专题07 函数与导数常考压轴解答题（练习）（解析版）

专题07函数与导数常考压轴解答题目录01含参数函数单调性讨论...................................................................................................................202导数与数列不等式的综合问题........................................................................................................303双变量问题......................................................................................................................................704证明不等式....................................................................................................................................1105极最值问题....................................................................................................................................1406零点问题........................................................................................................................................1807不等式恒成立问题.........................................................................................................................2508极值点偏移问题与拐点偏移问题..................................................................................................3009利用导数解决一类整数问题..........................................................................................................3810导数中的同构问题.........................................................................................................................4111洛必达法则....................................................................................................................................4512导数与三角函数结合问题..............................................................................................................4801含参数函数单调性讨论1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数221ln02fxaxxaxx.讨论函数fx的单调性.【解析】由已知可得，221lnxaxaxxfx，定义域为0,，所以2322afxaxxx32322axaxxx2312xaxx.（ⅰ）当0a时，321xfxx.当01x时，有3210xfxx，fx在0,1上单调递增；当1x时，有3210xfxx，fx在1,上单调递减.（ⅱ）当02a时，21a，解23120xaxfxx，可得1x，或2xa（舍去负值），且21a.解()0fx¢可得，01x或2xa，所以fx在0,1上单调递增，在2,a上单调递增；解0fx可得，21xa，所以fx在1,2a上单调递减.（ⅲ）当2a时，232110xxfxx在0,上恒成立，所以，fx在0,上单调递增.综上所述，当0a时，fx在0,1上单调递增，在1,上单调递减；当02a时，fx在0,1上单调递增，在1,2a上单调递减，在2,a上单调递增；当2a时，fx在0,上单调递增.2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数2212ln,R2afxxaxxa，讨论fx的单调性．【解析】由题设221212221axaxaxxfxaxaxxx且,()0x，当0a时0,fxfx在0,上递减；当0a时，令10fxxa，当10xa时0,fxfx在区间10,a上递减；当1xa时0,fxfx在1,a上递增．所以当0a时，fx的减区间为0,，无增区间；当0a时，fx的增区间为1,a，减区间为10,a.02导数与数列不等式的综合问题3．（2023·广东·高三执信中学校联考期中）设函数lnln1fxaxxm，0a，mR．(1)求函数fx的单调区间；(2)若对任意01a，函数fx均有2个零点，求实数m的取值范围；(3)设nN且2n，证明：2223112312nnnnnnnL．【解析】（1）lnln1fxaxxm的定义域为0,，其中0a，1111axaafxxxxx，当10a，即1a时，()0fx¢恒成立，fx在0,上单调递增.当100aa，即01a时，令0fx解得11aaxaa，在区间0,1aa上0,fxfx单调递增；在区间,1aa上0,fxfx单调递减.综上所述，1a时fx在0,上单调递增；01a时，fx在0,1aa上单调递增，在,1aa上单调递减.（2）由（1）得，01a时，fx在0,1aa上单调递增，在,1aa上单调递减.依题意可得对任意01a，均有lnln10111aaafamaaa恒成立，即1ln1lnlnlnln1111aamaaaaaaa1ln1lnaaaa恒成立，设1ln1ln01gaaaaaa，1111ln1lnlnln11aagaaaaaaaa，令1ln10a解得12a，所以在区间10,2上，0,gaga单调递增，在区间1,12上，0,gaga单调递减，所以11111lnlnln222222gag.所以ln2m.对于函数lnln1ln1axfxaxxmmx当0x和x时，01axx，所以fx，结合零点存在性定理可知，此时fx有两个零点.所以实数m的取值范围是ln2,.（3）要证明2223112312nnnnnnnL，即证明222311231lnln2nnnnnnnL，即证明211lnln22nkknkn，即证明112lnln2nkkknnn，注意到1111112lnlnlnnnnkkkkkkknknknnnnnn11ln1ln1nkkkkknnnn，所以即证明11ln1ln1ln2nkkkkknnnnn，由（2）得1ln1lnln2gaaaaa，即1ln1lnln2aaaa，取,1,2,,1kaknn代入上式，得：1ln1lnln2kkkknnnn，1,2,,1kn，所以11ln1ln11ln2ln2nkkkkknnnnnn，所以2223112312nnnnnnnL.4．（2023·全国·模拟预测）已知函数exxfx．(1)求函数fx在1x处的切线方程；(2)若122nxxx，且*01,2,,,ixinnN，求证：1222ennfxfxfx．【解析】（1）由()exxfx可得1()exxfx，所以fx在1x处的切线斜率10kf，且11ef，故所求切线方程为1ey．（2）设fx在02xaa处的切线斜率为k，由（1）得1()eaakfa，且()eaafa，故()fx在xa处的切线方程为21eeaaaayx，设2102eeeaaxaaxgxxx，则11eeaxaxgx．设11eeaxaxhx，则2exxhx．因为02x，所以0hx，仅在2x时取等号，故hx在0,2上单调递增．列表如下．0,xaxa,2xa0gx0gx0gxgx单调递减极小值0gagx单调递增所以0gx，即21eeeaaxaaxx．令12,,,nxxxx，其中122nxxx，且*01,2,,,ixinnN，则有12111eeexaaxaax，22221eeexaaxaax，…，21eeennnxaaxaax，累加得212121eennaaaaxxxnfxfxfx，即21212eenaaaanfxfxfx，取22ann，即得1222ennfxfxfx，当1n时，122efx显然满足题意，综上可得1222ennfxfxfx.5．（2023·河北张家口·高三校联考阶段练习）已知函数ln2ee,22,Rhxxg