专题02 不等式与复数(6大核心考点)(讲义)(解析版)

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专题02不等式与复数【目录】...............................................................................................................................................1................................................................................................................................................2...............................................................................................................................................2...............................................................................................................................................4.............................................................................................................................................10考点一:基本不等式二元式...................................................................................................................................10考点二:和式与积式..............................................................................................................................................12考点三:柯西不等式二元式...................................................................................................................................15考点四:齐次化与不等式最值...............................................................................................................................17考点五:复数的四则运算......................................................................................................................................20考点六:复数的几何意义......................................................................................................................................22有关不等式的高考试题,是历年高考重点考查的知识点之一,其应用范围涉及高中数学的很多章节,且常考常新,但考查内容却无外乎大小判断、求最值和求最值范围等问题,考试形式多以一道选择题为主,分值5分.复数的代数运算、代数表示及其几何意义是高考的必考内容,题型多为选择题或填空题,分值5分,考题难度为低档.考点要求考题统计考情分析基本不等式2023年上海卷第6题,4分2022年上海卷第14题,5分2022年新高考II卷第12题,5分2021年上海卷第16题,5分2023年天津卷第13题,5分【命题预测】预测2024年高考,多以小题形式出现,不等式在高考中主要考查基本不等式求最值、大小判断,求取值范围问题;预测2024年高考仍将以复数的基本概念以及复数的代数运算为主要考点,其中复数的除法运算、共轭复数及复数的几何意义是最可能出现的命题角度!复数的四则运算2023年新高考I卷第2题,5分2023年新高考甲卷第2题,5分2023年新高考乙卷第1题,5分2022年新高考II卷第2题,5分复数的几何意义2023年新高考II卷第1题,5分2023年上海卷第11题,5分2022年新高考乙卷第2题,5分1、几个重要的不等式(1)20,00,0.aaRaaaaR(2)基本不等式:如果,abR,则2abab(当且仅当“ab”时取“”).特例:10,2;2abaaaba(,ab同号).(3)其他变形:①2222abab(沟通两和ab与两平方和22ab的不等关系式)②222abab(沟通两积ab与两平方和22ab的不等关系式)③22abab(沟通两积ab与两和ab的不等关系式)④重要不等式串:222,1122ababababRab即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).2、均值定理已知,xyR.(1)如果xyS(定值),则2224xySxy(当且仅当“xy”时取“=”).即“和为定值,积有最大值”.(2)如果xyP(定值),则22xyxyP(当且仅当“xy”时取“=”).即积为定值,和有最小值”.3、常见求最值模型模型一:2(0,0)nmxmnmnx,当且仅当nxm时等号成立;模型二:()2(0,0)nnmxmxamamnmamnxaxa,当且仅当nxam时等号成立;模型三:211(0,0)2xaccaxbxcacbaxbx,当且仅当cxa时等号成立;模型四:22()1())(0,0,0)24mxnmxmxnmxnnxnmxmnxmmmm(,当且仅当2nxm时等号成立.4、对复数几何意义的理解及应用(1)复数z,复平面上的点z及向量OZ相互联系,即(,)(,)zabiabRZabOZ;(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观.1.(2022•上海)若实数a、b满足0ab,下列不等式中恒成立的是()A.2ababB.2ababC.222ababD.222abab【答案】A【解析】因为0ab,所以2abab…,当且仅当ab时取等号,又0ab,所以2abab,故A正确,B错误,222222aabbab…,当且仅当22ab,即4ab时取等号,故CD错误,故选:A.2.(2021•乙卷)下列函数中最小值为4的是()A.224yxxB.4|sin||sin|yxxC.222xxyD.4ylnxlnx【答案】C【解析】对于A,2224(1)33yxxx…,所以函数的最小值为3,故选项A错误;对于B,因为0|sin|1x„,所以44|sin|2|sin|4|sin||sin|yxxxx…,当且仅当4|sin||sin|xx,即|sin|2x时取等号,因为|sin|1x„,所以等号取不到,所以4|sin|4|sin|yxx,故选项B错误;对于C,因为20x,所以24422222422xxxxxxy…,当且仅当22x,即1x时取等号,所以函数的最小值为4,故选项C正确;对于D,因为当1xe时,1414541ylnelne,所以函数的最小值不是4,故选项D错误.故选:C.3.(2021•上海)已知两两不相等的1x,1y,2x,2y,3x,3y,同时满足①11xy,22xy,33xy;②112233xyxyxy;③1133222xyxyxy,以下哪个选项恒成立()A.2132xxxB.2132xxxC.2213xxxD.2213xxx【答案】A【解析】设1122332xyxyxym,11xmayma,22xmbymb,33xmcymc,根据题意,应该有,,0abcabc,且2222222()0mamcmb,则有222222acbmb,则1322()()2()2()xxxmamcmbbac,因为22222(2)()2()()0bacacac,所以13222()0xxxbac,所以A项正确,B错误.2222132()()()()(2)(2)2acxxxmamcmbbacmacbbacm,而上面已证(2)0bac,因为不知道m的正负,所以该式子的正负无法恒定.故选:A.4.(2023•新高考Ⅰ)已知122izi,则(zz)A.iB.iC.0D.1【答案】A【解析】21111(1)122212(1)(1)2iiiziiiii,则12zi,故zzi.故选:A.5.(2023•新高考Ⅱ)在复平面内,(13)(3)ii对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】(13)(3)39368iiiii,则在复平面内,(13)(3)ii对应的点的坐标为(6,8),位于第一象限.故选:A.6.(2023•甲卷)35(1)((2)(2)iii)A.1B.1C.1iD.1i【答案】C【解析】35(1)5(1)1(2)(2)5iiiii.故选:C.7.(2023•乙卷)23|22|(ii)A.1B.2C.5D.5【答案】C【解析】由于2322|22||12|1(2)5iii.故选:C.8.(2022•新高考Ⅱ)(22)(12)(ii)A.24iB.24iC.62iD.62i【答案】D【解析】2(22)(12)242462iiiiii.故选:D.9.(2022•甲卷)若13zi,则(1zzz)A.13iB.13iC.1333iD.1333i【答案】C【解析】13zi,2222||((1)(3))4zzz,则131314133ziizz.故选:C.10.(2022•乙卷)已知12zi,且0zazb,其中a,b为实数,则()A.1a,2bB.1a,2bC.1a,2bD.1a,2b【答案】A【解析】因为12zi,且0zazb,所以(12)(12)(1)(22)0iaibabai,所以10220aba,解得1a,2b.故选:A.11.(2022•新高考Ⅰ)若(1)1iz,则(zz)A.2B.1C.1D.2【答案】D【解析】由(1)1iz,得211iziii,1zi,则1zi,112zzii.故选:D.12.(2021•甲卷)已知2(1)32izi,则(z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