专题05 解析几何（解答题10种考法）专练（解析版）

专题05解析几何（解答题10种考法）1．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知A，B分别是椭圆C：222210xyabab的右顶点和上顶点，5AB，直线AB的斜率为12.(1)求椭圆的方程；(2)直线//lAB，与x，y轴分别交于点M，N，与椭圆相交于点C，D.（i）求OCM的面积与ODN△的面积之比；（ⅱ）证明：22CMMD为定值.【答案】(1)2214xy(2)（i）1（ⅱ）证明见解析【解析】（1）∵A、B是椭圆222210xyabab，的两个顶点，且5AB，直线AB的斜率为12，由,0Aa，0,Bb，得225ABab，又0102bbkaa，解得2a，1b，∴椭圆的方程为2214xy；（2）设直线l的方程为12yxm，则2,0Mm，0,Nm，联立方程221214yxmxy消去y，整理得222220xmxm，2224843240mmm△，得28m设11,Cxy，22,Dxy，∴122xxm，21222xxm.（i）1122OCMSmy△，212ODNSmx△，∴112222221OCMODNymxxSSxxx△△，∴OCM的面积与ODN△的面积之比为1；（ii）证明：222222112222CMMDxmyxmy22222211122211444422xmxmxmxmxmxm221212125551042xxxxmxxm22225522101052mmmm综上，225CMMD.2．（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）已知椭圆222:1(0)6xyCbb的左右焦点分别为12,,FFC是椭圆的中心，点M为其上的一点满足125,2MFMFMC．(1)求椭圆C的方程；(2)设定点,0Tt，过点T的直线l交椭圆C于,PQ两点，若在C上存在一点A，使得直线AP的斜率与直线AQ的斜率之和为定值，求t的范围．【答案】(1)22163xy(2)6t或6t【解析】（1）设1122,MFrMFr，在12MFF△中，设12FMF，22221212122cos4FFrrrrc，22212121212cos4,2rrrrcMCMFMF又，2222222212112212121122cos4422rrMCMFMFMFMFrrrrc，222121222222122254222rrrrrrMCccac2222229,6,3,3acacb，所以椭圆C的方程为：22163xy（2）设001122,,,,,AxyPxyQxy，直线l的方程为xyt，222221226063xyytytxyt，2121211222226,,,22ttyyyyxytxyt，22121222426,22ttxxxx，设01020201010201020102yyxxyyxxyyyyxxxxxxxx0001212012201201222xyyxxyytxyyxxxxxx200000222002212462xytxyxtpxxt，若p为常数，则02120tx，即06tx，而此时000002200042262yxtxyyxtxxt，又0666,66xt，即6t或6t，综上所述，6t或6t，存在点2618,3Att，使得直线AP的斜率与直线AQ的斜率之和为定值002yxt3（2023·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）已知椭圆2222:1(0)Cbbxaay的左、右顶点分别为,AB，长轴长为短轴长的2倍，点P在C上运动，且ABP面积的最大值为8．(1)求C的方程；(2)若直线l经过点1,0Q，交C于,MN两点，直线,AMBN分别交直线4x于D，E两点，试问ABD△与AQE的面积之比是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．【答案】(1)221164yx(2)ABD△与AQE的面积之比为定值43【解析】（1）由题意得222ab，即2ab①．当点P为C的上顶点或下顶点时，ABP的面积取得最大值，所以1282ba，即8ab②．联立①②，得4,2ab．故C的方程为221164yx．（2）ABD△与AQE的面积之比为定值．由（1）可得2,0,2,0AB，由题意设直线1122:1,,,,lxmyMxyNxy．联立221,1,164xmyyx得22418120mymy，则22Δ6448410mm，121222812,4141myyyymm，所以121232myyyy．直线AM的方程为1122yyxx，令4x，得1162yyx，即1164,2yDx．同理可得2224,2yEx．故ABD△与AQE的面积之比为1212121212112214241424132332DDABDAQEEEAByyxymyySmyyySyyxymymyyyAQy△△121121221231342224433933222yyyyyyyyyy，即ABD△与AQE的面积之比为定值43．4．（2023·山西大同·统考模拟预测）已知椭圆22122:10xyCabab的离心率为22，且直线yxb是抛物线22:4Cyx的一条切线．(1)求椭圆1C的方程；(2)过点10,3S的动直线L交椭圆1C于,AB两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)221:12xCy(2)存在；0,1【解析】（1）由24yxbyx得22240xbxb直线yxb是抛物线22:4Cyx的一条切线．所以01b222ceaa，所以椭圆221:12xCy（2）当直线L与x轴平行时，以AB为直径的圆方程为2221433xy当直线L与y轴重合时，以AB为直径的圆方程为221xy所以两圆的交点为点0,1猜想：所求的点T为点0,1．证明如下．当直线L与x轴垂直时，以AB为直径的圆过点0,1当直线L与x轴不垂直时，可设直线L为：13ykx由221312ykxxy得2218912160kxkx，设11,Axy，22,Bxy则1221221218916189kxxkxxk则11221212121211,1,1111133TATBxyxyxxyyxxkxkx21212224161641216103918931899kxxxxkkk所以TATB，即以AB为直径的圆过点0,1所以存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T．5．（2023·江苏南京·南京市第九中学校考模拟预测）椭圆E的方程为22148xy，左、右顶点分别为2,0A，2,0B，点P为椭圆E上的点，且在第一象限，直线l过点P(1)若直线l分别交x，y轴于C，D两点，若2PD，求PC的长；(2)若直线l过点1,0，且交椭圆E于另一点Q（异于点A，B），记直线AP与直线BQ交于点M，试问点M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，说明理由．【答案】(1)22；(2)点M在定直线4x上，理由见解析.【解析】（1）设00,,0,DPxyDy，则2200148xy①，22004Dxyy②，由①②可得22002Dyyy，0000,2Dyyyy，即002Dyyy，00||2,||22.||DyPCPCPDyy（2）依题可设直线l的方程为1xmy，11Pxy,，22Qxy,，00,Mxy．联立方程组221148xmyxy，整理得2221460mymy，220162421mm，则122421myym，122621yym直线AP的方程为1122yyxx，直线BQ的方程为2222yyxx，联立方程组11222222yyxxyyxx，得12112201221242422yxyxyyxxyxy，因为12211222112222xyxyxyyxyy1222111212123myyymyyyyy，12112212112212122424214214462yxyxyyymyymyyymyyyy，12120124623myyyyxyy由122421myym，得122621yym，得121223myyyy．所以121212121201212126624621244333yyyymyyyyyyxyyyyyy.故点M在定直线4x上．6．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为32，右焦点为3,0F，A，B分别为椭圆C的左、右顶点.(1)求椭圆C的方程；(2)过点1,0D作斜率不为0的直线l，直线l与椭圆C交于P，Q两点，记直线AP的斜率为1k，直线BQ的斜率为2k，求证：12kk为定值；(3)在（2）的条件下，直线AP与直线BQ交于点M，求证：点M在定直线上.【答案】(1)2214xy(2)证明见解析(3)证明见解析【解析】（1）依题可得323ceac，解得23ac，所以2221bac，所以椭圆C的方程为2214xy．（2）设11,Pxy，22,Qxy，因为直线l过点1,0D且斜率不为0，所以可设l的方程为1xty，代入椭圆方程2214xy得224230tyty，其判别式2241240tt，所以12224tyyt，12234yyt.两式相除得121223yytyy，即121232tyyyy．因为,AB分别为椭圆C的左、右顶点，所以点A的坐标为2,0，点B的坐标为2,0，所以1111123yykxty，2222221yykxty．从而1211211212221122313123393323yyyytykyyyykytyyyy．（3）由（1）知1231kk，设1km，则23km，所以直线AP的方程为2ymxm，直线BQ的方程为36ymxm，联立236ymxmymxm可得46xym，所以直线AP与直线BQ的交点M的坐标为4,6m，所以点M在定直线4x上.7．（2023·北京海淀·中央民族大学附属中学校考模拟预测）已知曲线22:(5)(2)8(R)Cmxmym．(1)若曲线C是椭圆，求m的取值范围．(