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专题4.2三角函数的图象与性质【八大题型】【新高考专用】【题型1三角函数的定义域、值域问题】............................................................................................................2【题型2三角函数的图象识别与应用】...............................................................................................................4【题型3由部分图象求函数的解析式】...............................................................................................................6【题型4三角函数图象变换问题】.....................................................................................................................10【题型5三角函数的单调性问题】.....................................................................................................................13【题型6三角函数的周期性、对称性与奇偶性的灵活运用】..........................................................................15【题型7三角函数的零点问题】.........................................................................................................................18【题型8三角函数的图象与性质的综合应用】..................................................................................................211、三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质是高考的热点内容，其中函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换以及三角函数的周期性、对称性、奇偶性与单调性之间的关系则是高考考察的重心.从近几年的高考情况来看，比较注重对三角函数的几大性质之间的逻辑关系的考查，试题多以选择题、填空题的形式呈现，难度中等或偏下.【知识点1三角函数的定义域与值域的求解策略】1.三角函数的定义域的求解思路求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数的图象.2.求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：(1)形如y=asinx+bcosx+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c的形式，再求值域(最值)；(2)形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；(3)形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函数，可先设t=sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值).【知识点2三角函数的周期性、对称性、奇偶性的求解思路】1.三角函数周期的一般求法(1)公式法；(2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期.2.三角函数的对称轴、对称中心的求解策略(1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acos(ωx+φ)）形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可.(2)对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=(k∈Z)），求x即可.3.三角函数的奇偶性的判断方法三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y=Asin(ωx+φ)中代入x=0，若y=0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数.若y=Asin(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z).【知识点3三角函数的单调性问题的解题思路】1.三角函数的单调区间的求解方法求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin(ωx+φ)形式，再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间，只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.2.已知三角函数的单调性求参数的解题思路对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷.【知识点4三角函数的图象变换问题】1.三角函数的图象变换问题的求解方法解决三角函数图象变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下：(1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到另一个函数的图象；(2)变同名：函数的名称要变得一样；(3)选方法：即选择变换方法.【题型1三角函数的定义域、值域问题】【例1】（2023上·湖南株洲·高一校考阶段练习）函数𝑦=tan𝑥的定义域为（）A．RB．{𝑥|𝑥≠𝑘π2,𝑘∈Z}C．{𝑥|𝑥≠π2+𝑘π,𝑘∈Z}D．{𝑥|𝑥≠π2+𝑘π}【解题思路】根据正切函数图象与性质，列出不等式，即可求解.【解答过程】根据正切函数的性质，可得函数𝑦=tan𝑥有意义，则满足𝑥≠π2+𝑘π,𝑘∈Z，所以函数𝑦=tan𝑥的定义域为{𝑥|𝑥≠π2+𝑘π,𝑘∈Z}.故选：C.【变式1-1】（2023上·陕西咸阳·高三校考阶段练习）函数𝑓(𝑥)=sin(2𝑥+π3)在[0,π2]上的值域为（）A．[−√32,1]B．[−√32,√32]C．[√32,1]D．[0,1]【解题思路】根据𝑥∈[0,π2]，可得2𝑥+π3∈[π3,4π3]，再结合正弦函数的图象求解即可.【解答过程】解：由𝑥∈[0,π2]，可得2𝑥+π3∈[π3,4π3]，则𝑓(𝑥)=sin(2𝑥+π3)∈[−√32,1].故选：A.【变式1-2】（2023·广东广州·广东实验中学校考一模）已知函数𝑓(𝑥)=2sin(𝜔𝑥−π6)(𝜔0)在[0,π2]上的值域为[−1,2]，则𝜔的取值范围为（）A．[43,2]B．[43,83]C．[23,43]D．[23,83]【解题思路】根据题意可得𝜔𝑥−π6∈[−π6,π2𝜔−π6]，再利用值域可限定π2≤π2𝜔−π6≤π+π6，解得𝜔的取值范围为[43,83].【解答过程】由𝑥∈[0,π2]及𝜔0可得𝜔𝑥−π6∈[−π6,π2𝜔−π6]，根据其值域为[−1,2]，且2sin(−π6)=−1，由正弦函数图象性质可得π2≤π2𝜔−π6≤π+π6，即可得23≤𝜔2≤86，解得43≤𝜔≤83.故选：B.【变式1-3】（2023·四川成都·四川省校考模拟预测）当𝑥∈[π6,𝑚]时，函数𝑓(𝑥)=cos(3𝑥+π3)的值域是[−1,−√32]，则m的取值范围是（）A．[π9,7π18]B．[2π9,7π18]C．[π9,5π18]D．[2π9,5π18]【解题思路】解法一：画出函数的图象，由𝑥的范围求出3𝑥+π3的范围，根据𝑓(𝑥)的值域可得答案；解法二：由𝑥的范围求出3𝑥+π3的范围，根据𝑦=cos𝑥的图象性质和𝑓(𝑥)的值域可得答案．【解答过程】解法一：由题意，画出函数的图象，由𝑥∈[π6,𝑚]，可知5π6≤3𝑥+π3≤3𝑚+π3，因为𝑓(π6)=cos5π6=−√32且𝑓(2π9)=cosπ=−1，要使𝑓(𝑥)的值域是[−1,−√32]，只要2π9≤𝑚≤5π18，即𝑚∈[2π9,5π18]；解法二：由题𝑥∈[π6,𝑚]，可知5π6≤3𝑥+π3≤3𝑚+π3，由𝑦=cos𝑥的图象性质知，要使𝑓(𝑥)的值域是[−1,−√32]，则π≤3𝑚+π3≤7π6，解之得𝑚∈[2π9,5π18]．故选：D.【题型2三角函数的图象识别与应用】【例2】（2023·全国·模拟预测）函数𝑓(𝑥)=𝑥3sin𝑥2|−𝑥|的图象大致为（）A．B．C．D．【解题思路】根据函数的奇偶性，并用特值法可判断函数图像.【解答过程】易知𝑓(𝑥)=𝑥3sin𝑥2|−𝑥|的定义域为R，又𝑓(−𝑥)=(−𝑥)3sin(−𝑥)2|𝑥|=𝑥3sin𝑥2|−𝑥|=𝑓(𝑥)，所以函数𝑓(𝑥)为偶函数，A，B选项错误；又𝑓(0)=𝑓(π)=0，𝑓(π2)=(π2)3sinπ22|−π2|0，C选项正确，D选项错误；故选：C.【变式2-1】（2023·高一课时练习）如图所示，函数𝑦=cos𝑥|tan𝑥|（0≤𝑥3π2且𝑥≠π2）的图像是（）.A．B．C．D．【解题思路】取绝对值符号，再根据正弦函数的图象即可得解.【解答过程】𝑦=cos𝑥|tan𝑥|={sin𝑥,0≤𝑥π2或π≤𝑥3π2−sin𝑥,π2𝑥π，根据正弦函数的图象，作出函数图象如下图所示，故选：C.【变式2-2】（2023·四川南充·模拟预测）函数𝑓(𝑥)=𝑥sin𝑥e|𝑥|−1的图象大致为（）A．B．C．D．【解题思路】根据偶函数排除C、D，再计算𝑓(π2)0，可排除B，从而可得到答案.【解答过程】𝑓(𝑥)的定义域为R，因为𝑓(−𝑥)=−𝑥sin(−𝑥)e|−𝑥|−1=𝑥sin𝑥e|𝑥|−1=𝑓(𝑥)，所以𝑓(𝑥)在R上为偶函数，可排除C、D；又𝑓(π2)=π2sinπ2e|π2|−1=π2e|π2|−10，可排除B.故选：A.【变式2-3】（2023·广东·统考模拟预测）已知函数𝑦=𝑓(𝑥)部分图象如图所示，则函数𝑓(𝑥)的解析式可能为（）A．𝑓(𝑥)=𝑥sin2𝑥B．𝑓(𝑥)=𝑥sin𝑥C．𝑓(𝑥)=2|𝑥|sin𝑥D．𝑓(𝑥)=2|𝑥|sin2𝑥【解题思路】利用函数零点排除B,C两个选项，再由奇偶性排除A后可得正确选项．【解答过程】由图像知𝑓(𝑥)=0，𝑥∈[0,π]有三个零点经验证只有AD满足，排除BC选项，A中函数满足𝑓(−𝑥)=−𝑥sin(−2𝑥)=𝑥sin2𝑥=𝑓(𝑥)为偶函数，D中函数满足𝑓(−𝑥)=2|−𝑥|sin(−2𝑥)=−2|𝑥|sin2𝑥=−𝑓(𝑥)为奇函数，而图像关于原点对称，函数为奇函数，排除A，选D．故选：D．【题型3由部分图象求函数的解析式】【例3】（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知函数𝑓(𝑥)=2sin(𝜔𝑥+𝜑)（其中𝜔0，0𝜑π）的图象如图所示，且满足𝑓(0)=𝑓(𝑥0)=−𝑓(𝑥0+π3)=1，则𝑓(𝑥)=（）A．2sin(2𝑥+π3)B．2sin(2𝑥−π3)C．2sin(3𝑥+π6)D．2sin(3𝑥−π6)【解题思路】根据题意得到函数的最小正周期，然后利用三角函数的周期公式得到𝜔=3，再结合𝑓(0)=1可得到𝜑=π6，进而求解.【解答过程】设𝑓(𝑥)的最小正周期为T，根据𝑓(𝑥0)=−𝑓(𝑥0+π3)及函数图象的对称性知，𝑇2=(𝑥0+π3)−𝑥0，