专题02 不等式与复数（练习）（解析版）

专题02不等式与复数目录01基本不等式二元式...........................................................................................................................102和式与积式......................................................................................................................................303柯西不等式二元式...........................................................................................................................604齐次化与不等式最值.......................................................................................................................905复数的四则运算.............................................................................................................................1206复数的几何意义...............................................................................................................................1401基本不等式二元式1．（2023·山东青岛·高一青岛大学附属中学校考阶段练习）若0,0xy且1xy，则41xy的最小值为（）A．7B．8C．9D．16【答案】C【解析】由题设，4141445529xxyyxyxyxyxyxy，当且仅当4yxxy，即21,33xy时等号成立．故选：C2．（2023·江苏盐城·高三统考期中）若0x，1y，则341yxxy的最小值为（）A．1B．4C．8D．12【答案】C【解析】设341yxtxy，则24440ytxyxtx，由0，得244160txxtx，即24416txx，则244txx，44424?8txxxx，当且仅当44xx，即1x时，等号成立，故选：C．3．（2023·江苏镇江·高三统考期中）已知正实数x、y满足5xyxy，则xy的最小值为（）A．5B．4C．3D．2【答案】B【解析】因为正实数x、y满足5xyxy，则5xyyx，可得51xyx，所以，1454412141111xxxyxxxxxxxx，当且仅当4101xxx时，即当1x时，等号成立，此时，3y，故xy的最小值为4．故选：B．4．（2023·浙江金华·校联考模拟预测）已知0,0,2ababab，则212abab的最小值为（）A．4B．6C．42D．322【答案】D【解析】由0,0,2ababab，02bab，即2b，易知1a，所以22223132(1)32212111abaaaaabaaa，当且仅当21a时等号成立，此时22b，所以212abab的最小值为322．故选：D5．（2023·广东广州·统考模拟预测）已知正实数x，y满足2xyxy，则22xyxy的最小值为（）A．2B．4C．8D．9【答案】C【解析】因为正实数x，y满足2xyxy，所以121xy，则124422224428yxyxxyxyxyxyxyxyxy，当且仅当2yx且121xy，即2x，4y时取等号．故选：C．6．（2023·广西玉林·高三博白县中学校考开学考试）若正数x，y满足111xy，则2xy的最小值是（）A．6B．232C．322D．223【答案】C【解析】由题意，112222332322yxyxxyxyxyxyxy，当且仅当2yxxy，即21x，222y时取等号．故选：C02和式与积式7．（多选题）（2023·山东潍坊·高三统考期中）已知a，b为方程2?80(0)xxmm的两个实根，则（）A．²²8abB．4abC．22abD．113222212ab【答案】ACD【解析】由题意得：4ab，2mab，0a，0b；对于A项：2222162abababab，因为：22abab，所以：242abab，所以得：221621688abab，当且仅当2ab时取等号，故A项正确；对于B项：由42abab，所以得：4ab，故B项错误；对于C项：224248ababababab，所以得：22ab，故C项正确；对于D项：11111112132322212226226222622212babaababababab当222baab时取等号，故D项正确．故选：ACD．8．（多选题）（2023·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）已知0,0,abab，且2ab，则（）A．112abB．22112abC．222abD．22loglog2ab【答案】ABC【解析】11111112222222babaababababab，当且仅当baab，即ab时取等号，由于ab¹，所以112ab，A正确，由于212abab，22221111222ababab，当且仅当2211ab且ab时，即ab时取等号，由于ab¹，所以22112ab，B正确，由2ab以及0,0,abab可得22222224ababab，当且仅当22ab，即ab时取等号，由于ab¹，所以2242ab，故C正确，2222loglogloglog10abab，当且仅当baab，即ab时取等号，由于ab¹，22loglog0ab所以D错误，故选：ABC9．（多选题）（2023·云南迪庆·高一统考期末）设正实数,xy满足23xy，则下列说法正确的是（）A．3yxy的最小值为4B．xy的最大值为98C．2xy的最大值为2D．224xy的最小值为92【答案】ABD【解析】对于A，0x，0y，23xy，322224yyxyyxyxxyxyxyxy，当且仅当yxxy，即1xy时等号成立，故A正确；对于B，3222xyxy，98xy，当且仅当2xy，即32x，34y时等号成立，所以xy的最大值为98，故B正确；对于C，因为29222232232268xyxyxyxy，所以2xy的最大值为6，故C错误；对于D，因为22299424949482xyxyxyxy，故D正确．故选：ABD．10．（多选题）（2023·全国·高三校联考阶段练习）若0a，0b，且21ab，则下列说法正确的是（）A．ab有最大值18B．2ab有最大值2C．1aab有最小值4D．224ab有最小值22【答案】AC【解析】对于A，2211122248ababab，当且仅当122ab时取等号，所以ab有最大值18，故A正确；对于B，因为222abab，所以2222222abababab，所以2222abab，当且仅当122ab时取等号，所以2ab有最大值2，故B错误；对于C，122224aabababaabababab，当且仅当baab，即13ab时取等号，所以1aab有最小值4，故C正确；对于D，因为22422abab，所以22222224422abbababa，所以22224212abab，当且仅当122ab时取等号，所以224ab有最小值12，故D错误．故选：AC．11．（多选题）（2023·江苏无锡·高三统考期中）已知0a，0b，131ab，则下列说法正确的是（）A．ab的最小值为12B．ab的最小值为43C．22ab的最小值为24D．1313ab的最小值为2【答案】AD【解析】A选项：1332abab，即321ab，解得12ab，当且仅当13ab，即2a，6b时等号成立，A选项正确；B选项：13331342423abababababbaba，当且仅当3abba，即312a，332b时等号成立，B选项错误；C选项：由131ab，得3bab，3b，则22223babbb，设函数223xfxxx，3x，332333xxfxx，令3323303xxfxx，解得1333x，所以函数fx在133,33上单调递减，在1333,上单调递增，所以13min3324fxf，C选项错误；D选项：13133321333313bbabbbb，当且仅当3333bb，即6b，2a时等号成立，D选项正确；故选：AD．03柯西不等式二元式12．（2023·浙江湖州·高三统考期末）已知x，yR，且3xy，则22124xy的最小值是．【答案】35【解析】凑配2222512541245xyxy22222222112425xy，进而根据柯西不等式结合已知求解即可．根据柯西不等式得：222221121xx，2222222428yy，当且仅当2,1xy时，上述两不等式取等号，所以22221121xx，222224228yy因为3xy，所以2222512541245xyxy222222229211242212835555xyxyxy当且仅当2,1xy时，等号成立．故答案为：35．13．（2023·浙江温州·统考二模）已知实数,xy满足22241,xyy则2xy的最大值为．【答案】2【解析】直接利用柯西不等式得到答案．根据柯西不等式：222222412xyyxyy，故22xy，当22xyy，即328x，24y时等号成立．故答案为：2．14．（2023·湖北武汉·统考一模）已知2211Mxyyx，则M的最大值为．【答案】1．【解析】利用柯西不等式求解．由柯西不等式得：22222222211111xyyxxxyy，当且仅当2211yyxx，即221xy取等号．故M的最大值为1故答案为：115．（2023·浙江金华·高三校联