专题16 妙解离心率问题（12大题型）（练习）（解析版）

专题16妙解离心率问题目录01顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题..................................................................202焦点三角形顶角范围与离心率........................................................................................................503共焦点的椭圆与双曲线问题............................................................................................................804椭圆与双曲线的4a通径体............................................................................................................1105椭圆与双曲线的4a直角体............................................................................................................1406椭圆与双曲线的等腰三角形问题..................................................................................................1907双曲线的4a底边等腰三角形........................................................................................................2108焦点到渐近线距离为b..................................................................................................................2509焦点到渐近线垂线构造的直角三角形...........................................................................................2810以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题.......................................................................................3211渐近线平行线与面积问题..............................................................................................................3512数形结合转化长度角度.................................................................................................................3701顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题1．（2024·安徽宣城·高三统考期末）已知椭圆222210xyabab上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AFBF，设ABF，且,124，则该椭圆的离心率e的取值范围是（）A．12,23B．26,23C．222,23D．332,3【答案】B【解析】由题意设椭圆的左焦点为N，连接AN，BN，因为AF⊥BF，所以四边形AFBN为长方形，再根据椭圆的定义化简得22cos2sinacc＝＋，得到离心率关于的函数表达式，再利用辅助角公式和三角函数的单调性求得离心率的范围.由题意椭圆22221xyab()00ab，上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为N，连接AN，BN，因为AF⊥BF，所以四边形AFBN为长方形．根据椭圆的定义：2AFANa，由题∠ABF＝α，则∠ANF＝α，所以22cos2sinacc＝，利用2112sincos2sin4cea，∵,124，∴342，216232sin4，即椭圆离心率e的取值范围是26,23，故选B.2．（2024·河北唐山·高三统考期末）已知椭圆222210xyabab上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AFBF，设ABF，且,64，则该椭圆的离心率e的取值范围是（）A．2,12B．2,312C．23,22D．36,33【答案】B【解析】设椭圆222210xyabab的左焦点为：1F,根据AFBF，得到四边形为1AFBF为矩形，再由ABF，结合椭圆的定义得到22sin2cosacc，然后由1sincoscea求解.设椭圆222210xyabab的左焦点为：1F,因为AFBF，所以四边形为1AFBF为矩形，所以12ABFFc因为ABF，所以2sin,2cos,AFcBFc由椭圆的定义得：22sin2cosacc，所以11sincos2sin4cea，因为,64，所以5,4122，所以26sin,144，所以132sin,242，所以2,312e，故选：B3．（2024·江西南昌·高三南昌十中校考期末）已知椭圆222210xyabab上一点A关于原点的对称点为B点，F为其右焦点，若AFBF，设ABF，且,43，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．2,312B．2,12C．23,22D．36,33【答案】A【解析】B和A关于原点对称，B也在椭圆上，设左焦点为F，根据椭圆的定义：2AFAFa，又BFAF，2AFBFa（1）又原点是RtABF的斜边中点，2ABc，又2sinAFc（2）2cosBFc（3）将（2）（3）代入（1）2sin2cos2cca，1sincosca，即11sincos2sin4e,43，所以72412，所以62sin144，即312sin224，所以2312e，所以椭圆的离心率的取值范围为2,312，故选：A4．（2024·黑龙江大庆·高三铁人中学校考期末）已知双曲线C：22221xyab（0a，0b）右支上非顶点的一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若AFFB，设ABF，且(,)124，则双曲线C离心率的取值范围是（）A．1(0,)2B．(12)，C．(2,)D．(2,)【答案】D【解析】如图所示，设双曲线的左焦点为F，连接AF，BF．AFFB，四边形AFBF为矩形．所以'2ABFFc．则||2sinAFc，||2cosBFc．||||2AFAFa．2cos2sin2cca．即(cossin)ca，则11cossin2cos()4cea，(,)124，(,)432，则1cos()(0,)42，2cos()(04,2)2，则11222cos()42，即2e，故双曲线离心率的取值范围是(2,)，故选：D．02焦点三角形顶角范围与离心率5．（2024·河南南阳·高三郑州一中阶段练习）已知1(,0)Fc，2(,0)Fc是椭圆22221(0)xyabab的左右两个焦点，P为椭圆上的一点，且212PFPFc，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．3(0,]3B．2(0,]2C．12[,]32D．32[,]32【答案】D【解析】设点00(,)Pxy，则100200(,),(,)PFcxyPFcxy，由212PFPFc得：222002xyc，而2200221xyab，即2222002bybxa，因此有222220022bcxbxa，即22222022abcbxa，因00||xa，于是得222202cbab，即2221132aca，解得3232ca，所以椭圆的离心率的取值范围为32[,]32.故选：D6．（2024·黑龙江·校联考）已知0ab，1F，2F，是双曲线22122:1xyCab的两个焦点，若点Р为椭圆22222:1xyCab上的动点，当P为椭圆的短轴端点时，12FPF取最小值，则椭圆2C离心率的取值范围为（）A．20,2B．2,12C．20,3D．2,13【答案】A【解析】假设点P在x轴上方，设cos,sinPab，则0,π，由已知得221,0Fab，222,0Fab，设直线1PF的倾斜角为，直线2PF的倾斜角为，∴122sintancosPFbkaab，222sintancosPFbkaab，∴12tantanFPFtantan1tantan2222222sinsinbabbab222222sinsinbabbab22222222sinsinbabbabab考虑对勾函数222sin0sin1sinbaby，由于P为椭圆的短轴端点时，π2，12FPF取最小值，即12tanFPF取最小值，222sin0sin1sinbaby也取最小值，此时sin1，∵函数在2220,bab上单调递减，∴2221bab，即222ab，解得202e.即椭圆2C离心率的取值范围为20,2.故选：A.7．（2024·贵州·高三凯里一中校考期末）已知椭圆2222:1xyCab，0ab，12,FF分别为椭圆的左右焦点，若椭圆C上存在点000,0Pxyx使得1260PFF，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．2,12B．20,2C．1,12D．10,2【答案】D【解析】设1PFm，22PFam，若椭圆C上存在点000,0Pxyx使得1260PFF，ma，2222422cos60ammcmc，22224442aammmcmc即224442acmac，222244424442acacacacaac12ca，即12e，01eQ102e.故选D8．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:10xyCabab，1F，2F分别为椭圆的左右焦点，若椭圆C上存在点00(,)Pxy（00x）使得1230PFF，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．