重难点08 正、余弦定理解三角形的重要模型和综合应用【八大题型】（举一反三）（新高考专用）（解析版）

重难点08正、余弦定理解三角形的重要模型和综合应用【八大题型】【新高考专用】【题型1三角形中的边、角计算】.......................................................................................................................3【题型2解三角形中的中线模型】.......................................................................................................................7【题型3解三角形中的倍角模型】.....................................................................................................................11【题型4解三角中的角平分线模型】.................................................................................................................15【题型5解三角形中的等分点模型】.................................................................................................................19【题型6三角形、四边形的面积最值或范围问题】..........................................................................................22【题型7三角形中的边长或周长的最值或范围问题】......................................................................................27【题型8解三角形与三角函数综合】.................................................................................................................31解三角形是高考的热点内容，是每年高考必考内容之一.从近几年的高考情况来看，正、余弦定理解三角形在选择题、填空题中考查较多，难度较易；综合考查以解答题为主，中等难度.对于解答题，主要考查正、余弦定理与三角形面积公式的综合应用，有时也会与三角函数、平面向量等知识综合考查.【知识点1解三角形中的重要模型】1.中线模型(1)中线长定理：在△𝐴𝐵𝐶中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD是BC边上的中线，则.(2)向量法：.2.倍角模型222222BAbaacCBcbbaACaccb（）（）（），这样的三角形称为“倍角三角形”．推论1：22sin2sinsin32cos34sinabcacABbBBBBB；推论2：212cos2coscABAbcaBb.3.角平分线模型角平分线张角定理：如图，AD为BAC平分线，则1cos()2ADADBADbc斯库顿定理：如图，AD是ABC△的角平分线，则2·ADABACBDDC，可记忆：中方=上积-下积．4.等分点模型如图，若P在边BC上，且满足PCBP，APm，则延长AP至D，使PDAP，连接CD.易知AB∥DC，且DCc，(1)ADAP，180BACACD．【知识点2正、余弦定理解三角形的方法技巧】1.正弦定理、余弦定理解三角形的主要作用正弦定理、余弦定理解三角形的主要作用是将三角形中已知条件的边、角关系转化为角的关系或边的关系，实现三角形边角关系的互化，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．2.对三角形解的个数的研究已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定.(1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知a,b和A，解三角形为例加以说明.由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：①若B=1，则满足条件的三角形的个数为0；②若B==1，则满足条件的三角形的个数为1；③若B=1，则满足条件的三角形的个数为1或2.显然由0B=1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三角形内角和等于”等，此时需进行讨论.3.与三角形面积有关问题的求解思路：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.4.三角形中的最值（范围）问题的解题策略：(1)正、余弦定理是求解三角形的边长、周长或面积的最值（范围）问题的核心，要牢牢掌握并灵活运用．解题时要结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等研究其最值（范围）．(2)“坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法.解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结合三角函数、基本不等式等知识求其最值．【题型1三角形中的边、角计算】【例1】（2023·四川绵阳·四川校考一模）记△𝐴𝐵𝐶的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知𝑎sin(𝐴+𝐵)=𝑐sin𝐵+𝐶2．(1)求A；(2)已知𝑐=3，𝑏=1，边BC上有一点D满足𝑆△𝐴𝐵𝐷=3𝑆△𝐴𝐷𝐶，求AD．【解题思路】（1）根据三角形内角和定理、诱导公式，结合正弦定理、正弦的二倍角公式进行求解即可；（2）根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可.【解答过程】（1）∵𝑎sin(𝐴+𝐵)=𝑐sin𝐵+𝐶2，由正弦定理，有sin𝐴sin(𝐴+𝐵)=sin𝐶sin𝐵+𝐶2，即sin𝐴sin𝐶=sin𝐶cos𝐴2，又sin𝐶≠0，即有sin𝐴=cos𝐴2，2sin𝐴2cos𝐴2=cos𝐴2，∵𝐴2∈(0,π2)，cos𝐴2≠0，所以sin𝐴2=12，𝐴2=π6，故𝐴=π3．（2）设∠𝐵𝐷𝐴=𝛼，∠𝐴𝐷𝐶=π−𝛼，由（1）知𝐴=π3，在△ABC中，由余弦定理𝑎2=𝑏2+𝑐2−2𝑏𝑐cos𝐴，可知𝐵𝐶2=9+1−2×3×1×12，∴𝐵𝐶=√7又𝑆△𝐴𝐵𝐷=3𝑆△𝐴𝐷𝐶，可知𝐵𝐷=3𝐷𝐶=3√74，在△ABD中，𝐴𝐵2=𝐵𝐷2+𝐴𝐷2−2𝐵𝐷⋅𝐴𝐷⋅cos𝛼，即9=6316+𝐴𝐷2−3√72𝐴𝐷⋅cos𝛼，①在△ACD中，1=716+𝐴𝐷2−√72𝐴𝐷⋅cos(𝜋−𝛼)，即1=716+𝐴𝐷2+√72𝐴𝐷⋅cos𝛼，②联立①②解得𝐴𝐷=3√34.【变式1-1】（2023·河南郑州·统考模拟预测）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶=√33𝐵𝐶，点𝐷在𝐴𝐵延长线上，且𝐴𝐷=52𝐵𝐷．(1)求sin∠𝐴𝐶𝐷sin∠𝐵𝐶𝐷；(2)若△𝐴𝐵𝐶面积为√3，求𝐶𝐷．【解题思路】（1）设𝐵𝐶=√3𝑡(𝑡0)，利用余弦定理求得𝐴=2𝜋3，再在△𝐴𝐶𝐷和△𝐵𝐶𝐷中两次利用正弦定理即可求出比值.（2）利用三角形面积公式即可求出（1）问的𝑡值，再利用余弦定理即可.【解答过程】（1）因为𝐴𝐵=𝐴𝐶=√33𝐵𝐶,设𝐵𝐶=√3𝑡(𝑡0),则𝐴𝐵=𝐴𝐶=𝑡,由余弦定理得cos𝐴=𝐴𝐵2+𝐴𝐶2−𝐵𝐶22𝐴𝐵⋅𝐴𝐶=2𝑡2−3𝑡22𝑡2=−12，因为𝐴∈(0,π)，所以𝐴=2π3,∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐵𝐶𝐴=π6,∠𝐶𝐵𝐷=5π6在△𝐴𝐶𝐷中,由正弦定理得𝐴𝐷=𝐶𝐷sin∠𝐴𝐶𝐷sin𝐴=𝐶𝐷sin∠𝐴𝐶𝐷sin2𝜋3=2√33𝐶𝐷sin∠𝐴𝐶𝐷,在△𝐵𝐶𝐷中,由正弦定理得𝐵𝐷=𝐶𝐷sin∠𝐵𝐶𝐷sin∠𝐶𝐵𝐷=𝐶𝐷sin∠𝐵𝐶𝐷sin5𝜋6=2𝐶𝐷sin∠𝐵𝐶𝐷,因为𝐴𝐷=52𝐵𝐷,所以2√33𝐶𝐷sin∠𝐴𝐶𝐷2𝐶𝐷sin∠𝐵𝐶𝐷=52整理得sin∠𝐴𝐶𝐷sin∠𝐵𝐶𝐷=5√32.（2）由𝐴𝐷=52𝐵𝐷得𝐴𝐵=32𝐵𝐷,由（1）得12𝑡2sin2π3=√3,所以𝑡=2,在△𝐵𝐶𝐷中,𝐵𝐶=√3𝑡=2√3,𝐵𝐷=23𝐴𝐵=43,∠𝐶𝐵𝐷=5π6,由余弦定理得𝐶𝐷=√𝐵𝐶2+𝐵𝐷2−2𝐵𝐶⋅𝐵𝐷cos∠𝐶𝐵𝐷=√(2√3)2+(43)2−4√3×43×(−√32)=143.【变式1-2】（2023·云南·统考模拟预测）在△𝐴𝐵𝐶中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且𝑏=𝑐(cos𝐴−sin𝐴).(1)求角C；(2)若𝑐=2√5，D为边BC的中点，△𝐴𝐷𝐶的面积𝑆=1且𝐵𝐴，求AD的长度.【解题思路】（1）首先根据正弦定理，将等式中的边转化成角，然后通过三角函数恒等变换求出角𝐶的正切值，进而求出角𝐶.（2）首先由△𝐴𝐷𝐶面积𝑆=1可得𝑆△𝐴𝐵𝐶=2，利用面积公式可得𝑎𝑏=4√2，再利用余弦定理得𝑎2+𝑏2+√2𝑎𝑏=20，通过联立方程可求出𝑎=2,𝑏=2√2，最后在△𝐴𝐶𝐷中使用余弦定理即可求出𝐴𝐷的长度.【解答过程】（1）因为𝑏=𝑐(cos𝐴−sin𝐴)，所以sin𝐵=sin𝐶(cos𝐴−sin𝐴)，又sin𝐵=sin(𝐴+𝐶)=sin𝐴cos𝐶+cos𝐴sin𝐶，所以sin𝐴cos𝐶≡−sin𝐶sin𝐴，因为𝐴∈(0,π)，所以sin𝐴≠0，所以cos𝐶=−sin𝐶，即tan𝐶=−1，又𝐶∈(0,π)，所以𝐶=34π；（2）由△𝐴𝐷𝐶面积𝑆=1可得𝑆△𝐴𝐵𝐶=2，则12𝑎𝑏sin𝐶=2，即12𝑎𝑏×√22=2，得𝑎𝑏=4√2①，又𝑐2=𝑎2+𝑏2−2𝑎𝑏cos𝐶，所以𝑎2+𝑏2+√2𝑎𝑏=20②，联立①②得{𝑎=2√2𝑏=2或{𝑎=2𝑏=2√2，又𝐵𝐴，所以𝑎=2,𝑏=2√2，在△𝐴𝐶𝐷中，由余弦定理可得𝐴𝐷2=𝐴𝐶2+𝐶𝐷2−2𝐴𝐶⋅𝐶𝐷⋅cos𝐶=8+1−2×2√2×1×(−√22)=13，所以𝐴𝐷=√13.【变式1-3】（2023·全国·模拟预测）已知平面四边形ABCD，𝐴𝐵=6，𝐴𝐶=2√19，𝐵𝐶𝐴𝐵，△𝐴𝐵𝐶的面积为6√3．(1)求∠𝐴𝐵𝐶；(2)若𝑆△𝐴𝐵𝐶=3𝑆△𝐵𝐶𝐷，𝐴𝐷=2𝐵𝐷，求CD的长度．【解题思路】（1）根据三角形的面积公式求得sin∠𝐵𝐴𝐶，进而求得cos∠𝐵𝐴𝐶，利用余弦定理求得𝐵𝐶，再次利用余弦定理求得cos∠𝐴𝐵𝐶，进而求得∠𝐴𝐵𝐶.（2）方法一：设∠𝐷𝐵𝐶=𝜃，设𝐵𝐷=𝑥，利用三角形的面积公式以及余弦定理求得𝐶𝐷；方法二：建立平面直角坐标系，利用三角形的面积