模块七 圆锥曲线（测试）（解析版）

模块七圆锥曲线（测试）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知直线5yx是双曲线222210,0yxabab的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（）A．65B．5C．6D．305【答案】D【解析】由题意可知5ab，所以222305cabeaa.故选：D.2．若拋物线24xy上一点P到焦点的距离为1，则点P的横坐标是（）A．1516B．1716C．0D．2【答案】A【解析】24xy化为标准形式为214yx，故焦点坐标为1,016，准线方程为116x，由焦半径可得1116Px，解得1516Px.故选：A3．若动点P在221yx上移动，则点P与点0,1Q连线的中点的轨迹方程是（）A．24yxB．22yxC．241yxD．221yx【答案】A【解析】设PQ的中点为00(,),(,)MxyPxy，则000212xxyy，解得00221xxyy，即2,21Pxy，又点P在曲线221yx上，所以2212(2)1yx，即24yx，所以PQ的中点的轨迹方程为24yx.故选：A4．已知抛物线2:6Cyx，过点4,2A的直线l与抛物线C交于,MN两点，若MAAN，则直线l的斜率是（）A．23B．34C．43D．32【答案】D【解析】设1122,,,MxyNxy，则221122,66yxyx，因为MAAN，所以4,2A为MN的中点，所以124yy，故直线l的斜率12122121222163266yyyykyyxxyy.故选：D5．已知12,FF是椭圆221:1122xyC和双曲线22222:10,0xyCabab的公共焦点，P是它们的一个公共点，且12π2FPF，则双曲线2C的离心率为（）A．52B．5C．102D．10【答案】A【解析】因为221:1122xyC，12π2FPF，依题意，由椭圆及双曲线的定义得：121243,2PFPFPFPFa，222121240FFPFPF，由2222121212280PFPFPFPFPFPF，解得22a，而10c，所以双曲线2C的离心率105222cea．故选：A．6．已知0.0,Pxy是l：60xy上一点，过点P作圆O：2216xy的两条切线，切点分别为A，B，则当直线AB与l平行时，直线AB的方程为（）A．4xyB．8xyC．3316xyD．338xy【答案】C【解析】因为以OP为直径的圆的方程为22220000()()224xyxyxy，又圆O：2216xy，两圆方程相减可得两切点所在直线AB的方程为0016xxyy，由0000601xyyx，可得0033xy，即得直线AB的方程为3316xy.故选：C.7．已知双曲线2213yx的左右焦点分别为1F，2F，P为双曲线在第一象限上的一点，若211cos4PFF，则112FPFF（）A．15B．215C．14D．15【答案】C【解析】依题意，椭圆长半轴长1a，短半轴长3b，半焦距2c，则122PFPF，在12PFF△中，222121221122||||||2||||cosPFPFFFPFFFFPF，即有2222221(||2)||42||44PFPFPF，解得2||2PF，则1||4PF，即12PFF△是等腰三角形，112112122121||||cos44cos(π2)16cos2FPFFFPFFPFFPFFPFF2221116(2cos1)16[2()1]144PFF.故选：C8．椭圆222210,0,xyababab任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：2222xyab，这个圆称为椭圆的蒙日圆．在圆222430xyrr上总存在点P，使得过点P能作椭圆2213yx的两条相互垂直的切线，则r的取值范围是（）A．1,7B．1,9C．3,7D．3,9【答案】C【解析】根据题意可知椭圆2213yx的蒙日圆方程为224xy，圆心为原点，半径为2，圆222430xyrr的圆心为4,3，半径为r，则圆222430xyrr与224xy必有交点才符合题意，即两圆圆心距2240305d，则223,7rdrr.故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知双曲线C的两个焦点分别为1222,0,22,0FF，且满足条件p，可以解得双曲线C的方程为224xy，则条件p可以是（）A．实轴长为4B．双曲线C为等轴双曲线C．离心率为22D．渐近线方程为yx【答案】ABD【解析】设该双曲线标准方程为22221xyab，则22c.对于A选项，若实轴长为4，则2a，2224bca，符合题意；对于B选项，若该双曲线为等轴双曲线，则ab，又22c，2228abc，可解得224ab，符合题意；对于C选项，由双曲线的离心率大于1知，不合题意；对于D选项，若渐近线方程为yx，则ab，结合2228abc，可解得224ab，符合题意，故选：ABD.10．已知圆221:9Cxy，222:1116Cxy，则（）A．直线12CC的方程为yxB．过点3,3作圆1C的切线有且仅有2条C．两圆相交，且公共弦长为944D．圆2C上到直线yx的距离为2的点共有3个【答案】AB【解析】由题知，120,0,1,1CC，则直线12CC的方程为yx，所以A正确；因为10,0C，圆1C半径为3，过点3,3作圆1C的切线有33x,y两条，所以B正确；又124311243CC，公共弦所在直线l为2250xy，圆心1C到l的距离为552444，所以公共弦长为252942942，所以C错误；圆心2C到直线yx的距离为2,422，所以圆2C上到直线yx距离为2的点有4个，所以D错误．故选：AB11．已知抛物线2:2(0)Cypxp的焦点为F，准线与x轴的交点为M，过点M且斜率为k的直线l与抛物线C交于两个不同的点,AB，则下列说法正确的有（）A．当12,2pk时，16FAFBB．1,1kC．若直线,AFBF的倾斜角分别为,，则πD．若点A关于x轴的对称点为点A，则直线AB必恒过定点【答案】ACD【解析】设11,Axy，22,Bxy.对于选项A：当2p时，抛物线方程为24yx，准线方程为：=1x，点1,0M.当12k时，过点M的直线l方程为112yx.联立方程组24112yxyx，整理得：21410xx，则1214xx.所以由抛物线的定义可得：121116FAFBxx，故选项A正确；对于选项B：当0k时，直线l为x轴，此时直线l和抛物线只有一个交点，故选项B不正确；对于选项C：由2:2(0)Cypxp可得：点,02pF，准线方程为2px，点,02pM.则直线:2plykx.联立方程组222pykxypx，整理得：22222204kpkxkppx，则212221224kppxxkpxx.因为1122112200tan,tan2222AFBFyyyykkppppxxxx，所以212121212121222220222222AFBFpppkxxkxkxyykkppppppxxxxxx所以π，故选项C正确；对于选项D：因为点11,Axy关于x轴的对称点为点11,Axy，2122222111422222422AFpppkkxxykppppxxxpkxpx，2222BFpkxkpx所以直线AF与BF的倾斜角相同，即,,AFB三点共线.所以直线AB必恒过定点F，故选项D正确.故选：ACD.12．双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知12,FF分别为双曲线22:13xCy的左，右焦点，过C右支上一点000,3Axyx作双曲线的切线交x轴于点M，交y轴于点N，则（）A．平面上点24,1,BAFAB的最小值为3723B．直线MN的方程为0033xxyyC．过点1F作1FHAM，垂足为H，则2OH（O为坐标原点）D．四边形12AFNF面积的最小值为4【答案】ABD【解析】对于A，由双曲线定义得12223AFAFa，且12,0F，则22112323421233723AFABAFABBF，所以2AFAB的最小值为3723.故A正确；对于B，设直线MN的方程为00yykxx，33k，联立方程组002233yykxxxy，消去y整理得，222222000000136636330kxkxkyxkxkxyy，0，化简整理得2220000960ykxykx，解得003xky，可得直线MN的方程为00003xyyxxy，即0033xxyy，故B正确；对于C，由双曲线的光学性质可知，AM平分12FAF，延长1FH与2AF的延长线交于点E，则AH垂直平分1FE，即1AFAE，H为1FE的中点，又O是12FF中点，所以22121113222OHFEAEAFAFAFa，故C错误；对于D，由直线MN的方程为0033xxyy，令0x，得01yy，则010,Ny，121212120000111142422AFNFAFFNFFSSSFFyyyyVV，当且仅当001yy，即01y时等号成立，所以四边形12AFNF面积的最小值为4，故D项正确.故选：ABD..第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知圆22:4Oxy，过1,3M作圆O的切线l，则直线l的倾斜角为．【答案】5π6（或写为150）【解析】因为22134，所以，点M在圆O上，直线OM的斜率为30310OMk，由圆的几何性质可知，OMl，则直线l的斜率为11333OMkk，设直线l的倾斜角为，则0π，则3tan3，故5π6.即直线l的倾斜角为5π6（或150）.故答案为：5π6（或写为150）.14．已知椭圆2222:10xyCabab的右顶点、上顶点分别为A，B，直线AB与直线2xa相交于点D，且点D到x轴的距离为a，则C的离心率为.【答案】223/223【解析】设直线2xa与x轴的交点为E，如下图所示：则DEa，,0Aa，0,Bb，即OBb,OAa，易知AOBAEDV:V，则DEAEBOA