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重难点05导数常考经典压轴小题全归类【十大题型】【新高考专用】【题型1函数切线问题】.......................................................................................................................................3【题型2导数中函数的单调性问题】...................................................................................................................4【题型3导数中函数的极值问题】.......................................................................................................................6【题型4导数中函数的最值问题】.......................................................................................................................9【题型5函数零点（方程根）个数问题】..........................................................................................................12【题型6利用导数解不等式】.............................................................................................................................16【题型7导数中的不等式恒成立问题】.............................................................................................................19【题型8任意存在性问题】.................................................................................................................................22【题型9函数零点嵌套问题】.............................................................................................................................26【题型10双变量问题】.......................................................................................................................................30导数是高考数学的必考内容，是高考常考的热点内容，主要涉及导数的运算及几何意义，利用导数研究函数的单调性，函数的极值和最值问题等，考查分类讨论、数形结合、转化与化归等思想.从近三年的高考情况来看，导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小；利用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题，解题时要灵活求解．【知识点1切线方程的求法】1.求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：①求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率；②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0).2.求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：①设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)；②利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)；③将已知条件代入②中的切线方程求解.【知识点2导数中函数单调性问题的解题策略】1.确定函数单调区间的步骤；(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f'(x)；(3)解不等式f'(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f'(x)0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.2.含参函数的单调性的解题策略：(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.3.根据函数单调性求参数的一般思路：(1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集.(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.【知识点3函数的极值与最值问题的解题思路】1.运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f'(x)；(3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号；(5)求出极值.2.根据函数极值求参数的一般思路：已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.3.利用导数求函数最值的解题策略：(1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤：①求函数在(a,b)内的极值；②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤：求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.【知识点4导数的综合应用】1.导数中函数的零点（方程的根）的求解策略(1)利用导数研究方程根（函数零点）的技巧①研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等．②根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置．③利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．(2)已知函数零点个数求参数的常用方法①分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．②分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．2.导数中恒成立、存在性问题的求解策略恒成立（或存在性）问题常常运用分离参数法，转化为求具体函数的最值问题．如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论，利用函数性质求解，常见的是利用函数单调性求解函数的最大、最小值；当不能用分离参数法或借助于分类讨论解决问题时，还可以考虑利用函数图象来求解，即利用数形结合思想解决恒成立（或存在性）问题，此时应先构造函数，结合函数图象，利用导数来求解．【题型1函数切线问题】【例1】（2023·全国·模拟预测）若曲线𝑦=(1−𝑥)e𝑥有两条过点𝐴(𝑎,0)的切线，则𝑎的取值范围是（）A．(−∞,−1)∪(3,+∞)B．(−3,1)C．(−∞,−3)D．(−∞,−3)∪(1,+∞)【解题思路】根据题意，由导数的几何意义表示出切线方程，然后列出不等式代入计算，即可得到结果.【解答过程】设切点为(𝑥0,(1−𝑥0)e𝑥0)，由已知得𝑦′=−𝑥e𝑥，则切线斜率𝑘=−𝑥0e𝑥0，切线方程为𝑦−(1−𝑥0)e𝑥0=−𝑥0e𝑥0(𝑥−𝑥0)．∵直线过点𝐴(𝑎,0)，∴−(1−𝑥0)e𝑥0=−𝑥0e𝑥0(𝑎−𝑥0)，化简得𝑥02−(𝑎+1)𝑥0+1=0．∵切线有2条，∴Δ=(𝑎+1)2−40，则𝑎的取值范围是(−∞,−3)∪(1,+∞)，故选：D.【变式1-1】（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知函数𝑓(𝑥)=1e𝑥−1，则曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(−1,𝑓(−1))处的切线方程为（）A．e𝑥+𝑦+1=0B．e𝑥−𝑦+1=0C．e𝑥+𝑦−1=0D．e𝑥−𝑦−1=0【解题思路】先由导数求切线的斜率，再求出切点，结合点斜式方程写出即可.【解答过程】由𝑓(𝑥)=1e𝑥−1，得𝑓′(𝑥)=−1e𝑥，所以𝑓′(−1)=−e，又𝑓(−1)=e−1，故曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(−1,𝑓(−1))处的切线的方程为𝑦−(e−1)=−e(𝑥+1)，即e𝑥+𝑦+1=0.故选：A.【变式1-2】（2023·四川雅安·统考一模）若直线𝑦=𝑘𝑥与曲线𝑦=ln𝑥相切，则𝑘=（）A．1e2B．2e2C．1eD．2e【解题思路】利用导数的几何意义计算即可.【解答过程】设切点为(𝑥0,ln𝑥0)，则由题意可知𝑓′(𝑥)=1𝑥⇒𝑓′(𝑥0)=1𝑥0=𝑘，所以{1𝑥0=𝑘𝑘𝑥0=ln𝑥0⇒{𝑥0=e𝑘=1e.故选：C.【变式1-3】（2023·四川凉山·统考一模）函数𝑓(𝑥)=12𝑥2+𝑎ln𝑥在区间(1,2)的图象上存在两条相互垂直的切线，则𝑎的取值范围为（）A．(−2,1)B．(−2,−1)C．(−2,0)D．(−3,−2)【解题思路】利用导数的几何意义结合导函数的单调性计算即可.【解答过程】由𝑓(𝑥)=12𝑥2+𝑎ln𝑥⇒𝑓′(𝑥)=𝑥+𝑎𝑥(𝑥0)，不妨设这两条相互垂直的切线的切点为(𝑥1,𝑓(𝑥1)),(𝑥2,𝑓(𝑥2))，且𝑓′(𝑥1)⋅𝑓′(𝑥2)=−1若𝑎≥0，则𝑓′(𝑥)0恒成立，不符合题意，可排除A项；所以𝑎0，此时易知𝑦=𝑓′(𝑥)单调递增，要满足题意则需{𝑓′(1)=1+𝑎0𝑓′(2)=2+𝑎20𝑓′(1)𝑓′(2)=(1+𝑎)(2+𝑎2)−1⇒𝑎∈(−3,−2).故选：D.【题型2导数中函数的单调性问题】【例2】（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,+∞)上单调递增的是（）A．𝑦=1𝑥2B．𝑦=e−2𝑥C．𝑦=−𝑥2+1D．𝑦=lg|𝑥|【解题思路】求导判断函数单调性，并结合偶函数的定义逐一判断即可.【解答过程】对于A选项：当𝑥∈(0,+∞)时，𝑦=1𝑥2的导函数为𝑦′=−2𝑥30，所以𝑦=1𝑥2在𝑥∈(0,+∞)时单调递减，故A选项不符合题意；对于B选项：当𝑥∈(0,+∞)时，𝑦=e−2𝑥的导函数为𝑦=−2e−2𝑥0，所以𝑦=e−2𝑥在𝑥∈(0,+∞)时单调递减，故B选项不符合题意；对于C选项：当𝑥∈(0,+∞)时，𝑦=−𝑥2+1的导函数为𝑦′=−2𝑥0，所以𝑦=−𝑥2+1在𝑥∈(0,+∞)时单调递减，故C选项不符合题意；对于D选项：当𝑥∈(0,+∞)时，𝑦=lg|𝑥|=lg𝑥的导函数为𝑦′=1𝑥⋅ln100，所以𝑦=1𝑥2在𝑥∈(0,+∞)时单调递增，又函数𝑦=lg|𝑥|的定义域为