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专题4.3正弦定理和余弦定理【八大题型】【新高考专用】【题型1正、余弦定理求三角形的边与角】........................................................................................................3【题型2正、余弦定理判定三角形形状】............................................................................................................5【题型3正弦定理判定三角形解的个数】............................................................................................................7【题型4证明三角形中的恒等式或不等式】........................................................................................................9【题型5求三角形（四边形）的面积】.............................................................................................................13【题型6求三角形中的边长或周长的最值或范围】..........................................................................................16【题型7距离、高度、角度测量问题】.............................................................................................................20【题型8正、余弦定理与三角函数性质的结合应用】......................................................................................241、正弦定理、余弦定理解三角形正弦定理、余弦定理解三角形是高考的热点内容，是每年高考必考内容之一.从近几年的高考情况来看，正弦定理、余弦定理在选择题、填空题中考查较多，也会出现在解答题中，在高考试题中出现有关解三角形的试题大多数为较易题、中档题.对于解答题，一是考查正弦定理、余弦定理的简单应用；二是考查正、余弦定理与三角形面积公式的综合应用，有时也会与三角函数、平面向量等知识综合命题，需要学生灵活求解.【知识点1解三角形几类问题的解题思路】1.正弦定理、余弦定理解三角形的两大作用(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素。(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.2.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.3.对三角形解的个数的研究已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定.(1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知a,b和A，解三角形为例加以说明.由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：①若B=1，则满足条件的三角形的个数为0；②若B==1，则满足条件的三角形的个数为1；③若B=1，则满足条件的三角形的个数为1或2.显然由0B=1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三角形内角和等于”等，此时需进行讨论.4.与三角形面积有关问题的解题策略：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.【知识点2测量问题的基本类型和解决思路】1．测量问题1.测量距离问题的基本类型和解决方案当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型：类型简图计算方法A,B间不可达也不可视测得AC=b，BC=a，C的大小，则由余弦定理得B,C与点A可视但不可达测得BC=a，B，C的大小，则A=π-(B+C)，由正弦定理得C,D与点A,B均可视不可达测得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的度数.在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB.2.测量高度问题的基本类型和解决方案当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型：类型简图计算方法底部可达测得BC=a，C的大小，AB=a·tanC.底部不可达点B与C,D共线测得CD=a及∠ACB与∠ADB的度数.先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值.点B与C,D不共线测得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度数.在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值.3.测量角度问题的解决方案测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.【题型1正、余弦定理求三角形的边与角】【例1】（2023·江西上饶·统考二模）在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶的角平分线交𝐴𝐵于点𝐷，∠𝐵=π6，𝐵𝐶=3√3，𝐴𝐵=3，则𝐶𝐷=（）A．3√62B．32C．3√22D．52【解题思路】先在△𝐴𝐵𝐶中，由余弦定理求得𝐴𝐶=3，即可知△𝐴𝐵𝐶为等腰三角形，再解出∠𝐶和∠𝐴，然后在△𝐴𝐶𝐷中，由正弦定理求解𝐶𝐷即可.【解答过程】如图所示，在△𝐴𝐵𝐶中，由余弦定理得𝐴𝐶2=𝐵𝐶2+𝐴𝐵2−2𝐵𝐶⋅𝐴𝐵⋅cos𝐵=(3√3)2+32−2×3√3×3×√32=9，∴𝐴𝐶=3=𝐴𝐵，∴△𝐴𝐵𝐶为等腰三角形，∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐵=π6，∠𝐴=π−2×π6=2π3，又∵𝐶𝐷为角平分线，∴∠𝐴𝐶𝐷=π12，∴在△𝐴𝐶𝐷中，∠𝐴𝐷𝐶=π−2π3−π12=π4，由正弦定理得𝐴𝐶sin∠𝐴𝐷𝐶=𝐶𝐷sin𝐴得，𝐶𝐷=𝐴𝐶⋅sin𝐴sin∠𝐴𝐷𝐶=3×sin2π3sinπ4=3×√32√22=3√62.故选：A．【变式1-1】（2023·四川巴中·统考一模）在△𝐴𝐵𝐶中，若2cos2𝐴−cos𝐴=2cos2𝐵+2cos2𝐶−2+cos(𝐵−𝐶)，则𝐴=（）A．π6B．π3C．2π3D．5π6【解题思路】根据平方关系、诱导公式、余弦两角和差角关系式化简已知等式为sin2𝐵+sin2𝐶−sin2𝐴=sin𝐵sin𝐶，再结合正余弦定理即可得角𝐴的大小.【解答过程】因为2cos2𝐴−cos𝐴=2cos2𝐵+2cos2𝐶−2+cos(𝐵−𝐶)，所以2(1−sin2𝐴)−cos[π−(𝐵+𝐶)]=2(1−sin2𝐵)+2(1−sin2𝐶)−2+cos(𝐵−𝐶)，则2−2sin2𝐴+cos𝐵cos𝐶−sin𝐵sin𝐶=2−2sin2𝐵−2sin2𝐶+cos𝐵cos𝐶+sin𝐵sin𝐶，整理得：sin2𝐵+sin2𝐶−sin2𝐴=sin𝐵sin𝐶由正弦定理可得：𝑏2+𝑐2−𝑎2=𝑏𝑐，再由余弦定理得cos𝐴=𝑏2+𝑐2−𝑎22𝑏𝑐=𝑏𝑐2𝑏𝑐=12，因为𝐴∈(0,π)，故𝐴=π3.故选：B.【变式1-2】（2023·四川泸州·泸州老窖天府中学校考模拟预测）在𝛥𝐴𝐵𝐶中，角𝐴、𝐵、𝐶的对边分别为𝑎、𝑏、𝑐，若𝑎=1，𝑐=2√3，𝑏sin𝐴=𝑎𝑠𝑖𝑛(𝜋3−𝐵)，则sin𝐶=（）A．√37B．√217C．√2112D．√5719【解题思路】利用两角差的正弦公式和边角互化思想可求得tan𝐵=√33，可得出𝐵=𝜋6，然后利用余弦定理求出𝑏的值，最后利用正弦定理可求出sin𝐶的值.【解答过程】∵𝑏sin𝐴=𝑎𝑠𝑖𝑛(𝜋3−𝐵)=√32acos𝐵−12𝑎sin𝐵，即sin𝐴sin𝐵=√32sin𝐴cos𝐵−12sin𝐴sin𝐵，即3sin𝐴sin𝐵=√3sin𝐴cos𝐴，∵sin𝐴0，∴3sin𝐵=√3cos𝐵，得tan𝐵=√33，∵0𝐵𝜋，∴𝐵=𝜋6.由余弦定理得𝑏=√𝑎2+𝑐2−2𝑎𝑐cos𝐵=√1+12−2×1×2√3×√32=√7，由正弦定理𝑐sin𝐶=𝑏sin𝐵，因此，sin𝐶=𝑐sin𝐵𝑏=2√3×12√7=√217.故选：B.【变式1-3】（2023·河南南阳·统考二模）△𝐴𝐵𝐶是单位圆的内接三角形，角𝐴，𝐵，𝐶的对边分别为𝑎，𝑏，𝑐，且𝑎2+𝑏2−𝑐2=4𝑎2cos𝐴−2𝑎𝑐cos𝐵，则𝑎等于（）A．2B．2√2C．√3D．1【解题思路】根据给定条件，利用余弦定理、正弦定理及和角的正弦化简给定等式，求出角A，再利用正弦定理求解作答.【解答过程】在△𝐴𝐵𝐶中，由已知及余弦定理得2𝑎𝑏cos𝐶=4𝑎2cos𝐴−2𝑎𝑐cos𝐵，即2𝑎cos𝐴=𝑏cos𝐶+𝑐cos𝐵，由正弦定理边化角得：2sin𝐴cos𝐴=sin𝐵cos𝐶+cos𝐵sin𝐶=sin(𝐵+𝐶)=sin𝐴，而0𝐴π，即sin𝐴0，则cos𝐴=12，即有𝐴=π3，又△𝐴𝐵𝐶的外接圆半径𝑅=1，所以𝑎=2𝑅sin𝐴=2sinπ3=√3.故选：C.【题型2正、余弦定理判定三角形形状】【例2】（2023·北京海淀·中央民族大学附属中学校考模拟预测）在△𝐴𝐵𝐶中，若𝑎=2𝑏cos𝐶，则△𝐴𝐵𝐶一定是（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等腰三角形【解题思路】由余弦定理化简计算即可.【解答过程】由𝑎=2𝑏cos𝐶及余弦定理得：𝑎=2𝑏×𝑎2+𝑏2−𝑐22𝑎𝑏⇒𝑎2=𝑎2+𝑏2−𝑐2⇒𝑏2=𝑐2，即𝑏=𝑐.故选：D.【变式2-1】（2023·甘肃酒泉·统考三模）在△𝐴𝐵𝐶中内角𝐴,𝐵,𝐶的对边分别为𝑎,𝑏,𝑐，若𝑎2𝑏2=sin𝐴cos𝐵sin𝐵cos𝐴，则△𝐴𝐵𝐶的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【解题思路】由正弦定理，余弦定理化角为边，化简已知等式可得(𝑎2−𝑏2)(𝑎2+𝑏2−𝑐2)=0，即可判断△𝐴𝐵𝐶的形状．【解答过程】由正弦定理，余弦定理及𝑎2cos𝐴sin𝐵=𝑏2cos𝐵sin𝐴得，𝑎2⋅𝑏2+𝑐2−𝑎22𝑏𝑐⋅𝑏=𝑏2⋅𝑎2+𝑐2−𝑏22𝑎𝑐⋅𝑎,∴𝑎2(𝑏2+𝑐2−𝑎2)=𝑏2(𝑎2