专题08 活用三角函数的图象与性质（6大核心考点）（讲义）（解析版）

专题08活用三角函数的图象与性质【目录】...................................................................................................................................1....................................................................................................................................2...................................................................................................................................3...................................................................................................................................4.................................................................................................................................17考点一：齐次化模型................................................................................................................................17考点二：辅助角与最值问题.....................................................................................................................18考点三：整体代换与二次函数模型..........................................................................................................21考点四：绝对值与三角函数综合模型.......................................................................................................23考点五：w的取值与范围问题..................................................................................................................27考点六：三角函数的综合性质..................................................................................................................36三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：1、三角函数的图象，涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；2、利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查.3、三角恒等变换的求值、化简是高考命题的热点，常与三角函数的图象、性质结合在一起综合考查，如果单独命题，多用选择、填空题中呈现，难度较低；如果三角恒等变换作为工具，将其与三角函数及解三角形相结合求解最值、范围问题，多以解答题为主，中等难度．考点要求考题统计考情分析同角三角函数基本关系式2023年甲卷第7题，5分2023年乙卷第14题，5分2021年I卷第6题，5分【命题预测】2024年高考将重点考查：①同角三角函数基本关系及诱导公式，同时要注意三角函数定义的复习，题型仍为选择题或填空题，难度为基础题或中档题．②三角恒等变换，同时要注意公式的变形及应用，以及最值问题，题型仍为选择题或填空题，难度为基础题或中档题．③三角函数的图像与性质及三角函数变换，特别是这些知识点的组合考查是考查的热点，题型仍为选择题或填空题，难度可以为基础题或中档题，也可以是压轴题．三角恒等变换2023年II卷第7题，5分2023年I卷第8题，5分2022年II卷第6题，5分2022年浙江卷第13题，6分2021年甲卷第9题，5分三角函数的图像与性质2023年天津卷第5题，5分2023年甲卷第10题，5分2023年乙卷第6题，5分2023年I卷第15题，5分2023年II卷第16题，5分1、三角函数图象的变换（1）将sinyx的图象变换为sin()yAx(0,0)A的图象主要有如下两种方法：（2）平移变换函数图象的平移法则是“左加右减、上加下减”，但是左右平移变换只是针对x作的变换；（3）伸缩变换①沿x轴伸缩时，横坐标x伸长(01)或缩短(1)为原来的1（倍）（纵坐标y不变）；②沿y轴伸缩时，纵坐标y伸长(1)A或缩短(01)A为原来的A（倍）（横坐标x不变）．（4）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移．2、三角函数的单调性（1）三角函数的单调区间sinyx的单调递增区间是2,2()22kkkZ，单调递减区间是32,2()22kkkZ；cosyx的单调递增区间是[2,2]()kkkZ，单调递减区间是[2,2]()kkkZ；tanyx的单调递增区间是,()22kkkZ．（2）三角函数的单调性有时也要结合具体的函数图象如结合|sin|yx，sin||yx，|cos|yx，cos||cosyxx的图象进行判断会很快得到正确答案．3、求三角函数最值的基本思路（1）将问题化为sin()yAxB的形式，结合三角函数的图象和性质求解.（2）将问题化为关于sinx或cosx的二次函数的形式，借助二次函数的图象和性质求解.（3）利用导数判断单调性从而求解.4、对称性及周期性常用结论（1）对称与周期的关系正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期.（2）与三角函数的奇偶性相关的结论若sin()yAx为偶函数，则有()2kkZ；若为奇函数，则有()kkZ.若cos()yAx为偶函数，则有()kkZ；若为奇函数，则有()2kkZ.若tan()yAx为奇函数，则有()kkZ．5、已知三角函数的单调区间求参数取值范刪的三种方法（1）子集法：求出原函数相应的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式（组）求解．（2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正弦、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式（组）求解．（3）周期性：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14个周期列不等式（组）求解.1．（2023•甲卷）“22sinsin1”是“sincos0”的()A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件【答案】B【解析】22sinsin1，可知sincos，可得sincos0，所以“22sinsin1”是“sincos0”的必要不充分条件，故选：B．2．（2023•新高考Ⅱ）已知为锐角，15cos4，则sin(2)A．358B．158C．354D．154【答案】D【解析】15cos4，则2cos122sin，故23521cos24sin，即222235(5)125(51)281616sin，为锐角，sin02，15sin24．故选：D．3．（2023•新高考Ⅰ）已知1sin()3，1cossin6，则cos(22)()A．79B．19C．19D．79【答案】B【解析】因为1sin()sincossincos3，1cossin6，所以1sincos2，所以112sin()sincossincos263，则241cos(22)12sin()1299．故选：B．4．（2022•新高考Ⅱ）若sin()cos()22cos()sin4，则()A．tan()1B．tan()1C．tan()1D．tan()1【答案】C【解析】解法一：因为sin()cos()22cos()sin4，所以2sin()22cos()sin44，即sin()2cos()sin44，所以sin()cossincos()2cos()sin444，所以sin()cossincos()044，所以sin()04，所以4k，kZ，所以4k，所以tan()1．解法二：由题意可得，sincoscossincoscossinsin2(cossin)sin，即sincoscossincoscossinsin0，所以sin()cos()0，故tan()1．故选：C．5．（2023•天津）已知函数()fx的一条对称轴为直线2x，一个周期为4，则()fx的解析式可能为()A．sin()2xB．cos()2xC．sin()4xD．cos()4x【答案】B【解析】A：若()sin()2fxx，则242T，令22xk，kZ，则12xk，kZ，显然2x不是对称轴，不符合题意；B：若()cos()2fxx，则242T，令2xk，kZ，则2xk，kZ，故2x是一条对称轴，B符合题意；:()sin()4Cfxx，则284T，不符合题意；:()cos()4Dfxx，则284T，不符合题意．故选：B．6．（2023•甲卷）已知()fx为函数cos(2)6yx向左平移6个单位所得函数，则()yfx与1122yx的交点个数为()A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】把函数cos(2)6yx向左平移6个单位可得函数()cos(2)sin22fxxx的图象，而直线111(1)222yxx经过点(1,0)，且斜率为12，且直线还经过点3(4，34)8、(4，4)8，34018，4108，如图，故()yfx与1122yx的交点个数为3．故选：C．7．（2023•乙卷）已知函数()sin()fxx在区间(6，2)3单调递增，直线6x和23x为函数()yfx的图像的两条对称轴，则5()(12f)A．32B．12C．12D．32【答案】D【解析】根据题意可知22362T，T，取0，22T，又根据“五点法“可得2