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专题2.4函数的图象与函数的零点问题【八大题型】【新高考专用】【题型1函数图象的画法与图象变换】...............................................................................................................2【题型2函数图象的识别】...................................................................................................................................5【题型3函数图象的应用】...................................................................................................................................7【题型4函数零点所在区间的判断】...................................................................................................................9【题型5求函数的零点或零点个数】.................................................................................................................11【题型6根据函数零点的分布求参数】.............................................................................................................14【题型7根据函数零点个数求参数范围】..........................................................................................................16【题型8函数零点的大小与范围问题】.............................................................................................................201、函数的图象与函数的零点问题函数图象问题主要以考查图象识别为重点和热点，也可能考查利用函数图象解函数不等式等，一般以选择题或填空题的形式出现，难度不大.函数的零点问题是高考常考的热点内容，从近几年的高考形势来看，一般以选择题与填空题的形式出现，有时候也会结合导数在解答题中考查，此时难度偏大.【知识点1函数的图象问题】1.作函数图象的一般方法(1)描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.2.函数图象识别的解题思路(1)抓住函数的性质，定性分析：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从周期性，判断图象的循环往复；④从函数的奇偶性，判断图象的对称性.(2)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.【知识点2函数的零点问题】1.函数零点个数的判断方法函数零点个数的判定有下列几种方法：(1)直接法：直接求零点，令f(x)=0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点.(2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.(3)图象法：画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.(4)性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.2.已知函数零点求参数的方法(1)已知函数的零点求参数的一般方法①直接法：直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；②数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；③分离参数法：分离参数，转化为求函数的最值问题来求解.(2)已知函数零点个数求参数范围的方法已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.【题型1函数图象的画法与图象变换】【例1】（2023上·北京·高三校考阶段练习）要得到函数𝑦=𝑥𝑥−1的图象，只需将函数𝑦=1𝑥的图象（）A．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度D．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度【解题思路】先变形得到𝑦=𝑥𝑥−1=1+1𝑥−1，故利用“上加下减，左加右减”得到答案.【解答过程】𝑦=𝑥𝑥−1=𝑥−1+1𝑥−1=1+1𝑥−1，故𝑦=1𝑥先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位得到𝑦=𝑥𝑥−1.故选：A.【变式1-1】（2023上·甘肃武威·高一统考开学考试）将函数𝑦=|−𝑥2+1|+2向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图像为（）A．B．C．D．【解题思路】根据题意，将函数化为分段函数的形式，得到其大致图像，即可判断平移之后的函数图像.【解答过程】因为𝑦={3−𝑥2,𝑥∈[−1,1]𝑥2+1,𝑥∈(−∞,−1)∪(1,+∞)，可得函数的大致图像如图所示，将其向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得函数图像为C选项中的图像.故选：C.【变式1-2】（2023上·陕西汉中·高一校考期中）已知函数𝑓(𝑥)={2𝑥,𝑥≥2𝑥2−3,𝑥2.(1)求𝑓(6)，𝑓(−1)的值；(2)利用描点法直接在所给坐标系中作出𝑦=𝑓(𝑥)的简图（不用列表）.【解题思路】（1）将𝑥=6以及𝑥=−1代入解析式，即可得出答案；（2）在坐标系中，描出合适的点，用光滑的曲线连起来，即可得出函数图象.【解答过程】（1）由已知可得，𝑓(6)=26=13，𝑓(−1)=(−1)2−3=−2.（2）在坐标系中描点(2,1)，(4,0.5)，(−√3,0)，(√3,0)，(0,3)，作出𝑦=𝑓(𝑥)的简图【变式1-3】（2023上·河南南阳·高三校考阶段练习）作出下列函数的标准图象：(1)𝑦=2𝑥−1𝑥−1；(2)𝑦=𝑥2−2|𝑥|−1．【解题思路】（1）化简𝑦=2𝑥−1𝑥−1可得𝑦=2+1𝑥−1，根据函数图象的平移规律即可得其图象；（2）化简𝑦=𝑥2−2|𝑥|−1为𝑦={𝑥2−2𝑥−1,𝑥≥0𝑥2+2𝑥−1,𝑥0，结合二次函数图象可作出其图象.【解答过程】（1）由题意得𝑦=2+1𝑥−1，其图象可由𝑦=1𝑥的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，即：（2）由题意得𝑦={𝑥2−2𝑥−1,𝑥≥0𝑥2+2𝑥−1,𝑥0，分段作出二次函数图象，则𝑦=𝑥2−2|𝑥|−1图象为：【题型2函数图象的识别】【例2】（2022·天津南开·统考一模）函数𝑦=(𝑥2−1)𝑒𝑥的图象可能是（）A．B．C．D．【解题思路】根据函数的解析式，利用𝑓(1)=𝑓(−1)=0,𝑓(−2)0，分别排除A、B、D项，即可求解.【解答过程】由题意，函数𝑓(𝑥)=(𝑥2−1)𝑒𝑥，因为𝑓(1)=0，即函数𝑓(𝑥)的图象过点(1,0)，可排除A、B项；又因为𝑓(−2)=3𝑒−20，可排除D项，故选：C.【变式2-1】（2023·北京·统考模拟预测）已知函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象如图1所示，则图2对应的函数有可能是（）A．𝑥2𝑓(𝑥)B．𝑓(𝑥)𝑥2C．𝑥𝑓(𝑥)D．𝑥𝑓2(𝑥)【解题思路】利用分类讨论思想，根据函数值的符号，及变化，分别对四个选项判断即可求解.【解答过程】对于A，当𝑥0时，𝑓(𝑥)0，所以𝑥2𝑓(𝑥)0，故选项A错误；对于B，当𝑥0时，𝑓(𝑥)0，所以𝑓(𝑥)𝑥20，故选项B错误；对于C，当𝑥0时，𝑓(𝑥)0，所以𝑥𝑓(𝑥)0，且𝑥→−∞时，𝑓(𝑥)→−∞，𝑥𝑓(𝑥)→+∞；当𝑥0时，𝑓(𝑥)0，所以𝑥𝑓(𝑥)0，且𝑥→+∞时，𝑓(𝑥)→0，𝑥𝑓(𝑥)→0，故选项C正确；对于D，当𝑥0时，𝑓(𝑥)0，则𝑓2(𝑥)0，所以𝑥𝑓2(𝑥)0，故选项D错误，故选：C.【变式2-2】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）函数𝑦=(𝑥3−𝑥)⋅3|𝑥|的图象大致是（）A．B．C．D．【解题思路】先判断函数的奇偶性，可排除B,D，再判断0𝑥1时函数的正负即可得出.【解答过程】设𝑓(𝑥)=(𝑥3−𝑥)⋅3|𝑥|，该函数的定义域为R，𝑓(−𝑥)=[(−𝑥)3−(−𝑥)]⋅3|−𝑥|=−(𝑥3−𝑥)⋅3|𝑥|=−𝑓(𝑥)，所以函数𝑦=𝑓(𝑥)为奇函数，故排除B，D选项；当0𝑥1时，𝑥3𝑥，则𝑓(𝑥)=(𝑥3−𝑥)⋅3|𝑥|0，排除A选项.故选：C.【变式2-3】（2020上·广东·高三校联考阶段练习）函数𝑓(𝑥)=𝑥2sin𝑥−𝑥cos𝑥在[−𝜋,𝜋]上的图象大致为（）A．B．C．D．【解题思路】先判断函数的奇偶性，排除AC，再由特殊值验证，排除B，即可得出结果.【解答过程】因为𝑓(−𝑥)=−𝑥2sin𝑥+𝑥cos𝑥=−𝑓(𝑥)，所以𝑓(𝑥)为奇函数，其图象关于原点对称，故排除A与C.又因为𝑓(𝜋6)=(𝜋6)2⋅sin𝜋6−𝜋6⋅cos𝜋6=𝜋12(𝜋6−√3)0，所以排除B.故选：D.【题型3函数图象的应用】【例3】（2023·河南郑州·统考二模）若函数𝑓(𝑥)=2𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的部分图象如图所示，则𝑓(5)=（）A．−13B．−23C．−16D．−112【解题思路】根据函数图象，利用待定系数法求出函数解析式，即可得解.【解答过程】由图象知，𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0的两根为2，4，且过点(3,1)，所以{29𝑎+3𝑏+𝑐=12×4=𝑐𝑎2+4=−𝑏𝑎，解得𝑎=−2,𝑏=12,𝑐=−16，所以𝑓(𝑥)=2−2𝑥2+12𝑥−16=1−𝑥2+6𝑥−8，所以𝑓(5)=1−25+30−8=−13，故选：A.【变式3-1】（2023·江苏·高一假期作业）如图为函数𝑦=𝑓(𝑥)和𝑦=𝑔(𝑥)的图象，则不等式𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)0的解集为（）A．(−∞,−1)∪(−1,0)B．(−∞,−1)∪(0,1)C．(−1,0)∪(1,+∞)D．(0,1)∪(1,+∞)【解题思路】数形结合判断各区间函数值的正负即可.【解答过程】由图象可得当𝑓(𝑥)0⇒𝑥∈(−1,0)∪(1,+∞)，此时需满足𝑔(𝑥)0，则𝑥∈(1,+∞)符合要求，故𝑥∈(1,+∞)；当𝑓(𝑥)0⇒𝑥∈(−∞,−1)∪(0,1)，此时需满足𝑔(𝑥)0，则𝑥∈(−1,1)符合要求，故𝑥∈(0,1).综上所述，𝑥