专题13 一网打尽外接球、内切球与棱切球问题 （练习）（解析版）

专题13一网打尽外接球、内切球与棱切球问题目录01正方体、长方体外接球...................................................................................................................202正四面体外接球...............................................................................................................................303对棱相等的三棱锥外接球................................................................................................................704直棱柱外接球...................................................................................................................................805直棱锥外接球...................................................................................................................................906正棱锥与侧棱相等模型.................................................................................................................1607侧棱为外接球直径模型.................................................................................................................1908共斜边拼接模型.............................................................................................................................2109垂面模型........................................................................................................................................2510二面角模型....................................................................................................................................3011坐标法............................................................................................................................................3612圆锥圆柱圆台模型.........................................................................................................................4213锥体内切球....................................................................................................................................4414棱切球............................................................................................................................................4801正方体、长方体外接球1．（2023·四川遂宁·高三射洪中学校考阶段练习）在长方体1111ABCDABCD中，已知2AB，14BCBB，在该长方体内放置一个球，则最大球的体积为.【答案】43/43【解析】在长方体1111ABCDABCD中，2AB，14BCBB，由长方体的结构特征知，长方体的内置球直径不超过最短棱长，于是得球直径小于等于2，球半径r的最大值为1，此时有334441333r，所以最大球的体积为43.故答案为：432．（2023·全国·高三专题练习）正方体的表面积为96，则正方体外接球的表面积为【答案】48π【解析】设正方体的棱长为a，因为正方体的表面积为96，可得2696a，解得4a，则正方体的对角线长为22244443l，设正方体的外接球的半径为R，可得243R，解得23R，所以外接球的表面积为224π4π48πSRR.故答案为：48π.3．（2023·吉林·高三校联考期末）已知正方体的顶点都在球面上，若正方体棱长为3，则球的表面积为．【答案】9【解析】该球为正方体外接球，其半径R与正方体棱长a之间的关系为23Ra，由3a，可得32R，所以球的表面积249SR.答案：902正四面体外接球4．（2023·山东·高三济南一中校联考阶段练习）在正四面体PABC中，以PB为直径作球O，点D在球O与PB的中垂面相交所得的圆上运动，当三棱锥DABC的体积的最小值为2212时，该正四面体PABC外接球的体积为．【答案】3π2【解析】设正四面体PABC的棱长为a，设点D到平面ABC的距离为h，则2113==,334DABCABCVShah当h最小时，DABCV最小.因为球O的半径为1122PBa，如图所示，当D在如图所示的位置时h最小.取AC的中点F，连接PF、BF，则,PFBFFOPB，所以DFO.因为31,,22BFaOBa则22FOa，2122FDaa，3sin3OBOFBFB.所以h最小值为21321sin22322aaOFBaa，所以21321322=3422312DABCVaaa，解得2a.设正四面体PABC的外接球的半径为R,球心为1O.如图所示，正四面体PABC的棱长为2，过P作PE平面ABC于E，由于2ABACBC,所以2362323AE，利用勾股定理得22623233PE，所以1AOE中，22262333RR，解得32R，所以正四面体PABC的外接球的体积为34π33π322.故答案为：3π25．（2023·河北·统考模拟预测）在正四面体PABC中，O为PB的中点，点D在以O为球心的球上运动，2PBOD，且恒有PDBD，已知三棱锥DABC的体积的最大值为18236，则正四面体PABC外接球的体积为（）A．1083πB．1242πC．1322πD．1443π【答案】A【解析】由题知，O为PB的中点，点D在以O为球心的球上运动，2PBOD，所以,,DPB都在以O为球心的球上，又因PDBD，则D在PB的中垂面上，如图，连接,AOCO，,PABPBC都为正三角形，且O为PB的中点，,OAPBOCPB，OAOCO，,OAOC平面OAC，PB平面OAC，PB平面OAC，平面OAC是PB的中垂面，即D在平面OAC上，所以点D在平面OAC与以O为球心，OB为半径的球的交线上，即D在以O为圆心，OB为半径的平面OAC内的圆上，取AC中点E，连接,OEAE，延长EO至点F，使OFOB，作在平面OAC内，以O为圆心，OB为半径的圆，则圆O上的点F到平面ABC的距离最远，故D在F处，设ABa=，则32BEa，12OBa，PB平面OAC，OE平面OAC，PBOE,2222312442OEBEOBaaa,1222EFOFOEaa,在RtOBE中，132sin332aOBOEBBEa，点F到平面ABC的距离21363sin236hEFOEBaa，所以211633182363364DABCFABCABCVVhSaa，解得62a，如图则其外接正方体的边长为62ab，所以正四面体PABC外接球即为边长为6正方体的外接球，故外接球半径222666332R，所以外接球体积344ππ8131083π33VR.故选：A6．（2023·山东济南·高三统考期末）若正四面体的表面积为83，则其外接球的体积为（）A．43πB．12πC．86πD．323π【答案】A【解析】设正四面体的棱长为a，由题意可知：234834a，解得：22a，所以正四面体的棱长为22，将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为2，正方体的体对角线长为23，因为正四面体的外接球的直径为正方体的体对角线长，所以外接球半径3R，则外接球的体积为34π43π3VR，故选：A.7．（2023·河南·西平县高级中学校联考模拟预测）一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的体积为（）A．6B．2C．3D．22【答案】A【解析】如图，四面体BDMN是正四面体，棱长2BD，将其补形成正方体GBCDMENF，则正方体GBCDMENF的棱长222GBBD，此正方体的体对角线长为6，正四面体BDMN与正方体GBCDMENF有相同的外接球，则正四面体BDMN的外接球半径62R，所以正四面体BDMN的外接球体积为33446()6332VR．故选：A03对棱相等的三棱锥外接球8．（2023•罗湖区月考）已知在四面体ABCD中，22,5ABCDADACBCBD，则四面体ABCD的外接球表面积为．【解析】解：如下图所示，将四面体ABCD放在长方体AEBFGCHD内，在四面体ABCD中，22,5ABCDADACBCBD，设该长方体的长、宽、高分别为2、2、1，则长方体的体对角线长即为长方体的外接球直径，设该长方体的外接球半径为R，所以，该四面体的外接球直径为22222213R，因此，四面体ABCD的外接球的表面积为224(2)9RR，故答案为：9．9．（2023•孟津县校级期末）若四面体ABCD中，5ABCDBCAD，2ACBD，则四面体的外接球的表面积为6．【解析】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以5，5，2为三边的三角形作为底面，且以分别x，y，z长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且225xy，225xz，222yz，则有2222(2)6(RxyzR为球的半径），所以球的表面积为246SR．故答案为：6．10．（2023•三模拟）在四面体ABCD中，2ACBD，5ADBC，7ABCD，则其外接球的表面积为．【解析】解：如下图所示，将四面体ABCD放在长方体AEBFGCHD内，设该长方体的长、宽、高分别为x、y、