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专题2.3幂函数与指、对数函数【九大题型】【新高考专用】【题型1指数幂与对数式的化简求值】...............................................................................................................2【题型2指对幂函数的定义与解析式】...............................................................................................................4【题型3指对幂函数的定义域与值域】...............................................................................................................5【题型4指对幂函数的图象的识别与应用】........................................................................................................6【题型5指对幂函数的单调性问题】...................................................................................................................8【题型6指对幂比较大小】.................................................................................................................................10【题型7利用幂函数、指数函数与对数函数的单调性解不等式】..................................................................12【题型8反函数及其应用】.................................................................................................................................14【题型9指数函数与对数函数的综合应用】......................................................................................................161、幂函数与指、对数函数幂函数、指数函数与对数函数是三类常见的重要函数，在历年的高考中都占据着重要的地位，是高考常考的热点内容，从近几年的高考形势来看，对幂函数、指数函数与对数函数的考查，主要以基本函数的性质为依托，结合指、对数运算性质，运用幂函数与指、对数函数的图象与性质解决具体的问题，包括比较指对幂的大小、解不等式等题型.考生在复习过程中要熟练掌握指数、对数运算法则，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理.【知识点1幂函数的解题技巧】1.幂函数的解析式幂函数的形式是(∈R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式.2.幂函数的图象与性质在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,+)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.3.比较幂值的大小在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.【知识点2指数、对数运算的解题策略】1.指数幂运算的一般原则(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序.(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.2.对数运算的常用技巧(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.(3)指对互化：(a0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.【知识点3指数函数与对数函数的常见问题及解题思路】1．指数函数的常见问题及解题思路(1)比较指数式的大小比较指数式的大小的方法是：①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；②不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小.(2)指数方程(不等式)的求解思路指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.(3)指数型函数的解题策略涉及指数型函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.2．对数函数的常见问题及解题思路(1)对数函数图象的识别及应用①在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.②一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.(2)对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.【题型1指数幂与对数式的化简求值】【例1】（2023·山东·校联考模拟预测）若𝑎−1−𝑎1=4，则𝑎−2+𝑎2的值为（）A．8B．16C．2D．18【解题思路】利用完全平方公式结合指数幂的运算性质计算即可.【解答过程】解：因为𝑎−1−𝑎1=4，所以𝑎−2+𝑎2=(𝑎−1−𝑎1)2+2=42+2=18.故选：D．【变式1-1】（2023·天津河西·统考一模）已知3𝑎=4𝑏=𝑚,1𝑎+12𝑏=2，则𝑚的值为（）A．36B．6C．√6D．√64【解题思路】两边取对数，根据对数的运算性质、法则化简即可得解.【解答过程】∵3𝑎=4𝑏=𝑚0，∴𝑎=log3𝑚,𝑏=log4𝑚，∴1𝑎+12𝑏=log𝑚3+12log𝑚4=log𝑚6=2，∴𝑚2=6，即𝑚=√6或𝑚=−√6（舍去）故选：C.【变式1-2】（2023·江苏连云港·校考模拟预测）计算：(1)(279)0.5+0.1−2+(21027)−23−3π0+3748；(2)log23⋅log34+(lg5)2+lg5⋅lg20+12lg16−2log23.【解题思路】（1）根据指数幂的运算法则直接化简求解即可；（2）根据对数运算法则直接化简求解即可.【解答过程】（1）(279)0.5+0.1−2+(21027)−23−3π0+3748=(259)12+102+(2764)23−3+3748=53+100+916−3+3748=3+97=100.（2）log23⋅log34+(lg5)2+lg5⋅lg20+12lg16−2log23=lg3lg2⋅lg4lg3+lg5⋅(lg5+lg20)+2lg2−3=2+lg5⋅lg100+2lg2−3=2+2(lg5+lg2)−3=2+2−3=1.【变式1-3】（2023·吉林长春·长春校考模拟预测）（1）求值：(√23×√3)6+(√2√2)43−4×(1649)−12−√24×80.25−(−2023)0；（2）已知lg𝑥+lg𝑦=2lg(𝑥−2𝑦)，求log√2(𝑥𝑦)的值.【解题思路】（1）化简即可求出该式子的值；（2）解对数方程求出𝑥𝑦，即可得出log√2(𝑥𝑦)的值.【解答过程】（1）由题意，(√23×√3)6+(√2√2)43−4×(1649)−12−√24×80.25−(−2023)0=22×33+(√232)43−4×74−214×23×14−1=108+2−7−2−1=100（2）由题意，在lg𝑥+lg𝑦=2lg(𝑥−2𝑦)中，{𝑥0𝑦0𝑥−2𝑦0𝑥𝑦=(𝑥−2𝑦)2，𝑥𝑦=(𝑥−2𝑦)2化简得𝑥2−5𝑥𝑦+4𝑦2=0，两边同除𝑦2得(𝑥𝑦)2−5(𝑥𝑦)+4=0，解得：𝑥𝑦=4或1（舍），∴log√2(𝑥𝑦)=log√24=4.【题型2指对幂函数的定义与解析式】【例2】（2022上·云南曲靖·高一校考阶段练习）下列函数是对数函数的是（）A．𝑦=ln𝑥B．𝑦=log2𝑥2C．𝑦=log𝑎𝑥9D．𝑦=log2𝑥−2022【解题思路】根据对数函数定义直接判断即可.【解答过程】形如𝑦=log𝑎𝑥(𝑎＞0,𝑎≠1)的函数叫作对数函数，它的定义域是(0,+∞)，对于A，𝑦=ln𝑥=loge𝑥满足，故A正确；对于B，C，D，形式均不正确，均错误.故选：A.【变式2-1】（2023·四川成都·校联考一模）已知幂函数𝑓(𝑥)=𝑥𝛼的图象过点𝑃(3,9)，则𝛼=（）A．12B．1C．2D．3【解题思路】根据题意可得3𝛼=9，求解即可.【解答过程】因为幂函数𝑓(𝑥)=𝑥𝛼的图象过点𝑃(3,9)，所以3𝛼=9，解得𝛼=2.故选：C.【变式2-2】（2023上·吉林长春·高一校考期中）函数𝑦=(𝑎2−5𝑎+7)𝑎𝑥+6−2𝑎是指数函数，则有（）A．𝑎=2或𝑎=3B．𝑎=3C．𝑎=2D．𝑎2，且𝑎≠3【解题思路】根据指数函数的知识求得正确答案.【解答过程】由指数函数的概念，得𝑎2−5𝑎+7=1且6−2𝑎=0，解得𝑎=3．故选：B.【变式2-3】（2023上·高一课时练习）若函数𝑓(𝑥)=(𝑎2−3𝑎+3)log𝑎𝑥是对数函数，则a的值是（）A．1或2B．1C．2D．𝑎0且𝑎≠1【解题思路】根据对数函数的定义即可得到方程，解出即可.【解答过程】∵函数𝑓(𝑥)=(𝑎2−3𝑎+3)log𝑎𝑥是对数函数，∴𝑎2−3𝑎+3=1，𝑎0且𝑎≠1，解得𝑎=1或𝑎=2，∴𝑎=2，故选：C．【题型3指对幂函数的定义域与值域】【例3】（2023上·四川成都·高一校考期中）函数𝑓(𝑥)=√2𝑥−4𝑥−5的定义域为（）A．(−∞,2]B．(−∞,5)∪(5,+∞)C．[2,+∞]D．[2,5)∪(5,+∞)【解题思路】函数𝑓(𝑥)=√2𝑥−4𝑥−5的定义域满足{2𝑥−4≥0𝑥−5≠0，解得答案.【解答过程】函数𝑓(𝑥)=√2𝑥−4𝑥−5的定义域满足{2𝑥−4≥0𝑥−5≠0，解得𝑥≥2且𝑥≠5.故选：D.【变式3-1】（2022上·安徽·高一校联考阶段练习）已知幂函数𝑓(𝑥)的图像过点(2,14)，则（）A．𝑓(𝑥)为减函数B．𝑓(𝑥)的值域为(0,+∞)C．𝑓(𝑥)为奇函数D．𝑓(𝑥)的定义域为R【解题思路】先求出幂函数的解析式，再根据幂函数的性质判断即可.【解答过程】解：设𝑓(𝑥)=𝑥𝛼，将(2,14)代入，得2𝛼=14，解得𝛼=−2，故𝑓(𝑥)=𝑥−2，易知𝑓(𝑥)在(−∞,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减，且值域为(0,+∞)，故A选项错误，B选项正确；𝑓(𝑥)=𝑥−2的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，且𝑓(−𝑥)=(−𝑥)−2=𝑥−2=𝑓(𝑥)，为偶函数，C，D选项错误；故选：B．【变式3-2】（2022·北京