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重难点03函数性质的灵活运用【八大题型】【新高考专用】【题型1函数的单调性的综合应用】...................................................................................................................3【题型2函数的最值问题】...................................................................................................................................5【题型3函数的奇偶性的综合应用】...................................................................................................................8【题型4函数的对称性的应用】.........................................................................................................................10【题型5对称性与周期性的综合应用】.............................................................................................................12【题型6类周期函数】.........................................................................................................................................16【题型7抽象函数的性质】.................................................................................................................................19【题型8函数性质的综合应用】.........................................................................................................................23从近几年的高考情况来看，本节是高考的一个热点内容，函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想，灵活求解．对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性、奇偶性，主要考察方向是：判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小；对于解答题部分，一般与导数相结合，考查难度较大.【知识点1函数的单调性与最值的求解方法】1.求函数的单调区间求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.2.函数单调性的判断(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.(2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.(3)函数单调性的几条常用结论：①若()fx是增函数，则()fx为减函数；若()fx是减函数，则()fx为增函数；②若()fx和()gx均为增（或减）函数，则在()fx和()gx的公共定义域上()()fxgx为增（或减）函数；③若()0fx且()fx为增函数，则函数()fx为增函数，1()fx为减函数；④若()0fx且()fx为减函数，则函数()fx为减函数，1()fx为增函数．3.求函数最值的三种基本方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.4.复杂函数求最值：对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.【知识点2函数的奇偶性及其应用】1.函数奇偶性的判断判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.(3)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如()(),()(),()(),()()fxgxfxgxfxgxfxgx．对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇()奇=偶；奇()偶=奇；偶()偶=偶．(4)复合函数[()]yfgx的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇．(5)常见奇偶性函数模型奇函数：①函数1()()01xxafxmxa()或函数1()()1xxafxma．②函数()()xxfxaa．③函数2()loglog(1)aaxmmfxxmxm或函数2()loglog(1)aaxmmfxxmxm④函数2()log(1)afxxx或函数2()log(1)afxxx．2.函数奇偶性的应用(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.【知识点3函数的周期性与对称性常用结论】1．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数)(1)若f(x+a)=f(x)，则T=a；(2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a；(3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a；(4)若f(x+a)=，则T=2a；(5)若f(x+a)=，则T=2a；(6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b);2．对称性的三个常用结论(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称.(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称.(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称.3．函数的的对称性与周期性的关系(1)若函数()yfx有两条对称轴xa，()xbab，则函数()fx是周期函数，且2()Tba；(2)若函数()yfx的图象有两个对称中心(,),(,)()acbcab，则函数()yfx是周期函数，且2()Tba；(3)若函数()yfx有一条对称轴xa和一个对称中心(,0)()bab，则函数()yfx是周期函数，且4()Tba．【题型1函数的单调性的综合应用】【例1】（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知函数𝑓(𝑥)的定义域为R，若对∀𝑥∈R都有𝑓(3+𝑥)=𝑓(1−𝑥)，且𝑓(𝑥)在(2，+∞)上单调递减，则𝑓(1)，𝑓(2)与𝑓(4)的大小关系是（）A．𝑓(4)𝑓(1)𝑓(2)B．𝑓(2)𝑓(1)𝑓(4)C．𝑓(1)𝑓(2)𝑓(4)D．𝑓(4)𝑓(2)𝑓(1)【解题思路】由𝑓(3+𝑥)=𝑓(1−𝑥)，得到𝑓(1)=𝑓(3)，利用单调性即可判断大小关系，即可求解．【解答过程】因为对∀𝑥∈R都有𝑓(3+𝑥)=𝑓(1−𝑥)，所以𝑓(1)=𝑓(3−2)=𝑓[1−(−2)]=𝑓(3)又因为𝑓(𝑥)在(2，+∞)上单调递减，且234，所以𝑓(4)𝑓(3)𝑓(2)，即𝑓(4)𝑓(1)𝑓(2)．故选：A．【变式1-1】（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模）定义在R上的函数f（x）满足𝑓(2−𝑥)=𝑓(𝑥)，且当𝑥≥1时，𝑓(𝑥)单调递增，则不等式𝑓(2−𝑥)≥𝑓(𝑥+1)的解集为（）A．[12,+∞)B．(0,12]C．(−∞,−12]D．(−∞,12]【解题思路】根据函数的对称性和单调性即可.【解答过程】由𝑓(2−𝑥)=𝑓(𝑥)，得𝑓(𝑥)的对称轴方程为𝑥=1，故|(2−𝑥)−1|≥|(𝑥+1)−1|，即(1−𝑥)2≥𝑥2，解得𝑥≤12．故选：D.【变式1-2】（2023上·江西鹰潭·高三校考阶段练习）已知函数𝑓(𝑥)={−𝑥2+2𝑎𝑥+4,𝑥⩽1,1𝑥,𝑥1是[−12,+∞)上的减函数，则𝑎的取值范围是（）A．[−1,−12]B．(−∞,−1]C．[−1,−12)D．(−∞,−1)【解题思路】首先分析知，𝑥1，函数单调递减，则𝑥⩽1也应为减函数，同时注意分界点处的纵坐标大小关系即可列出不等式组，解出即可.【解答过程】显然当𝑥1时，𝑓(𝑥)=1𝑥为单调减函数，𝑓(𝑥)𝑓(1)=1当𝑥⩽1时，𝑓(𝑥)=−𝑥2+2𝑎𝑥+4，则对称轴为𝑥=−2𝑎2×(−1)=𝑎，𝑓(1)=2𝑎+3若𝑓(𝑥)是[−12,+∞)上减函数，则{𝑎≤−122𝑎+3≥1解得𝑎∈[−1,−12]，故选：A.【变式1-3】（2023·四川绵阳·统考三模）设函数𝑓(𝑥)为|𝑥|−1与𝑥2−2𝑎𝑥+𝑎+3中较大的数，若存在𝑥使得𝑓(𝑥)≤0成立，则实数𝑎的取值范围为（）A．[−43,−1)∪(1,4]B．(−∞,−43]∪[4,+∞)C．(−∞,1−√132)∪(1+√132,4]D．[−1,1]【解题思路】根据绝对值函数的图像和二次函数讨论对称轴判定函数的图像即可求解.【解答过程】因为𝑓(𝑥)=max{|𝑥|−1,𝑥2−2𝑎𝑥+𝑎+3}，所以𝑓(𝑥)代表|𝑥|−1与𝑥2−2𝑎𝑥+𝑎+3两个函数中的较大者，不妨假设𝑔(𝑥)=|𝑥|−1,ℎ(𝑥)=𝑥2−2𝑎𝑥+𝑎+3𝑔(𝑥)的函数图像如下图所示：ℎ(𝑥)=𝑥2−2𝑎𝑥+𝑎+3是二次函数，开口向上，对称轴为直线𝑥=𝑎，①当𝑎−1时，ℎ(𝑥)=𝑥2−2𝑎𝑥+𝑎+3在[−1,1]上是增函数，需要ℎ(−1)=(−1)2−2𝑎(−1)+𝑎+3=3𝑎+4≤0即𝑎≤−43，则存在𝑥使得𝑓(𝑥)≤0成立，故𝑎≤−43；②当−1≤𝑎≤1时，ℎ(𝑥)=𝑥2−2𝑎𝑥+𝑎+3在[−1,1]上是先减后增函数，需要ℎ(𝑥)min=ℎ(𝑎)=𝑎2−2𝑎⋅𝑎+𝑎+3=−𝑎2+𝑎+3≤0，即𝑎2−𝑎−3≥0，解得𝑎≥1+√132或𝑎≤1−√132，又1+√1321，1−√132−1故−1≤𝑎≤1时无解；③当𝑎1时，ℎ(𝑥)=𝑥2−2𝑎𝑥+𝑎+3在[−1,1]上是减函数，需要ℎ(1)=12−2𝑎+𝑎+3=−𝑎+4≤0即𝑎≥4，则存在𝑥使得𝑓(𝑥)≤0成立，故𝑎≥4.综上所述，𝑎的取值范围为(−∞,−43]∪[4,+∞).故选：B.【题型2函数的最值问题】【例2】（2023·江西九江·校考模拟预测）若0𝑥6，则6𝑥−𝑥2有（）A．最小值3B．最大值3C．最小值9D．最大值9【解题思路】根据二次函数的性质进行求解即可.【解答过程】令𝑦=6𝑥−𝑥2=−(𝑥−3)2+9，对称轴为𝑥=3，开口向下，因为0𝑥6