专题05 分类打靶函数应用与函数模型（练习）（解析版）

专题05分类打靶函数应用与函数模型目录01二次函数与幂模型...............................................................................................................102分段函数模型......................................................................................................................403对勾函数模型....................................................................................................................1104指数函数模型....................................................................................................................1405对数函数模型....................................................................................................................1706函数模型的选择.................................................................................................................1901二次函数与幂模型1．（2023·河北·校联考模拟预测）劳动实践是大学生学习知识､锻炼才干的有效途径，更是大学生服务社会､回报社会的一种良好形式某大学生去一服装厂参加劳动实践，了解到当该服装厂生产的一种衣服日产量为x件时，售价为s元/件，且满足8202sx，每天的成本合计为60020x元，请你帮他计算日产量为件时，获得的日利润最大，最大利润为万元.【答案】2007.94【解析】由题意易得日利润260020820260020220079400ysxxxxxx，故当日产量为200件时，获得的日利润最大，最大利润为7.94万元，故答案为：200，7.94.2．（2023·北京海淀·高三校考阶段练习）科学家在研究物体的热辐射能力时定义了一个理想模型叫“黑体”，即一种能完全吸收照在其表面的电磁波（光）的物体．然后，黑体根据其本身特性再向周边辐射电磁波，科学研究发现单位面积的黑体向空间辐射的电磁波的功率B与该黑体的绝对温度T的4次方成正比，即4BT，为玻尔兹曼常数．而我们在做实验数据处理的过程中，往往不用基础变量作为横纵坐标，以本实验结果为例，B为纵坐标，以4T为横坐标，则能够近似得到（曲线形状），那么如果继续研究该实验，若实验结果的曲线如图所示，试写出其可能的横纵坐标的变量形式．【答案】射线B为纵坐标，以8T为横坐标.【解析】（1）因为4BT，为玻尔兹曼常数．B为纵坐标，以4T为横坐标，因为40xT，所以(0)Bxx，所以曲线是一条射线；（2）由于曲线的形状类似yx，根据曲线可知可能的横纵坐标的变量形式：B为纵坐标，以8T为横坐标，故答案为：B为纵坐标，以8T为横坐标.故答案为：（1）射线；（2）B为纵坐标，以8T为横坐标.3．（2015•北京）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量（升)加油时的累计里程（千米）2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为()A．6升B．8升C．10升D．12升【答案】B【解析】由表格得到从5月1日到15日，该车加了48升的汽油，这段时间行驶的路程为35600千米35000千米600千米，所以该车每100千米平均耗油量4868（升)．故选：B．4．（2023·河南平顶山·高三校联考阶段练习）折纸是我国民间的一种传统手工艺术，明德小学在课后延时服务中聘请了民间艺术传人给同学们教授折纸．课堂上，老师给每位同学发了一张长为12cm，宽为10cm的矩形纸片，要求大家将纸片沿一条直线折叠．若折痕（线段）将纸片分为面积比为1：3的两部分，则折痕长度的取值范围是cm．【答案】10,13【解析】由题意得长方形纸片的面积为21210120cm，不妨设折痕将纸片分成两部分的面积分别为1S，2S，且12:1:3SS，则2130cmS，2290cmS．如图，其中12cm,10cmABAN，当折痕MN为图（1）所示的三角形一边时，设cmAMx，cmANy，则1302012010xyxy，解得60612xyx，则222223600MNxyxx，令2tx，36,144t，则3600fttt，222360036001tfttt，当36,60t时，0ft，当60,144t时，0ft，故ft在36,60上单调递减，在60,144上单调递增，又36136f，60120f，144169f，故120,169ft，故230,13MN．当折痕MN为图（2）所示的梯形一边时，设cmAMx，cmDNy，则110302012012xyxy，解得606xyx，则22210026100MNxyx，06x，根据二次函数的性质可知，2100,136MN，则10,234MN．当折痕MN为图（3）所示的梯形一边时，设cmAMx，cmBNy，则112302010010xyxy，解得505xyx，则22214425144MNxyx，05x，根据二次函数的性质可知，2144,169MN，则12,13MN．综上所述，折痕长度的取值范围为10,13．故答案为：10,135．（2023·全国·高三专题练习）某单位计划建一矩形场地，现有总长度为100m的可作为围墙的材料，则场地的面积S(单位：m2)与场地的长x(单位：m)的函数关系式为．【答案】()()50050=Sxxx【解析】由于场地的长为mx，则宽为(50)mx，由题意得S=()50xx．易知0x，500x，所以自变量x的取值范围为050x．故所求函数的关系式为()()50050=Sxxx．故答案为：()()50050=Sxxx02分段函数模型6．（2017•上海）根据预测，某地第*()nnN个月共享单车的投放量和损失量分别为na和nb（单位：辆），其中4515,1310470,4nnnann剟…，5nbn，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差．（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量24(46)8800nSn（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【解析】（1）4515,1310470,4nnnann剟…，5nbn41511520a42521595a435315420a4104470430a1156b2257b3358b4459b前4个月共投放单车为12342095420430965aaaa，前4个月共损失单车为1234678930bbbb，该地区第4个月底的共享单车的保有量为96530935．（2）令nnab…，显然3n„时恒成立，当4n…时，有104705nn…，解得46511n„，第42个月底，保有量达到最大．当4n…，{}na为公差为10等差数列，而{}nb为等差为1的等差数列，到第42个月底，单车保有量为442142430506473953542395354287822222aabb．4241688008736S．87828736，第42个月底单车保有量超过了容纳量．7．（2018•上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中%(0100)xx的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为30,030()1800290,30100xfxxxx„（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间()gx的表达式；讨论()gx的单调性，并说明其实际意义．【解析】解；（1）由题意知，当30100x时，1800()29040fxxx，即2659000xx，解得20x或45x，(45,100)x时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当030x„时，()30%40(1%)4010xgxxx；当30100x时，2180013()(290)%40(1%)585010xgxxxxxx；24010()13585010xgxxx；当032.5x时，()gx单调递减；当32.5100x时，()gx单调递增；说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数所占比为32.5%时，人均通勤时间最少．8．（2023·江苏苏州·高三统考期末）已知正四面体ABCD的棱长为1，P为棱AB上的动点（端点A、B除外），过点P作平面垂直于AB，与正四面体的表面相交．记APx，将交线围成的图形面积S表示为x的函数fx，则Sfx的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】取线段AB的中点O，连接OC、OD，因为ABC、ABD△为等边三角形，O为AB的中点，则OCAB，ODAB，OCODO，OC、OD平面OCD，AB平面OCD，因为AB平面，所以，平面与平面OCD平行或重合，且2232ODOCACOA，取CD的中点M，连接OM，则OMCD，且2222OMOCCM，故1224OCDSCDOM△.①当102x时，平面//平面OCD，平面平面ABCPE，平面OCD平面ABCOC，//PEOC，同理可知，//PFOD，//EFCD，所以，PEAEEFAFPFOCACCDADOD，故PEFOCD△∽△，如下图所示：则224OCDSAPxSAO△，则22Sfxx；②当12x时，1224Sf；③当112x时，平面//平面OCD，平面平面ABCPE，平面OCD平面ABCOC，//PEOC，同理可知，//PFOD，//EFCD，所以，PEBEEFBFPFOCBCCDBDOD，故PEFOCD△∽△，如下图所示：则2241OCDSBPxSBO△，则221Sfxx.综上所述，2212,02121,12xxSfxxx，故函数fx的图象如