模块五 解三角形与平面向量（测试）（解析版）

模块五解三角形与平面向量（测试）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知(1,2)a，(,1)bmr，若()aab，则向量a在b上的投影向量为（）A．(3,1)B．31,22C．1,12D．(1,2)【答案】B【解析】(1,2)a，(,1)bmr，(1,1)abm，()aab，()120aabm，解得3m，(3,1)b，向量a在b上的投影向量为5(3,1)31,22||||1010abbbb．故选：B．2．在ABC中，点D，E分别是AB，BC的中点，记AEa，CDb，则AC（）A．13abB．12abC．1123abD．23ab【答案】D【解析】由题意可知，12aABAC，1122bABCAABAC．两式相减，得32abAC，所以23ACab．故选：D．3．在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，已知,,bac成等差数列，π6,3aA，则ABC的面积为（）A．33B．93C．12D．16【答案】B【解析】因为,,bac成等差数列，可得2bca，又因为π6,3aA，由余弦定理得：222222()2321cos2222bcabcbcaabcAbcbcbc，整理得233bca，即36bc，所以ABC的面积为113sin3693222SbcA.故选：B.4．在△ABC中，角ABC，，的对边分别是342abcabAB，，，若，，则 cosB=（）A．13B．23C．38D．34【答案】B【解析】因为2AB，所以sinsin22sincosABBB．因为sinsinabAB，所以2sincossinabBBB，所以cos2aBb．因为34ab，所以43ab，则2cos23aBb．故选：B5．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，π3A，3a，2b，则此三角形的解的情况是（）A．有一解B．有两解C．无解D．有解但解的个数不确定【答案】A【解析】由sinsinabAB，得32sin22sin23bABa，又ab，π3A，故B只能为锐角，即π4B，故该三角形只有一解．故选：A.6．已知平面向量a，b均为单位向量，且0ab，3c，则cab的最大值是（）A．6B．3C．32D．32【答案】C【解析】依题意平面向量a，b均为单位向量，且0ab，建立如图所示平面直角坐标系，设1,0,0,1ab，设,cxy，由22223,9cxyxy，所以点,xy在以原点为圆心，半径为3的圆上，1,1cabcabc表示以原点为圆心，半径为3的圆上的点,xy与点1,1的距离，所以，根据圆的几何性质可知：cab的最大值是32，其中2是点1,1与原点的距离.故选：C7．在ABC中，内角A、B、C对应边分别为a、b、c，已知cos2cosaBbcA，且角A的平分线AD交BC于点D，1AD，则23ACAB的最小值为（）A．526B．626C．525D．625【答案】A【解析】因为cos2cosaBbcA，所以，coscos2cosaBbAcA，由正弦定理可得2sincossincoscossinsinsinCAABABABC，因为A、0,πC，则sin0C，所以，1cos2A，可得2π3A，因为角A的平分线AD交BC于点D，1AD，由ABCABDACDSSS，即12π1π1πsinsinsin232323bccADb，所以，3344bcbc，所以，111cbbcbc，所以，112323232323552bcbcACABbcbcbccbcb526，当且仅当23bccbbcbc时，即当262363bc时，等号成立，故23ACAB的最小值为526.故选：A.8．已知在ABC所在平面内，2BDAB，E、F分别为线段AC、AD的中点，直线EF与BC相交于点G，若DGBC，则（）A．tanBAC的最小值为34B．tanBAC的最小值为43C．tanBAC的最大值为34D．tanBAC的最大值为43【答案】D【解析】2BDAB，且F为线段AD的中点，所以1232AFADAB,则CBCAAB,1322AEEAFCAAFB,设EGtEF,则113113=222222CGCEEGCACAABCAAtBtt，且CB和CG共线，CBCAAB，所以113=222tt，12t.故G为线段EF的中点,且3=4CGCB,所以1191=224444DGDBBGABBCABBAACABAC,且BCACAB,若DGBC，则2291915044442BCDGACABABACABACABAC,即2259132442ABACABACABAC,故3cos5BAC,当且仅当2291=44ABAC时，等号成立；π0,2BAC,当tanBAC的最大时,即cosBAC最小时，此时24sin1cos5BACBAC，sin4tan=cos3BACBACBAC.故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知空间向量2,1,1a，3,4,5b，则下列结论正确的是（）A．2aba∥B．53abC．56aabD．a在b上的投影向量为321,,1052【答案】BCD【解析】易知21,2,7ab，显然127211，故A错误；易知：2222222116,3455253abab，故B正确；易知568,19,3556281191350abaab，故C正确；a在b上的投影向量253213,4,5,,501052abbb，故D正确.故选：BCD10．在ABC中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc，下列与ABC有关的结论，正确的是（）A．若2,30aA，则224sin2sin2sinsinbcbcBCBCB．若coscosaAbB，则ABC是等腰直角三角形C．若ABC是锐角三角形，则cossinABD．若230OAOBOC，AOCS，ABCS分别表示AOC，ABC的面积，则:1:6AOCABCSS△△【答案】ACD【解析】对于A中，因为2,30aA，设ABC外接圆的半径为R,可得224sinsin30aRA，又由224sin2sin2sinsinsinbcbcaBCBCA，所以A正确；对于B中，因为coscosaAbB，由正弦定理得sincossincosAABB，即sin2sin2AB，因为,(0,π)AB，可得22AB或22πAB，即AB或π2AB，所以ABC是等腰三角形或直角三角形，所以B不正确；对于C中，由ABC是锐角三角形，可得π2AB，即π2AB，因为ABC是锐角三角形，可得πππ(0,),(0,)222AB，又因为cosyx在π(0,)2为单调递减函数，所以πcoscossin2ABB，所以C正确；对于D中，如图所示，设AC的中点为M，BC的中点为D，因为230OAOBOC，即)(2(0)OAOCOBOC，可得0222OMOD，即2OMOD，所以点O是MD上靠近M的三等分点，所以点O到AC的距离等于D到AC的13，又由B到AC的距离为点D到AC的距离的2倍，所以O到AC的距离等于点B到AC距离的16，由三角形的面积公式，可得6ABCAOCSS，即:1:6AOCABCSS△△，所以D正确.故选：ACD.11．如图，已知O的内接四边形ABCD中，2,6,4ABBCADCD，下列说法正确的是（）A．四边形ABCD的面积为83B．该外接圆的半径为2213C．4BOCDD．过D作DFBC交BC于F点，则11DODF【答案】ABC【解析】对于A，连接AC，在ACD中，21616cos32ACD，2436cos24ACB，由于πBD，所以coscos0BD，故22324003224ACAC，解得22567AC，所以1cos7D，1cos7B，所以143sinsin1497BD，故1143243sin262277ABCSABBCB，1143323sin442277ADCSADDCD，故四边形ABCD的面积为2433238377，A正确；对于B，设外接圆半径为R，则25642172sin3437ACRB，故该外接圆的直径为4213，半径为2213，B正确；对于C，连接BD，过点O作OGCD于点G，过点B作BECD于点E，则由垂径定理得：122CGCD，由于180AC，所以coscos0AC，即22416163601648BDBD，解得27BD，所以1cos2C，所以60C，且1cos632CEBCC，所以321EF，即BO在向量CD上的投影长为1，且EG与CD反向，故4BOCDEGCD，C正确；对于D，由C选项可知：60C，故3sin604232DFCD，且30CDF，因为ADCD，由对称性可知：DO为ADC的平分线，故1302ODFADC，由A选项可知：1cos7ADC，显然12ADC为锐角，故11cos21cos227ADCADC，1327sin1277ADC，所以11157coscos30coscos30sinsin3022214ODFADCADCADC，所以22157cos2334101DODFDOODFDF，D错误.故选：ABC12．在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinsintancoscosBCABC，则下列结论正确的是（）A．π3AB．sinsinBC的取值范围是3,32C．若D为边BC上中点，且1AD，则a的最小值为233D．若ABC面积为1，则三条高的乘积的平方的最大值为33【答案】ACD【解析】对于A项，由sinsinsintancoscoscosBCAABCA得sincossincossincossincosBACAABAC，即sinsinBAAC，因为,,0,πABC，则π,πBAAC，，若πBAAC显然不符题意，或者πBAAC也不符合题意，所以BAAC，即2πABCA，所以π3A，故A正确；对于B项，π33πsinsinsinsinsincos3sin3226BCBBBBB，因为2π03B，所以ππ5π666B，所以1πsin126B，所以3sinsin32BC，即sinsinBC的取值范围是3,32，故B错误；对于C项，由余弦定理知222222cosa