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重难点02一元二次不等式恒成立、能成立问题【六大题型】【新高考专用】【题型1一元二次不等式在实数集上恒成立问题】...........................................................................................2【题型2一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】........................................................................................4【题型3给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题】....................................................................................6【题型4一元二次不等式在实数集上有解问题】................................................................................................9【题型5一元二次不等式在某区间上有解问题】..............................................................................................11【题型6一元二次不等式恒成立、有解问题的综合应用】..............................................................................14一元二次不等式是高考数学的重要内容.其中，“含参不等式恒成立与能成立问题”是常考的热点内容，这类问题把不等式、函数、三角、几何等知识有机地结合起来，其以覆盖知识点多、综合性强、解法灵活等特点备受高考命题者的青睐.另一方面，在解决这类数学问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维能力都起到很好的作用.一元二次不等式应用广泛，考察灵活，高考复习过程要注重知识与方法的灵活运用.【知识点1一元二次不等式恒成立、能成立问题】1．一元二次不等式恒成立、能成立问题不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c0，它的解集为R的条件为a0，Δ＝b2－4ac0；一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为a0，Δ＝b2－4ac≤0；一元二次不等式ax2＋bx＋c0的解集为∅的条件为a0，Δ≤0.2．一元二次不等式恒成立问题的求解方法(1)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立.(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数.①若ax2+bx+c0恒成立，则有a0，且△0；若ax2+bx+c0恒成立，则有a0，且△0.②对第二种情况，要充分结合函数图象利用函数的最值求解(也可采用分离参数的方法).3．给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题的解题策略解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数；即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解.4．常见不等式恒成立及有解问题的函数处理策略不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下：(1)对任意的x∈[m,n]，af(x)恒成立af(x)max；若存在x∈[m,n]，af(x)有解af(x)min；若对任意x∈[m,n]，af(x)无解a≤f(x)min.(2)对任意的x∈[m,n]，af(x)恒成立af(x)min；若存在x∈[m,n]，af(x)有解af(x)max；若对任意x∈[m,n]，af(x)无解a≥f(x)max.【题型1一元二次不等式在实数集上恒成立问题】【例1】（2023·江西九江·校考模拟预测）无论𝑥取何值时，不等式𝑥2−2𝑘𝑥+40恒成立，则𝑘的取值范围是（）A．(−∞,−2)B．(−∞,−4)C．(−4,4)D．(−2,2)【解题思路】由题知4𝑘2−160，再解不等式即可得答案.【解答过程】解：因为无论𝑥取何值时，不等式𝑥2−2𝑘𝑥+40恒成立，所以，4𝑘2−160，解得−2𝑘2，所以，𝑘的取值范围是(−2,2)故选：D.【变式1-1】（2023·山东潍坊·统考一模）“𝑏∈(−2,2)”是“∀𝑥∈𝑅，𝑥2−𝑏𝑥+1≥0成立”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解题思路】由不等式𝑥2−𝑏𝑥+1≥0恒成立，可求得−2≤𝑏≤2，即可得出答案.【解答过程】因为∀𝑥∈𝑅，𝑥2−𝑏𝑥+1≥0成立，则Δ=(−𝑏)2−4≤0，即−2≤𝑏≤2.所以，“𝑏∈(−2,2)”是“∀𝑥∈𝑅，𝑥2−𝑏𝑥+1≥0成立”的充分不必要条件.故选：A.【变式1-2】（2023上·福建三明·高一校联考期中）己知函数𝑓(𝑥)=−𝑥2+𝑎𝑥−4．(1)当𝑎=5时，解不等式𝑓(𝑥)0;(2)若不等式𝑓(𝑥)≤0的解集为R，求实数a的取值范围．【解题思路】（1）不等式变形，使得二次项系数为正，确定相应方程的根后可得不等式的解；（2）由Δ≤0可得．【解答过程】（1）当𝑎=5时，𝑓(𝑥)0即−𝑥2+5𝑥−40⇔𝑥2−5𝑥+40，解方程𝑥2−5𝑥+4=0，即(𝑥−1)(𝑥−4)=0得𝑥1=1,𝑥2=4．∴不等式的解集为{𝑥∣𝑥1或𝑥4}；（2）若不等式𝑓(𝑥)≤0的解集是R，则Δ=𝑎2−16≤0，解得−4≤𝑎≤4，故实数a的取值范围是[−4,4]．【变式1-3】（2023上·浙江·高一校联考期中）已知函数𝑓(𝑥)=(𝑎2−2𝑎)𝑥2+(2𝑎−2)𝑥+1．(1)若对∀𝑥∈𝑅，都有𝑓(𝑥)−1成立，求实数a的取值范围；(2)解关于x的不等式𝑓(𝑥)0．【解题思路】（1）化简不等式𝑓(𝑥)−1，根据𝑎2−2𝑎的符号进行分类讨论，由此求得𝑎的取值范围.（2）化简不等式𝑓(𝑥)0，对𝑎进行分类讨论，由此求得不等式的解集.【解答过程】（1）对∀𝑥∈𝑅，都有𝑓(𝑥)−1成立，即(𝑎2−2𝑎)𝑥2+(2𝑎−2)𝑥+20成立，①{𝑎2−2𝑎=02𝑎−2=020，无解；②{𝑎2−2𝑎0Δ=(2𝑎−2)2−8(𝑎2−2𝑎)0，解得：𝑎1+√2或𝑎1−√2．综上，𝑎∈(−∞,1−√2)∪(1+√2,+∞)．（2）𝑓(𝑥)=(𝑎2−2𝑎)𝑥2+(2𝑎−2)𝑥+10，即(𝑎𝑥+1)[(𝑎−2)𝑥+1]0，①当𝑎=0时，−2𝑥+10，∴𝑥12；②当𝑎=2时，2𝑥+10，∴𝑥−12；③当0𝑎2时，−1𝑎0−1𝑎−2，∴−1𝑎𝑥−1𝑎−2；④当𝑎0或𝑎2时，−1𝑎−2−1𝑎，∴𝑥−1𝑎−2或𝑥−1𝑎．综上，当𝑎=0时，原不等式解集为(−∞,12)；当𝑎=2时，原不等式解集为𝑥∈(−12,+∞)；当0𝑎2时，原不等式解集为(−1𝑎,−1𝑎−2)；当𝑎0或𝑎2时，原不等式解集为(−∞,−1𝑎−2)∪(−1𝑎,+∞)．【题型2一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】【例2】（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）已知当𝑥0时，不等式：𝑥2−𝑚𝑥+160恒成立，则实数𝑚的取值范围是（）A．(−8,8)B．(−∞,8]C．(−∞,8)D．(8,+∞)【解题思路】先由𝑥2−𝑚𝑥+160得𝑚𝑥+16𝑥，由基本不等式得𝑥+16𝑥≥8，故𝑚8.【解答过程】当𝑥0时，由𝑥2−𝑚𝑥+160得𝑚𝑥+16𝑥，因𝑥0，故𝑥+16𝑥≥2√𝑥×16𝑥=8，当且仅当𝑥=16𝑥即𝑥=4时等号成立，因当𝑥0时，𝑚𝑥+16𝑥恒成立，得𝑚8，故选：C.【变式2-1】（2023上·辽宁铁岭·高三校联考期中）已知∀𝑥∈[1,2]，∀𝑦∈[2,3]，𝑦2−𝑥𝑦−𝑚𝑥2≤0，则实数m的取值范围是（）A．[4,+∞)B．[0,+∞)C．[6,+∞)D．[8,+∞)【解题思路】首先将不等式转化为关于𝑦𝑥的不等式，再根据参变分离，转化为求函数的最值.【解答过程】因为𝑥∈[1,2]，𝑦∈[2,3]，则1𝑥∈[12,1]，所以𝑦𝑥∈[1,3]，又𝑦2−𝑥𝑦−𝑚𝑥2≤0，可得𝑚≥(𝑦𝑥)2−𝑦𝑥，令𝑡=𝑦𝑥∈[1,3]，则原题意等价于∀𝑡∈[1,3]，𝑚≥𝑡2−𝑡，即𝑚≥(𝑡2−𝑡)max，𝑡2−𝑡=(𝑡−12)2−14，当𝑡=3时，𝑦=𝑡2−𝑡取到最大值𝑦max=9−3=6，所以实数m的取值范围是[6,+∞)．故选：C.【变式2-2】（2023上·福建莆田·高一校考期中）设函数𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑡𝑥+2，其中𝑡∈𝑅.(1)若𝑡=1，且对任意的𝑥∈[𝑎,𝑎+2]，都有𝑓(𝑥)≤5，求实数𝑎的取值范围；(2)若对任意的𝑥1,𝑥2∈[0,4]，都有|𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)|≤8，求实数𝑡的取值范围.【解题思路】（1）根据𝑓(𝑥)≤5得到−1≤𝑥≤3，然后结合题意列不等式求解即可；（2）将“对任意的𝑥1，𝑥2∈[0,4]，都有|𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)|≤8”转化为“𝑀−𝑚≤8”，然后分𝑡≤0、0𝑡≤2、2𝑡≤4和𝑡4四种情况讨论即可.【解答过程】（1）当𝑡=1时，𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑥+2，令𝑓(𝑥)≤5，解得−1≤𝑥≤3，所以{𝑎≥−1𝑎+2≤3，解得−1≤𝑎≤1，所以𝑎的取值范围为[−1,1].（2）设函数𝑓(𝑥)在区间[0,4]上的最大值为𝑀，最小值为𝑚，所以“对任意的𝑥1，𝑥2∈[0,4]，都有|𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)|≤8”等价于“𝑀−𝑚≤8”，①当𝑡≤0时，𝑀=𝑓(4)=18−8𝑡，𝑚=𝑓(0)=2，由𝑀−𝑚=18−8𝑡−2=16−8𝑡≤8，得𝑡≥1，从而此时𝑡∈∅；②当0𝑡≤2时，𝑀=𝑓(4)=18−8𝑡，𝑚=𝑓(𝑡)=2−𝑡2，由𝑀−𝑚=18−8𝑡−(2−𝑡2)=𝑡2−8𝑡+16=(𝑡−4)2≤8得4−2√2≤𝑡≤4+2√2，从而4−2√2≤𝑡≤2；③当2𝑡≤4时，𝑀=𝑓(0)=2，𝑚=𝑓(𝑡)=2−𝑡2，由𝑀−𝑚=2−(2−𝑡2)=𝑡2≤8，得−2√2≤𝑡≤2√2，从而2𝑡≤2√2；④当𝑡4时，𝑀=𝑓(0)=2，𝑚=𝑓(4)=18−8𝑡，由𝑀−𝑚=2−(18−8𝑡)=8𝑡−16≤8得𝑡≤3，从而此时𝑡∈∅；综上可得，𝑡的取值范围为[4−2√2,2√2].【变式2-3】（2023上·江苏盐城·高一校联考期中）设函数𝑓(𝑥)=𝑚𝑥2−𝑚𝑥−1．(1)若对于𝑥∈[−1,1],𝑓(𝑥)−𝑚+5恒成立，求𝑚的取值范围；(2)若对于𝑚∈[−2,2],𝑓(𝑥)−𝑚+5恒成立，求𝑥的取值范围．【解题思路】（1）先转化为𝑚6𝑥2−𝑥+1对于𝑥∈[−1,1]恒成立，再求𝑦=6𝑥2−𝑥+1,𝑥∈[−1,1]的最小值,即得m的取值范围.（2）题设条件可以转化为𝑚(𝑥2−𝑥+1)−60对于𝑚∈[−2,2]恒成立,将𝑚=−2,𝑚