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专题5.2平面向量的数量积及其应用【七大题型】【新高考专用】【题型1平面向量的数量积】...............................................................................................................................2【题型2平面向量夹角问题】...............................................................................................................................5【题型3平面向量的模】.......................................................................................................................................7【题型4平面向量的垂直问题】...........................................................................................................................9【题型5向量数量积的坐标运算】.....................................................................................................................11【题型6向量数量积的综合应用】.....................................................................................................................12【题型7向量数量积与解三角形综合】.............................................................................................................171、平面向量的数量积及其应用平面向量是高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来分析，试题主要以选择题、填空题的形式呈现，其中平面向量的数量积、夹角、模与垂直条件等知识是高考的重点、热点内容，难度中等.学生在高考复习中应注意加强对向量的数量积、数量积的坐标表示的掌握，能灵活运用定义法、坐标法和基底法解决常见的数量积有关问题.【知识点1平面向量数量积的解题方法】1.平面向量数量积的两种运算方法(1)基底法：当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题；(2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.【知识点2数量积的两大应用】1.夹角与垂直根据平面向量数量积的性质：若，为非零向量，则(夹角公式)，等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.2.向量的模的求解思路：(1)坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式；(2)公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算；(3)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.【知识点3向量数量积综合应用的方法和思想】1.向量数量积综合应用的三大解题方法(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.(2)基向量法：适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解.(3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用.【知识点4极化恒等式】1.极化恒等式的证明过程与几何意义(1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：2222||||2(||||)ababab.证明：不妨设,ABaADb，则CAab，DBab，22222C2ACAabaabb①，222222DBDBabaabb②，①②两式相加得：22222222ACDBabABAD.(2)极化恒等式：上面两式相减，得：2214abab————极化恒等式平行四边形模式：2214abACDB.(3)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14．【题型1平面向量的数量积】【例1】（2023·广东东莞·东莞市东华高级中学校考一模）在△𝐴𝐵𝐶中，|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=4，|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=3，|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|，则𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=（）A．−16B．16C．−9D．9【解题思路】由𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗得|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|，两边平方后得到𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0，从而利用𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⋅(𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)求出答案.【解答过程】由题意得在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，故由|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=4，|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=3，|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|，得|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|2=|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|2，𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗2+2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗2=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗2−2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗2，即16+9+2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=16+9−2𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，即𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0，故𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⋅(𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗2−𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=9.故选：D.【变式1-1】（2023·天津红桥·统考二模）已知菱形ABCD的边长为2，∠𝐵𝐴𝐷=120°，点E在边BC上，𝐵𝐶=3𝐵𝐸，若G为线段DC上的动点，则𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗的最大值为（）A．2B．83C．103D．4【解题思路】利用向量的数量积的定义及数量积的运算，结合向量的线性运算即可求解.【解答过程】由题意可知，如图所示因为菱形ABCD的边长为2，∠𝐵𝐴𝐷=120°，所以|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|=2,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗||𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|cos120°=2×2×(−12)=−2，设𝐷𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,𝜆∈[0,1]，则𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝜆𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝜆𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，因为𝐵𝐶=3𝐵𝐸，所以𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=13𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=13𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝜆𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)⋅(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗)=13𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗2+𝜆𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗2+(1+𝜆3)𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=13×22+𝜆×22+(1+𝜆3)×(−2)=103𝜆−23,当𝜆=1时，𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗的最大值为83.故选：B.【变式1-2】（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知平面向量𝑎与𝑏⃗的夹角为45∘,𝑎⋅𝑏⃗=2，且|𝑎|=2，则(𝑎→−𝑏→)·(𝑎→+𝑏→)=（）A．−2√2B．-2C．2D．2√2【解题思路】首先根据已知条件结合数量积的定义运算求出|𝑏⃗|，然后再根据向量的运算法则进行求解即可.【解答过程】𝑎⋅𝑏⃗=|𝑎|⋅|𝑏⃗|⋅cos45∘=2×√22×|𝑏⃗|=2，解得：|𝑏⃗|=√2.因此可得：(𝑎→−𝑏→)·(𝑎→+𝑏→)=𝑎→2−𝑏→2=|𝑎→|2−|𝑏→|2=4−2=2.故选：C.【变式1-3】（2023下·广东揭阳·高三校考阶段练习）如图所示，边长为2的正△𝐴𝐵𝐶，以BC的中点O为圆心，BC为直径在点A的另一侧作半圆弧𝐵𝐶⌢，点P在圆弧上运动，则𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗的取值范围为（）A．[2,2√3]B．[2,5]C．[2,4]D．[4,3√3]【解题思路】根据给定条件，可得𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗，求出𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗的夹角范围，再利用向量数量积的定义、运算律求解作答.【解答过程】过点𝑂作𝑂𝐷//𝐴𝐵交半圆弧于点𝐷，连接𝐴𝑂,𝑂𝑃，如图，而△𝐴𝐵𝐶是正三角形，则∠𝐵𝑂𝐷=π3，令𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗夹角为𝜃，当点P在弧𝐵𝐷上时，0≤𝜃≤π3，当点P在弧𝐶𝐷上时，0≤𝜃≤2π3，于是−12≤cos𝜃≤1，显然𝐴𝑂=√3,𝑂𝑃=1,∠𝑂𝐴𝐵=π6，𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗，所以𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅(𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗)=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗||𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗|cosπ6+|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗||𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗|cos𝜃=2×√3×√32+2×1×cos𝜃=3+2cos𝜃∈[2,5].故选：B.【题型2平面向量夹角问题】【例2】（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知向量𝑎，𝑏⃗，𝑐满足|𝑎|=|𝑏⃗|=|𝑐|=3，且𝑎+𝑏⃗+23𝑐=0，则cos𝑎−𝑏⃗,𝑏⃗=（）A．−2√23B．−13C．13D．2√23【解题思路】根据题意，结合向量的夹角公式，代入计算，即可得到结果.【解答过程】因为|𝑎|=|𝑏⃗|=|𝑐|=3，且𝑎+𝑏⃗+23𝑐=0，则𝑎+𝑏⃗=−23𝑐，两边平方可得|𝑎|2+|𝑏⃗|2+2𝑎⋅𝑏⃗=49|𝑐|2，即18+2𝑎⋅𝑏⃗=49×9，所以𝑎⋅𝑏⃗=−7，且|𝑎−𝑏⃗|=√(𝑎−𝑏⃗)2=√|𝑎|2+|𝑏⃗|2−2𝑎⋅𝑏⃗=√9+9−2×(−7)=4√2，则cos𝑎−𝑏⃗,𝑏⃗=(𝑎⃗−𝑏⃗)⋅𝑏⃗|𝑎⃗−𝑏⃗|⋅|𝑏⃗|=𝑎⃗⋅𝑏⃗−|𝑏⃗|2|𝑎⃗−𝑏⃗|⋅|𝑏⃗|=−7−94√2×3=−2√23.故选：A.【变式2-1】（2023·全国·模拟预测）已知单位向量𝑒1⃗⃗⃗，𝑒2⃗⃗⃗的夹角为60°，向量𝑎=−2𝑒1⃗⃗⃗+3𝑒2⃗⃗⃗，𝑏⃗=2𝑚𝑒1⃗⃗⃗−2𝑒2⃗⃗⃗，𝑚∈𝑍，向量𝑎，𝑏⃗的夹角的余弦值为−√217，则𝑚=（）A．1B．−4C．2D．−5【解题思路】根据题意，由平面向量的夹角公式代入计算，列出方程，即可得到结果.【解答