模块二 函数与导数（测试）（解析版）

模块二函数与导数（测试）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．曲线2exyxx在1x处的切线方程为（）A．e0xyB．e2e0xyC．e110xyD．e110xy【答案】D【解析】由2exyxx，得e21xyx.当1x时，e,e1yy，故该曲线在1x处的切线方程为e110xy.故选：D2．由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些高科技公司的打压，为突破西方的技术封锁和打压，我国的一些科技企业积极实施了独立自主、自力更生的策略，在一些领域取得了骄人的成绩.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司2020年全年投入芯片制造方面的研发资金为120亿元，在此基础上，计划以后每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元的年份是（）参考数据：lg1.090.0374，lg20.3010，lg30.4771.A．2023年B．2024年C．2025年D．2026年【答案】D【解析】设2020年后第n年该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元，由120(19%)200n得5(1.09)3n，两边同取常用对数，得lg5lg31lg2lg35.93lg1.09lg1.09n，所以6n，所以从2026年开始，该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元.故选：D．3．已知函数fx的部分图象如图所示，则fx的解析式可能为（）A．23sin44xxxxxfxB．23cos2xxxfxxC．3cos44xxxxxfxD．223sin2xxxfxx【答案】B【解析】从图象可知函数fx的图象关于原点对称，所以函数fx是奇函数．因为23sinyxxx，244,2xxyyx是偶函数，3cosyxxx是奇函数，所以2223sin3sin,442xxxxxxxxfxfxx都是偶函数，可排除A，D．对于23cos13cos1B,11123f，对于C，113cos11144f，结合题图可知选B．故选：B4．已知函数2exfxax，若对任意12121,,2,2xxxx，不等式121212fxfxxxxx恒成立，则实数a的取值范围是（）A．e,12B．2e,14C．e1,2D．2e1,4【答案】D【解析】设12xx，1212121212()()1,(,2),,2fxfxxxxxxxxx，等价于221212()()fxfxxx，即221122()()fxxfxx，令222()()exgxfxxaxx，则12()()gxgx，所以函数()gx在1(,2)2上单调递减，则不等式()e2(1)0xgxax在1(,2)2上恒成立，即不等式2(1)exax在1(,2)2上恒成立，令e1(),(,2)2xhxxx，则2(1)()xexhxx，令1()012hxx，令()012hxx，所以函数()hx在1(,1)2上单调递减，在(1,2)上单调递增，又21e()2e,(2)22hh，且2e2e2，所以22(12e)a，解得214ea，即实数a的取值范围为2e[1,)4.故选：D.5．已知20991ln,,e89abc，则（）A．abcB．acbC．cabD．cba【答案】A【解析】设函数211ln1,xfxxfxxx，因为0,1x上0fx，1,x上()0fx¢，所以fx在0,1上单调递减，在1,上单调递增，则10fxf，所以1ln1xx，当且仅当1x时，等号成立．令98x，则91ln89．设函数eln,eexxgxxgxx，因为0,ex上0gx，e,x上0gx，所以gx在0,e上单调递增，在e,上单调递减，则e0gxg，所以33ln30eg，即310ln3e9，所以10209913e,e9．综上可得：abc．故选：A.6．定义在R上的偶函数fx在0,上单调递增，且20f，则不等式20xfx的解集是（）A．4,B．,40,C．2,D．,42,0【答案】A【解析】∵定义在R上的偶函数fx在0,上单调递增，且20f，∴fx在(,0)上单调递减，且20f，∴当2x或2x时，0fx；当22x时，0fx，∵20xfx，∴0(2)0xfx或0(2)0xfx，∴02222xxx或或0222xx，∴0x或40x，即4x，则不等式20xfx的解集是4,.故选：A.7．设定义在R上的函数fx满足23exfxfxx，且00f，则下列结论正确的是（）A．fx在R上单调递减B．fx在R上单调递增C．fx在R上有最大值D．fx在R上有最小值【答案】C【解析】因为23exfxfxx，所以2ee3xxfxfxx，可得2eee3xxxfxfxfxx，可得3exfxxc（c为常数），因为00f，所以00e00fc，解得0c=，所以3exxfx，2233eeee3exxxxxxxxxfx，当3x时，()0,()fxfx单调递减，当03x时，()0,()fxfx单调递增，当0x时，()0,()fxfx单调递增，当x时，0fx且0fx，当x时，fx，所以fx在3x时有极大值即最大值33333ee27f，无最小值.故选：C.8．已知正数,ab满足2e12ln182abab，则eab（）A．94B．32C．1D．34【答案】A【解析】由22e12ln1e84ln16882aabababb，设()e4xfxx，则()e4xfx，当ln4x时，()0fx，当ln4x时，()0fx，所以()fx在(0,ln4)上单调递减，在(ln4,)上单调递增，则min()(ln4)48ln2fxf，故2(2)e848ln2afaa，当且仅当2ln4a，即ln2a时取等号；设()4ln168gxxx，则4(14)()xgxx，当104x时()0gx，当14x时()0gx，所以()gx在10,4上单调递增，在1,4上单调递减，所以max1()48ln24gxg，故()4ln16848ln2gbbb，当且仅当14b时取等号，又(2)()fagb，则(2)()48ln2fagb，此时1ln2,4ab，则19e244ab.故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知函数log1,11,1aaxxfxxx是R上的单调函数，则a的值可以是（）A．2B．512C．52D．12【答案】BC【解析】由题意，函数log1,11,1aaxxfxxx是R上的单调函数，所以110log12aaaa，解得5112a，故选:BC．10．已知函数22,02πsin,242xxxfxxx，则下列结论正确的有（）A．52()22fB．函数图像关于直线2x对称C．函数的值域为1,0D．若函数()yfxm有四个零点，则实数m的取值范围是1,0【答案】ACD【解析】A选项，55ππ2sinsin2442f，A正确；B选项，27ππ20.50.510.75,3.5sinsin442ff，由于0.53.5ff，故函数图像不关于直线2x对称，B错误；C选项，画出fx的图象，如下：数形结合可知函数的值域为1,0，C正确；D选项，若函数()yfxm有四个零点，则()fx与ym有4个交点，故实数m的取值范围是1,0，D正确.故选：ACD11．已知非常数函数fx及其导函数fx的定义域均为R，若2fx为奇函数，24fx为偶函数，则（）A．21fB．20242020ffC．17ffD．20212025ff【答案】BCD【解析】因为非常数函数fx及其导函数fx的定义域均为R，若2fx为奇函数，则22fxfx，则fx的图象关于点2,0对称，且20f，故A错误；因为24fx为偶函数，所以2424fxfx，即44fxfx，则8fxfx，又22fxfx，所以4fxfx，所以84fxfx，即4fxfx，所以8fxfx，故fx的周期为8，所以20240ff，20204ff，在4fxfx中，令0x，得40ff，所以20242020ff，故B正确；对8fxfx两边同时求导，得8fxfx，所以导函数fx的周期为8，所以17ff，故C正确；由fx周期8T，得20213ff，20251ff，对4fxfx两边同时求导，得4fxfx，令1x，得13ff，所以20212025ff，故D正确.故选：BCD.12．已知函数fx和gx分别为R上的奇函数和偶函数，满足2exfxgx，fx，gx分别为函数fx和gx的导函数，则下列结论中正确的是（）A．eexxfxB．当0x时，gx的值域为2,C．当0x时，若fxax恒成立，则a的取值范围为,2D．当*nN时，满足1212e2nngggn【答案】ACD【解析】对于A，因为fx和gx分别为R上的奇函数和偶函数，满足2exfxgx，即可得2exfxgxfxgx，所以可得eexxfx，eexxgx，故A正确；对于B，ee2ee2xxxxgx，当且仅当0x时，等号成立，又因为0x，所以gx的值域为2,，故B错误．对于C，分两种情况．①2a，令hxfxax，当0x时，则ee20xxhxaa，hx单调递增，所以00hxh，即fxax；②2a，方程0hx的正根为214ln2aax，若10,xx，则