重难点06 导数必考压轴解答题全归类【十一大题型】（举一反三）（新高考专用）（解析版）

重难点06导数必考压轴解答题全归类【十一大题型】【新高考专用】【题型1函数的切线问题】...................................................................................................................................3【题型2（含参）函数的单调性问题】...............................................................................................................8【题型3函数的极值、最值问题】.....................................................................................................................13【题型4函数零点（方程根）问题】.................................................................................................................17【题型5不等式的证明】.....................................................................................................................................22【题型6利用导数研究不等式恒成立问题】.....................................................................................................25【题型7利用导数研究能成立问题】.................................................................................................................30【题型8双变量问题】.........................................................................................................................................34【题型9导数中的极值点偏移问题】.................................................................................................................38【题型10导数与三角函数结合问题】................................................................................................................43【题型11导数与数列不等式的综合问题】........................................................................................................49导数是高中数学的重要考查内容，是高考必考的热点内容.从近几年的高考情况来看，在解答题中试题的难度较大，主要涉及导数的几何意义、函数的单调性问题、函数的极值和最值问题、函数零点问题、不等式恒成立与存在性问题以及不等式的证明等内容，考查分类讨论、转化与化归等思想，属综合性问题，解题时要灵活求解．其中，对于不等式证明中极值点偏移、隐零点问题和不等式的放缩应用这三类问题是目前高考导数压轴题的热点方向．【知识点1切线方程的求法】1.求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：①求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率；②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0).2.求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：①设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)；②利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)；③将已知条件代入②中的切线方程求解.【知识点2导数中函数单调性问题的解题策略】1.含参函数的单调性的解题策略：(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.2.根据函数单调性求参数的一般思路：(1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集.(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.【知识点3函数的极值与最值问题的解题思路】1.运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f'(x)；(3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号；(5)求出极值.2.根据函数极值求参数的一般思路：已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.3.利用导数求函数最值的解题策略：(1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤：①求函数在(a,b)内的极值；②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤：求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.【知识点4导数的综合应用】1．导数中的函数零点（方程根）问题利用导数研究含参函数的零点（方程的根）主要有两种方法：(1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决.(2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y=g(x)图象的交点问题.2．导数中的不等式证明(1)一般地，要证f(x)g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可.(2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题．3．导数中的恒成立、存在性问题解决不等式恒（能）成立问题有两种思路：(1)分离参数法解决恒（能）成立问题，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，即可解决问题．(2)分类讨论法解决恒（能）成立问题，将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，据此进行求解即可.4．导数中的双变量问题破解双参数不等式的方法：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果．5．极值点偏移的相关概念所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性．极值点偏移的定义：对于函数)(xfy在区间),(ba内只有一个极值点0x，方程)(xf的解分别为21xx、，且bxxa21.(1)若0212xxx，则称函数)(xfy在区间),(21xx上极值点0x偏移；(2)若0212xxx，则函数)(xfy在区间),(21xx上极值点0x左偏，简称极值点0x左偏；(3)若0212xxx，则函数)(xfy在区间),(21xx上极值点0x右偏，简称极值点0x右偏．【题型1函数的切线问题】【例1】（2023·河南·统考模拟预测）已知函数𝑓(𝑥)=𝑎(e𝑥−1)−ln𝑥.(1)当𝑎=1时，求𝑓(𝑥)的图象在点(1,𝑓(1))处的切线方程;(2)当𝑎≥1时，证明：𝑓(𝑥)sin𝑥.【解题思路】（1）分别求出𝑓(1),𝑓′(1)，再利用直线的点斜式方程即可求解；（2）利用作差法并构造函数𝑔(𝑥)=e𝑥−1−ln𝑥−sin𝑥，并利用二次导数求出𝑔(𝑥)min0恒成立，即可求解.【解答过程】（1）当𝑎=1时，𝑓(𝑥)=e𝑥−1−ln𝑥，则𝑓′(𝑥)=e𝑥−1𝑥所以𝑓′(1)=e−1，又因为𝑓(1)=e−1，故所求切线方程为𝑦−(e−1)=(e−1)(𝑥−1)，即𝑦=(e−1)𝑥.（2）因为𝑓(𝑥)的定义域是(0,+∞)，所以当𝑎≥1时，𝑓(𝑥)−sin𝑥=𝑎(e𝑥−1)−ln𝑥−sin𝑥≥e𝑥−1−ln𝑥−sin𝑥设𝑔(𝑥)=e𝑥−1−ln𝑥−sin𝑥，则𝑔′(𝑥)=e𝑥−1𝑥−cos𝑥，设ℎ(𝑥)=𝑔′(𝑥)=e𝑥−1𝑥−cos𝑥，则ℎ′(𝑥)=e𝑥+1𝑥2+sin𝑥0在(0,+∞)上恒成立，所以ℎ(𝑥)在(0,+∞)上是增函数，则ℎ(13)=e13−3−cos130，又因为ℎ(π4)=eπ4−4π−sinπ4，因为eπ2.7316=24，所以eπ42，又因为4π+sinπ443.14+1.422≈1.9842，所以ℎ(π4)0，所以ℎ(𝑥)在(13,π4)上存在唯一零点𝑥0，也是ℎ(𝑥)在(0,+∞)上的唯一零点，所以ℎ(𝑥0)=e𝑥0−1𝑥0−cos𝑥0=0，即e𝑥0=1𝑥0+cos𝑥0，当0𝑥𝑥0时，𝑔′(𝑥)0，𝑔(𝑥)在(0,𝑥0)上单调递减，当𝑥𝑥0时，𝑔′(𝑥)0，𝑔(𝑥)在(𝑥0,+∞)上单调递增，所以𝑔(𝑥)min=𝑔(𝑥0)=e𝑥0−ln𝑥0−1−sin𝑥0=1𝑥0+cos𝑥0−ln𝑥0−1−sin𝑥0由于0𝑥0π4，所以1𝑥01，ln𝑥00，cos𝑥0sin𝑥0，所以𝑔(𝑥)min=𝑔(𝑥0)0，所以𝑔(𝑥)0，所以当𝑎≥1时，𝑓(𝑥)−sin𝑥0，即𝑓(𝑥)sin𝑥成立.【变式1-1】（2023·四川雅安·统考一模）已知函数𝑓(𝑥)=𝑎e𝑥+𝑏𝑥+𝑐在𝑥=ln2时有极小值.曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(0,𝑓(0))处的切线方程为𝑥+𝑦=0.(1)求𝑎,𝑏,𝑐的值；(2)若对任意实数𝑥,𝑓(𝑥)≥(e−2)𝑥+𝑚恒成立，求实数𝑚的取值范围.【解题思路】（1）对函数求导，利用在𝑥=ln2时有极小值和在点(0,𝑓(0))处的切线方程，即可求出𝑎,𝑏,𝑐的值；（2）将函数代入不等式并分离参数，转化成e𝑥−e𝑥−1≥𝑚对任意实数𝑥恒成立问题，构造函数𝑔(𝑥)=e𝑥