．2．（2023•天津）在三棱台111ABCABC中，若1AA平面ABC，ABAC，12ABACAA，111AC，M，N分别为BC，AB中点．（Ⅰ）求证：1//AN平面1CMA；（Ⅱ）求平面1CMA与平面11ACCA所成角的余弦值；（Ⅲ）求点C到平面1CMA的距离．【解析】（Ⅰ）证明：连接MN，可得MN为△AC的中位线，可得//MNAC，且112MNAC，而111AC，11//ACAC，则11//MNAC，11MNAC，可得四边形11MNAC为平行四边形，则11//ANCM，而1AN平面1CMA，1CM平面1CMA，所以1//AN平面1CMA；（Ⅱ）取AC的中点H，连接MH，由ABAC，//MHAB，可得MHAC．由1AA平面ABC，MH平面ABC，可得1AAMH，可得MH平面11AACC．过H作1HDAC，垂足为D，连接DM，由三垂线定理可得1DMAC，可得MDH为平面1CMA与平面11ACCA所成角．由112MHAB．在矩形11AHCA中，11122555AHHCDHAC，所以2525cos3415DHMDHDM；（Ⅲ）设C到平面1CMA的距离为d．在△1CMA中，1122AMAC，1145AC，1145MC，则111325222CMAS．由11CCMACCMAVV，可得1111311122213323323CMACMAdSdCHS，解得43d．3．（2022•新高考Ⅰ）如图，直三棱柱111ABCABC的体积为4，△1ABC的面积为22．（1）求A到平面1ABC的距离；（2）设D为1AC的中点，1AAAB，平面1ABC平面11ABBA，求二面角ABDC的正弦值．【解析】（1）由直三棱柱111ABCABC的体积为4，可得11111433AABCABCABCVV，设A到平面1ABC的距离为d，由11AABCAABCVV，11433ABCSd，142233d，解得2d．（2）连接1AB交1AB于点E，1AAAB，四边形11ABBA为正方形，11ABAB，又平面1ABC平面11ABBA，平面1ABC平面111ABBAAB，1AB平面1ABC，1ABBC，由直三棱柱111ABCABC知1BB平面ABC，1BBBC，又111ABBBB，BC平面11ABBA，BCAB，以B为坐标原点，BC，BA，1BB所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，1AAAB，12222BCAB，又1142ABBCAA，解得12ABBCAA，则(0B，0，0)，(0A，2，0)，(2C，0，0)，1(0A，2，2)，(1D，1，1)，则(0BA，2，0)，(1BD，1，1)，(2BC，0，0)，设平面ABD的一个法向量为(nx，y，)z，则200nBAynBDxyz，令1x，则0y，1z，平面ABD的一个法向量为(1n，0，1)，设平面BCD的一个法向量为(ma，b，)c，200mBCamBDabc