搜索
重难点01利用基本不等式求最值【八大题型】【新高考专用】【题型1直接法求最值】.......................................................................................................................................2【题型2配凑法求最值】.......................................................................................................................................3【题型3常数代换法求最值】...............................................................................................................................4【题型4消元法求最值】.......................................................................................................................................6【题型5构造不等式法求最值】...........................................................................................................................7【题型6多次使用基本不等式求最值】.............................................................................................................10【题型7实际应用中的最值问题】.....................................................................................................................12【题型8与其他知识交汇的最值问题】.............................................................................................................16基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点.题型通常为选择题或填空题，但它的应用范围很广，涉及到函数、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何、导数等内容，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等.在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点.在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用.【知识点1利用基本不等式求最值的方法】1．利用基本不等式求最值的几种方法(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.(5)构造不等式法：构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解.【知识点2基本不等式的实际应用】1．基本不等式的实际应用的解题策略(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.(3)在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解.【题型1直接法求最值】【例1】（2023上·北京·高一校考阶段练习）已知𝑎0，则𝑎+1𝑎+1的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【解题思路】用基本不等式求解即可.【解答过程】因为𝑎0，所以𝑎+1𝑎+1≥2√𝑎⋅1𝑎+1=3，当且仅当𝑎=1𝑎即𝑎=1时取等号；故选：B.【变式1-1】（2023·北京东城·统考一模）已知𝑥0，则𝑥−4+4𝑥的最小值为（）A．－2B．0C．1D．2√2【解题思路】由基本不等式求得最小值．【解答过程】∵𝑥0，∴𝑥+4𝑥−4≥2√𝑥×4𝑥−4=0，当且仅当𝑥=4𝑥即𝑥=2时等号成立．故选：B．【变式1-2】（2023上·山东·高一统考期中）函数𝑦=𝑥2−𝑥+9𝑥（𝑥0）的最小值为（）A．1B．3C．5D．9【解题思路】利用均值不等式求最小值即可.【解答过程】𝑦=𝑥2−𝑥+9𝑥=𝑥+9𝑥−1≥2√𝑥⋅9𝑥−1=5，当且仅当𝑥=9𝑥，即𝑥=3时等号成立，故选：C.【变式1-3】（2023下·江西·高三校联考阶段练习）(3+1𝑥2)(1+4𝑥2)的最小值为（）A．9√3B．7+4√2C．8√3D．7+4√3【解题思路】依题意可得(3+1𝑥2)(1+4𝑥2)=7+1𝑥2+12𝑥2，再利用基本不等式计算可得.【解答过程】(3+1𝑥2)(1+4𝑥2)=7+1𝑥2+12𝑥2≥7+2√1𝑥2⋅12𝑥2=7+4√3，当且仅当1𝑥2=12𝑥2，即𝑥4=112时，等号成立，故(3+1𝑥2)(1+4𝑥2)的最小值为7+4√3.故选：D.【题型2配凑法求最值】【例2】（2023·浙江·校联考模拟预测）已知𝑎1，则𝑎+16𝑎−1的最小值为（）A．8B．9C．10D．11【解题思路】运用基本不等式的性质进行求解即可.【解答过程】因为𝑎1，所以由𝑎+16𝑎−1=𝑎−1+16𝑎−1+1≥2√(𝑎−1)⋅16𝑎−1+1=9，当且仅当𝑎−1=16𝑎−1时取等号，即𝑎=5时取等号，故选：B.【变式2-1】（2023上·吉林·高一校考阶段练习）已知𝑥3，则𝑦=2𝑥−3+2𝑥的最小值是（）A．6B．8C．10D．12【解题思路】利用基本不等式求和的最小值，注意取值条件.【解答过程】由𝑥−30，则𝑦=2𝑥−3+2(𝑥−3)+6≥2√2𝑥−3⋅2(𝑥−3)+6=10，当且仅当𝑥=4时等号成立，故最小值为10.故选：C.【变式2-2】（2023上·海南省直辖县级单位·高三校联考阶段练习）设𝑥2，则函数𝑦=4𝑥−1+4𝑥−2，的最小值为（）A．7B．8C．14D．15【解题思路】利用基本不等式求解.【解答过程】因为𝑥2，所以𝑥−20，所以𝑦=4𝑥−1+4𝑥−2=4(𝑥−2)+4𝑥−2+7≥2√4(𝑥−2)⋅4𝑥−2+7=15，当且仅当4(𝑥−2)=4𝑥−2，即𝑥=3时等号成立，所以函数𝑦=4𝑥−1+4𝑥−2的最小值为15，故选:D．【变式2-3】（2023上·辽宁·高一校联考期中）若𝑥0，𝑦0且满足𝑥+𝑦=𝑥𝑦，则2𝑥𝑥−1+4𝑦𝑦−1的最小值为（）A．6+2√6B．4+6√2C．2+4√6D．6+4√2【解题思路】结合条件等式，利用基本不等式求和的最小值.【解答过程】若𝑥0，𝑦0且满足𝑥+𝑦=𝑥𝑦，则有1𝑥+1𝑦=1，所以𝑥1，𝑦1，2𝑥𝑥−1+4𝑦𝑦−1=2(𝑥−1)+2𝑥−1+4(𝑦−1)+4𝑦−1=6+2𝑥−1+4𝑦−1≥6+2√2𝑥−1⋅4𝑦−1=6+2√8𝑥y−(𝑥+𝑦)+1=6+4√2，当且仅当2𝑥−1=4𝑦−1，即𝑥=1+√22,𝑦=1+√2时等号成立.所以2𝑥𝑥−1+4𝑦𝑦−1的最小值为6+4√2.故选：D.【题型3常数代换法求最值】【例3】（2023上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）已知𝑎0，𝑏0，若2𝑎+3𝑏=1，则2𝑎+𝑏3的最小值是（）A．8B．9C．10D．11【解题思路】利用基本不等式“1”的应用即可求解.【解答过程】由题意得𝑎0，𝑏0，2𝑎+3𝑏=1，所以2𝑎+𝑏3=(2𝑎+𝑏3)(2𝑎+3𝑏)=4+1+2𝑏3𝑎+6𝑎𝑏≥5+2√2𝑏3𝑎×6𝑎𝑏=9，当且仅当2𝑏3𝑎=6𝑎𝑏时，即𝑎=3，𝑏=9，取等号，故B项正确.故选：B.【变式3-1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知正实数𝑎，𝑏，点𝑀(1,4)在直线𝑥𝑎+𝑦𝑏=1上，则𝑎+𝑏的最小值为（）A．4B．6C．9D．12【解题思路】根据题意可得1𝑎+4𝑏=1，结合基本不等式运算求解.【解答过程】由题意得1𝑎+4𝑏=1，且𝑎0,𝑏0，故𝑎+𝑏=(𝑎+𝑏)⋅(1𝑎+4𝑏)=5+𝑏𝑎+4𝑎𝑏≥5+2√𝑏𝑎×4𝑎𝑏=9，当且仅当𝑏𝑎=4𝑎𝑏，即𝑎=3，𝑏=6时，等号成立.故选：C.【变式3-2】（2023上·重庆·高一统考期末）若正实数x，y满足2𝑥+8𝑦−𝑥𝑦=0，则2𝑥+𝑦的最大值为（）A．25B．16C．37D．19【解题思路】根据等式计算得出1，再结合常值代换求和的最值，计算可得最大值.【解答过程】∵𝑥0,𝑦0,2𝑥+8𝑦−𝑥𝑦=0,∴2𝑦+8𝑥=1,𝑥+𝑦=(𝑥+𝑦)(2𝑦+8𝑥)=2𝑥𝑦+8+2+8𝑦𝑥≥2√2𝑥𝑦×8𝑦𝑥+10=18,∴2𝑥+𝑦≤218=19.故选:D.【变式3-3】（2023·重庆·统考一模）已知a，b为非负实数，且2𝑎+𝑏=1，则2𝑎2𝑎+1+𝑏2+1𝑏的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【解题思路】首先根据题意求出0≤𝑎12，0𝑏≤1，然后将原式变形得2𝑎2𝑎+1+𝑏2+1𝑏=2𝑎+1+1𝑏−1，最后利用1的妙用即可求出其最值.【解答过程】∵2𝑎+𝑏=1，且𝑎,𝑏为非负实数，𝑏≠0，则𝑎≥0,𝑏0则𝑏=1−2𝑎0，解得0≤𝑎12，2𝑎=1−𝑏≥0，解得0𝑏≤1，∴2𝑎2𝑎+1+𝑏2+1𝑏=2(𝑎+1)2−4(𝑎+1)+2𝑎+1+𝑏2+1𝑏=2(𝑎+1)−4+2𝑎+1+𝑏+1𝑏=(2𝑎+𝑏−2)+2𝑎+1+1𝑏=2𝑎+1+1𝑏−12𝑎+1+1𝑏=42𝑎+2+1𝑏=13[(2𝑎+2)+𝑏]⋅(42𝑎+2+1𝑏)=13(5+4𝑏2𝑎+2+2𝑎+2𝑏)≥13(5+2√4𝑏2𝑎+2⋅2𝑎+2𝑏)=3，当且仅当4𝑏2𝑎+2=2𝑎+2𝑏即2𝑎+2=2𝑏，2𝑎+𝑏=1时,即𝑏=1,𝑎=0时等号成立，故(2𝑎+1+1𝑏−1)min=2，故选：B.【题型4消元法求最值】【例4】（2023上·江苏·高一校联考阶段练习）已知正数x，y满足3𝑥−4=9𝑦，则𝑥+8𝑦的最小值为12.【解题思路】根据指数方程，得出𝑥,𝑦的关系式，运用消元法将所求式化成关于𝑦的关系式，再利用基本不等式求解.【解答过程】由3𝑥−4=9𝑦，可得𝑥−4=2𝑦，即𝑥=2𝑦+4，代入𝑥+8𝑦中，可得2𝑦+4+8𝑦=2𝑦+8𝑦+4≥2√2𝑦⋅8𝑦+4=12,当且仅当𝑦=2,𝑥=8时，取等号，所以𝑥+8𝑦的最小值为12.故答案为：12.【变式4-1】（2023上·安徽池州·高一统考期中）已知𝑥,𝑦∈R+，若2𝑥+𝑦+𝑥𝑦=7，则𝑥+2𝑦的最小值为